实验五 离散系统的Z域分析
离散系统的Z域分析法
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
matlab实验五 离散系统的Z域分析
（数字信号处理）实验报告实验名称 实验五 离散系统的Z 域分析实验时间 年 月 日专业班级 学 号 姓 名成 绩 教师评语：一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法 1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。
在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z ) 则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。
MATLAB课程设计---基于MATLAB的离散系统的Z域分析
课程设计任务书题目:基于MATLAB 的离散系统的Z 域分析课题要求：利用MATLAB 强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现离散系统的Z 域分析仿镇波形。
课题内容：一.用MATLAB 绘制离散系统极零图，根据极零图分布观察系统单位响应的时域特性并分析系统的稳定性。
将极零图与h(k)对照起来画，看两者之间的关系。
至少以六个例子说明。
二. 用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析1. 以二个实例分别代表低通，高通滤波器，绘出极零图，幅频特性，相频特性。
2. 用MATLAB 绘出梳状滤波器极零图与幅频特性FIR 型N z z H -=1)(IIR 型NN Nza z z H ----=11)(设N=8，a=0.8,0.9,0.98 三. 用MATLAB 实现巴特沃兹滤波器分析1. 用MATLAB 绘制巴特沃兹滤波器频率特性曲线（w c ,n 作为参数变化）2. 用MATLAB 绘制巴特沃兹滤波器的极零点分布图（w c ,n 作为参数变化）将两种图对照起来看极点分布与频率特性之间的关系。
时间安排：学习MATLAB 语言的概况 第1天 学习MATLAB 语言的基本知识 第2、3天 学习MATLAB 语言的应用环境，调试命令，绘图能力 第4、5天 课程设计 第6-9天 答辩 第10天指导教师签名： 2013年 月 日系主任（或责任教师）签名： 2013年 月 日目录1 离散系统的Z域分析 (3)1.1 z变换 (3)1.2 利用MATLAB的符号运算实现z变换 (3)1.3离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件 (3)2离散系统零极点图及零极点分析 (4)2.1离散系统零极点 (4)2.2零极点的绘制 (5)3 MATLAB实现离散系统的频率特性分析 (11)3.1低通滤波器 (11)3.2高通滤波器 (12)3.3梳状滤波器的特性分析 (13)4 MATLAB实现巴特沃兹滤波器分析 (17)5 总结体会 (19)6参考文献 (19)1离散系统的Z 域分析 1.1 z 变换z 变换是离散信号与系统分析的重要方法和工具。
第五章 离散信号与系统的z域分析
z (k ) z 1
收敛域为 z 1 单位圆以外区域
Im Z
0 0
1
Re Z
3、单边指数序列
ak ak z k
k 0
1 ( z 1 )0 a ( z 1 )1 a 2 ( z 1 ) 2
1 z z k Z a (k a z 1 ) zz 1 a a 1 az za k 0 k 0
( z
d n d d d d ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) dz dz dz dz dz
关于z作n次求导
对z进行了n次求一阶导数再乘(-z)
z 例 ： 已知 (k ) z 1
k 0
k 0
(k )
k 0
1 (z
z ( k ) ( k )z k 1 (z 1 ) 0 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
1 (z ) 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
h(k ) (1) k 1 (k 1)
yzs试求：x(k ) h(k ) (k )
五、z域微分性质(时域乘k) 设： f (k ) F ( z )
d n k f ( k ) ( z ) F ( z ) dz
n
d 则： kf ( k ) ( z ) F ( z ) dz
1、比值判定法 若级数
前后项比值的极限
ak 1 存在，且令 lim k a k
当1时该级数收敛；当 1 时该级数发散；= 1不确定。 2、 根值判定法
一般项k次根的极限
离散系统的Z域分析
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析
实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。
2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。
3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ （1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰（2）MATLAB 中可采用符号数学工具箱ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F 的z 变换。
F=iztrans(Z)求符号表达式Z 的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ （3）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = （4）由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ （5） 3. 离散时间系统的零极点分析MATLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。
此外还可采用MATLAB 中zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数的调用格式为：zplane(b,a) b 、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z 、p 为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。
《信号与系统》第六章 离散系统z域分析
(z
z2 1)(z
2)
z2
z2 z
2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
例：f1(k)=2k(k)←→F1(z)=
z z2
, z>2
f2(k)=
–2k(–
k
–1)←→F2(z)=
z
z
2
, z<2
对单边z变换，其收敛域比较简单，一定
是某个圆以外的区域。可以省略。
常用序列的z变换： (k) ←→ 1 ，z>0
(k)
z ，z>1
–(– k –1)
z 1 ，z<1
书p276
若 f(k) ←→ F(z) , <z< ， 且有常数a0
则 akf(k) ←→ F(z/a) , a<z<a
证明：
Z[akf(k)]=
ak f (k)z k
f (k)
z k
F( z )
k
k
a
a
例1：akε(k) ←→ z
za
例2：cos(k)ε(k) ←→? cos(k)ε(k)=0.5(ejk+ e-jk)ε(k) ←→
方程取单边z变换yzz1yzy12z2yzy2y1z1fz2z2fz12224212121221212222212211??????????????????????????zzzzzzzzzzfzzzzzyyzzy1221221242kkyzzzzzzzzzykkzizi??????????????231212123121221kkyzzzzzzzykkzszs?????????????二系统函数zazbzfzyzhzs??2与时域的关系
离散系统的Z域分析
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
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实验五 离散系统的Z 域分析一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用Matlab 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。
在Matlab 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z ) 则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。
3、Matlab 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法Matlab 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
其中A 为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p 是包含该多项式所有根位置的列向量。
如：求多项式8143)(2++=z z z A 的根的Matlab 命令为：A=[1 3/4 1/8]; p=roots(A) 运行结果为： p=-0.5000 -0.2500需要注意的是，离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z 的降幂次序排列，另一种是分子分母多项式均按z -1的升幂次序排列，两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。
若H (z )是按z 的降幂次序排列，则系数向量一定要由多项式的最高幂次开始，一直到常数项，缺项用0补齐，如12232)(2343+++++=z zz zzz z H ，其分子多项式的系数向量应为：B=[1 0 2 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 3 2 2 1]。
若H (z )是按z -1的升幂次序排列，则分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，缺项用0补齐，否则零点和极点就可能被漏掉。
如211412111)(---+++=zzz z H ，其分子多项式的系数向量应为：B=[1 1 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 1/2 1/4]。
可利用Matlab 中的zplane 函数实现系统函数的零极点图的绘制。
该函数的调用方法为：zplane(B,A);其中B 、A 为系统函数分子分母多项式的系数向量。
4、z 反变换的计算方法z 反变换可由部分分式展开法求得。
由于指数序列a nu (n )的z 变换为az z -，因此求反变换时，通常对zz X )(进行展开：k k z z A z z A z z A zz X -+-+-=2211)(其中),2,1()()(k i zz X z z A iz z i i =-==称为有理函数zz X )(的留数。
分两种情况进行讨论：（1）X (z )的所有极点均为单实极点 此时kk z z z A z z z A z z z A z X -+-+-=2211)(，则X (z )的z 反变换为：∑=⋅+=ki ni iz AA n x 10)()(（2）X (z )有共轭极点设X (z )有一对共轭极点βαj e p ±=2,1，则kk z z z A z z z A p z zr p z z r z X -+-+--=112211)(，其中留数的计算方法与单极点相同，即θj p z er zz X p z r ||)()(1111=-==，r 2=r 1*因此，只要求出zz X )(部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X (z )的z 反变换x (n )。
在Matlab 中可利用函数residue()求解。
令B 和A 分别是zz X )(的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数[r,p,k]=residue (B,A)将产生三个向量r 、p 、k ，其中r 为包含zz X )(部分分式展开系数r i (i =1,2,…,N )的列向量，p 为包含zz X )(所有极点的行向量，k 为包含zz X )(部分分式展开的多项式项的系数c j (j =1,2,…,M -N )的列向量，若M ≤N ，则k 为空阵。
用residue()函数求出zz X )(部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接求出X (z )的反变换x (n )。
如：已知23)(22++=z zz z X ，求其z 反变换x (n )。
首先利用residue()函数求出23)(2++=z zz zz X 的部分分式展开的系数和极点，相应的Matlab 命令为： B=[0 1 0]; A=[1 3 2];[r,p,k]=residue (B,A) 运行结果为： r = 2 -1 p = -2 -1 k =[ ]由以上结果可得：1122)(+-++=z z z X ；即X (z )只有两个单极点，其z 反变换为：[])()1()2(2)(n u n x nn ---=。
已知122)(232-+-+=z zz zzz X ，求其z 反变换x (n )。
利用residue()函数求出23)(2++=z z zz z X 的部分分式展开的系数和极点，可得： B=[0 0 1 1];A=[1 -2 2 -1];[r,p,k]=residue (B,A) r =2.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p =1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i k =[ ] 可见，zz X )(包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位，相应命令为： p1=abs(p') p1 =1.0000 1.0000 1.0000 a1=angle(p')/pi a1 =0 -0.3333 0.3333 即共轭极点为：32,1πjep ±=，则12)(33-+--+--=-z z ez z ez z z X jjππ，其z 反变换为：)(23c os 2)(n u n n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=π三、实验内容（1）求下列序列的z 变换：2-n u (n )；-(1/2)n ；(1/2)n +(1/3)na. 2-n u (n )程序: >> clear, close all, syms n; f=(1/2)^n, ztrans(f) f =(1/2)^n ans =2*z/(2*z-1)b. -(1/2)n程序>> clear,close all, syms n; f=-(1/2)^n, ztrans(f) f =-(1/2)^n ans =-2*z/(2*z-1)c. (1/2)n +(1/3)n 程序： >> close all, syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n, ztrans(f) f =(1/2)^n+(1/3)^n ans =2*z/(2*z-1)+3*z/(3*z-1)（2）已知两个离散系统的系统函数分别为：142)(232+-++=z zz z zz H ；213212112)(-----+++-=zzz zzz H分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。
（a ） 程序：>> clear, close all, B=[1 1 0]; A=[1 2 -4 1];[r,p,k]=residue (B,A),zplane(B,A)p1=abs(p')a1=angle(p')/pir =0.49020.6667-0.1569p =-3.30281.00000.3028k =[]极点没有全部落在单位圆内，系统不稳定（1）>> syms z;Z=((z^2)+z)/((z^3)+2*(z^2)-4*z+1)h=iztrans(Z)Z =(z^2+z)/(z^3+2*z^2-4*z+1)h =2/3-1/39*sum((19*_alpha+4)*(1/_alpha)^n/_alpha,_alpha = RootOf(_Z^2-3*_Z-1)) （b）程序：>> clear,close all,B=[0 2 -1 1];A=[1 1 1/2 0];[r,p,k]=residue (B,A),zplane(B,A)r =-0.0000 + 3.0000i-0.0000 - 3.0000i2.0000p =-0.5000 + 0.5000i-0.5000 - 0.5000ik =[]极点全都落在单位圆内，该系统稳定>> syms z;Z=(2*(z^-1)-z^(-2)+z^(-3))/(1+z^(-1) +(1/2)*(z^(-2)))h=iztrans(Z)Z =(2/z-1/z^2+1/z^3)/(1+1/z+1/2/z^2)h =2*charfcn[1](n)-6*charfcn[0](n)-6*sum((1/_alpha)^n/_alpha,_alpha = RootOf(2+2*_Z+_Z^2))。