高等数学B资料：201400808博文(参数方程确定的函数的导数)
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由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
10由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
0;
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
若 为自然数n,则
y(n) ( x n )(n) n!,
y(n1) (n!) 0.
10
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注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1
(2)
x y
t t
sin t 在t cos t
2
处.
(3) y e2x x2在x 0处；
(4)
x y
et et
sin t 在t cos t
2
处.
6
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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
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由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用
⎧ x = ϕ (t ) 若函数 ⎨ 二阶可导 , ⎩ y = ψ (t )
d 2 y d dy = ( ) = d ⎛ ψ ′( t ) ⎞ dt ⎜ 2 ⎟ ⎜ ϕ ′( t ) ⎟ dx dx dx dx dt ⎝ ⎠
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
y
y=
3
x −1
0
1
x
在x = 1处不可导， 但此时有垂直切线x = 1.
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程. 解 易见点 M ( 3 ,8 )不在曲线 y = x 2 上 .
设曲线 y = x 2的过 M 点的切线的切点为 P ( x 0 , x 0 )
曲线在 P 点的切线的斜率为 f ′( x 0 ) = 2 x 0
l ( t ) = x ( t ) + 100
2 2
2
(1)
dl dx （2） (1)式两边对t求导得 2l = 2 x dt dt dx 又已知 = −3米 / 秒,（负号表示距离缩短!） dt dl x dx x dx ∴ = = dt x = 50 l dt x = 50 1002 + x 2 dt x = 50
y
y = f ( x)
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的 切线的斜率 , 即 f ′( x 0 ) = tan α , (α为倾角) o
α
T M
x0
x
切线方程为 y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ). 1 ( x − x0 ) ( f ′( x0 ) ≠ 0). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x 0 )
由参数方程所确定的函数的导数(精)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x j (t ) 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的 y y (t ) 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成 复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
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例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
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例5 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin xln x
《高等数学B》 第三章 导数、微分、边际与弹性 第4节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
代入 x = 0 , y = 1 , 得
y′′ x = 0 = −
y =1
1 . 16
介绍对数求导法 介绍对数求导法: 对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
y = x sin x .
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数. --------对数求导法 --------对数求导法 适用范围: 适用范围:
§ 4 隐函数及由参数方程所确பைடு நூலகம்的函数的导数
一、隐函数的导数 定义: 定义: 由方程F( x, y) = 0所确定的函数 = y( x) y
. 称为隐函数
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F( x, y) = 0
y = f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法: 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 x y − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 的 dy dy , . 导数 dx dx x = 0
解 方程两边对 x 求导 ,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y , 解得 = y dx x + e
由原方程知 x = 0 , y = 0 , 所以
v( x )
(u( x) > 0) ,
ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x) ,
上式两边对 x 求导得
f ′( x) v( x)u′( x) ], = [v′( x) ⋅ lnu( x) + f ( x) u( x) ∴ f ′( x) = u( x)
y′′ x = 0 = −
y =1
1 . 16
介绍对数求导法 介绍对数求导法: 对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
y = x sin x .
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数. --------对数求导法 --------对数求导法 适用范围: 适用范围:
§ 4 隐函数及由参数方程所确பைடு நூலகம்的函数的导数
一、隐函数的导数 定义: 定义: 由方程F( x, y) = 0所确定的函数 = y( x) y
. 称为隐函数
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F( x, y) = 0
y = f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法: 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 x y − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 的 dy dy , . 导数 dx dx x = 0
解 方程两边对 x 求导 ,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y , 解得 = y dx x + e
由原方程知 x = 0 , y = 0 , 所以
v( x )
(u( x) > 0) ,
ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x) ,
上式两边对 x 求导得
f ′( x) v( x)u′( x) ], = [v′( x) ⋅ lnu( x) + f ( x) u( x) ∴ f ′( x) = u( x)
高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数
dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
高等数学《隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数》
相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了y 是x 的函
数，则 dy dx
=________，d 2 y
(1,1)
dx 2
________.
2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程
一、1、 4 ,6x 4 xy 8xy 20 yy 10x( y)2 ；
3
10xy 2x 2 5
2、x 11y 23 0
3、 x y 0 ；
2
2
4、sin t cos t ,2 3 ； 5、e x y y .来自cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切
0
线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了y 是x 的函
数，则 dy dx
=________，d 2 y
(1,1)
dx 2
________.
2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程
一、1、 4 ,6x 4 xy 8xy 20 yy 10x( y)2 ；
3
10xy 2x 2 5
2、x 11y 23 0
3、 x y 0 ；
2
2
4、sin t cos t ,2 3 ； 5、e x y y .来自cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切
0
线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
参数方程的导数-2022年学习资料
缕上日∫=r0cos0=usim30cos日-y=r0sin 0=asin 30sin 0-dy-do-3 os30sin 0+sin 30cos0-dx-3cos30cos0-sin 30sin 0-k=-4-圳 方为y号-，即-2+-=0。
例4.（教材P68第19题）-在交点处的切线垂直。-证明：两条心形线r=a1+cos0与r=u1-cos0 交成直角。-证明步骤-1求出两条心形线的交点：u,±：-2利用直角坐标与极坐标间的关系，将两条心形线的-极 标方程化为参数方程，并求导数：-3由导数的几何意义求出两条心形线在交点处的切线的-斜率k1和k2;-4证明 1·k2=-1→两切线垂直。
例9.试求与椭圆4x2+y2=5切于点1，-1及-1，-1-的抛物线方程。-解：设抛物线方程为y=ax2+ x+c,则y'=2ax+b,-将方程4x2+y2=5两边对x求导，得-8x+2y'=0,y=--椭圆在点1 -1，-1，-1处的切线斜率分别为-k1一-二4-k2=--4.-0=-4.
续上-由题意，抛物线与椭圆在此两点的切线斜率应相等，-2a+b=4-a=2-故有--2a+b=-49b=0 因此抛物线方程为y=2x2+c,-把1，-1代入，解出c=-3,-即得所求抛物线为y=2x2-3。
例10.一架直升飞机在500m高空，以50m/s的均-匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线-与地面 角为9。求当0-5时，0对1的变化率。-解：以直升飞机飞过观察者头顶-时算起的距离为x,显然x,0-均为t 函数，已知飞机的速度-dx-o-dt-50m/s,求0=3时的d
续上-所求的切线方程为：y一少。=。-xg.x-Xo.-a"yoy-a2y=b2xxx-b2xo,-b2x x-a2yoy=b2x-a2y,-Xox-=--.切线方程为-xox_yoy=1。-a2 b2