兰州商学院毕业设计-希尔伯特变换的分析与应用-毕业论文
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换是一种在信号处理和分析中广泛应用的数学工具，可以将一个实函数转换为另一个实函数。
它的原理是通过对原始函数进行分解，得到其在频域上的表示。
希尔伯特变换在频谱分析、滤波、调制解调制等领域都有重要的应用。
在频谱分析中，希尔伯特变换可以将一个信号分解成其基频和各阶谐波的频谱成分，从而更好地理解信号的频域特性。
这对于音频处理、通信系统设计等领域非常有用。
通过希尔伯特变换，我们可以了解信号中各频率成分的幅度和相位信息，从而更好地进行信号处理和分析。
在滤波中，希尔伯特变换也能够起到重要作用。
通过将信号在频域上进行滤波，可以实现对信号的去噪、增强等处理。
希尔伯特变换可以实现对信号的频域选择性滤波，帮助我们更好地处理复杂的信号。
在调制解调制中，希尔伯特变换也有着重要的应用。
通过希尔伯特变换，我们可以将信号进行解调，从而还原出原始信号的信息。
这在通信系统中具有重要意义，可以帮助我们有效地传输和接收信息。
总的来说，希尔伯特变换原理及应用在信号处理和分析中具有重要意义。
它可以帮助我们更好地理解信号的频域特性，实现对信号的处理和分析。
希尔伯特变换的应用范围广泛，涉及到许多领域，如
音频处理、通信系统设计、图像处理等。
通过深入学习和理解希尔伯特变换，我们可以更好地应用它来解决实际问题，推动相关领域的发展。
希尔伯特(Hilbert)变换
希尔伯特(Hilbert)变换希尔伯特(Hilbert)变换是一种信号处理中常用的数学工具之一，主要用于将实数信号转化为复数信号，并提取出复信号的包络和瞬时相位等信息。
本文将对希尔伯特变换的基本概念、性质以及在信号处理中的应用进行介绍。
一、基本概念1. 复信号的生成在信号处理中，我们往往需要将一个实数信号变为一个复数信号，这可以通过对信号进行“解析”的方式来实现。
具体地，我们将实数信号x(t)通过一个信号处理器H(t)（即称为系统传递函数）得到一个复数信号X(t)，即：X(t) = H(t) * x(t)其中，符号“*”表示对那些对应时间点处的信号进行点乘，即乘上相应的复数模长e^(jw)，其中w为角频率，j为单位复数。
2. 复信号的包络和瞬时相位由于复数信号包含实部和虚部两个分量，其中实部和虚部分别表示原信号的信号值和90度相位移的信息。
因此，我们可以通过分别从复数信号中提取出它的实部和虚部，来获得原始信号的包络和瞬时相位两个信息。
具体的，假设我们有一个复数信号X(t) = x(t) + j*y(t)，其中x(t)为实部，y(t)为虚部，则：信号的包络：A(t) = sqrt(x^2(t) + y^2(t))其中，atan2(y(t), x(t))表示y(t)/x(t)的反正切，但与通常的反正切最大的区别在于，它不仅考虑了y(t)/x(t)的值，而且也考虑了x(t)的符号，从而在所有象限范围内都具有唯一性。
3. 希尔伯特变换希尔伯特变换是一种用于从实数信号中构造复数信号的技术。
具体地，假设我们有一个实数信号x(t)，那么它的希尔伯特变换y(t)定义如下：y(t) = H[x(t)] = P.\ I.C.\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{x(t')}{t-t'-j\varepsilon} dt'其中，P和I.C.分别表示柯西主值和积分常数项。
希尔伯特黄变换及其应用
希尔伯特黄变换及其应用希尔伯特黄变换及其应用希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种用于分析非线性和非平稳信号的方法，它由黄其森（Norden E. Huang）和希尔伯特（Hilbert）共同提出。
该方法通过将信号分解为一组固有模态函数（Intrinsic Mode Functions，IMF）来提取信号中的模式和趋势。
本文将介绍希尔伯特黄变换的应用，并详细讲解其中的几个应用领域。
应用一：信号处理•希尔伯特黄变换可以用于音频信号处理，通过提取信号的固有模态函数，可以分离出音频信号中的主要频率成分，从而实现去噪、降噪等处理。
•在图像处理中，希尔伯特黄变换可以用于边缘检测和纹理分析。
通过提取图像的固有模态函数，可以分离出图像中的纹理信息和边缘信息，从而实现图像增强和分割等操作。
应用二：地震学•地震学中的信号分析是一项重要的任务，希尔伯特黄变换可以用于地震信号的分析和处理。
通过将地震信号分解为固有模态函数，可以提取出地震信号中的地震波的时频特征，从而实现地震信号的分类和识别。
•希尔伯特黄变换还可以用于地震信号的时频谱分析，通过将地震信号分解为固有模态函数，并对每个分量进行傅里叶变换，可以得到地震信号的时频谱图，从而更好地理解地震信号的时频特性。
应用三：医学工程•在医学工程中，希尔伯特黄变换可以用于生物信号的分析和处理，如心电图（ECG）和脑电图（EEG）等。
通过将生物信号分解为固有模态函数，可以提取出信号中的重要特征，如心跳频率、脑电波的频率等，从而实现疾病的诊断和监测。
•希尔伯特黄变换还可以用于生物信号的时频谱分析，通过将生物信号分解为固有模态函数，并对每个分量进行傅里叶变换，可以得到信号的时频谱图，从而更好地分析信号的时频特性。
应用四：金融市场•在金融市场中，希尔伯特黄变换可以用于股票价格的分析和预测。
通过将股票价格分解为固有模态函数，可以提取出股票价格的趋势和周期成分，从而更好地预测股票价格的走势。
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用希尔伯特变换是数学中一个重要的变换原理，它在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有着广泛的应用。
希尔伯特变换的核心思想是将一个实函数转换为另一个实函数，通过这种变换可以方便地处理信号的相位信息。
下面我们将详细介绍希尔伯特变换的原理及其在不同领域的应用。
希尔伯特变换原理主要是通过对原始信号进行傅里叶变换，然后将其频谱中的负频率部分置零，最后再进行逆傅里叶变换得到希尔伯特变换。
希尔伯特变换的一个重要性质是在频域中将信号的相位信息提取出来，因此在信号处理中常常用于分析信号的瞬时特性。
在信号处理领域，希尔伯特变换常用于分析非平稳信号，例如音频信号、心电图等。
通过希尔伯特变换可以得到信号的瞬时频率、瞬时幅度等信息，从而更好地理解信号的特性。
另外，希尔伯特变换还可以用于信号的包络提取、调制识别等应用。
在图像处理领域，希尔伯特变换也有着重要的应用。
通过希尔伯特变换可以得到图像的相位信息，进而实现图像的边缘检测、纹理分析等功能。
希尔伯特变换在图像处理中还可以用于图像增强、图像压缩等方面。
在量子力学领域，希尔伯特变换是量子力学中的基本工具之一。
通过希尔伯特变换可以将量子态表示为希尔伯特空间中的矢量，在量子力学中希尔伯特变换有着重要的数学意义。
总的来说，希尔伯特变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有着广泛的应用。
通过希尔伯特变换可以方便地处理信号的相位信息，实现信号的分析、处理和识别。
希尔伯特变换的原理相对简单，但在实际应用中却有着丰富的应用场景，对于提高数据处理的效率和准确性具有重要意义。
希尔伯特变换的研究对于推动数学、物理、工程等领域的发展都具有着积极的意义。
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用一、引言希尔伯特变换是一种经典的数学工具，具有广泛的应用领域。
本文将深入介绍希尔伯特变换的原理及其在不同领域的应用。
二、希尔伯特变换原理希尔伯特变换是一种线性积分变换，它是将一个实函数转换为另一个复函数的过程。
希尔伯特变换的主要思想是通过引入一种称为“解析信号”的复函数，来描述原始信号的相位和幅度信息。
希尔伯特变换可表示为：H(f)(t)=1π⋅P.V.∫f(x)t−x∞−∞dx其中，H(f)(t)表示函数f(t)的希尔伯特变换，P.V.表示柯西主值，∫表示积分。
三、希尔伯特变换的应用希尔伯特变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着重要的应用。
下面将具体介绍希尔伯特变换在不同领域的应用。
3.1 信号处理在信号处理中，希尔伯特变换常用于提取原始信号的包络信息。
通过对原始信号进行希尔伯特变换，可以得到解析信号，然后从解析信号中提取包络。
这在音频处理、振动分析等领域有着重要的应用。
3.2 图像处理希尔伯特变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行希尔伯特变换，可以提取图像的边缘信息，并用于图像分割、目标识别等任务。
希尔伯特变换在图像处理中的具体应用包括图像增强、边缘检测等。
3.3 通信在通信领域，希尔伯特变换常被用于信号调制和解调中。
通过对信号进行希尔伯特变换，可以得到解调信号的相位信息，从而实现信号的解调。
希尔伯特变换在调频调相通信系统中具有重要的作用。
四、希尔伯特变换的优缺点希尔伯特变换作为一种强大的数学工具，有着许多优点，但也存在一些缺点。
4.1 优点•希尔伯特变换能够提取出信号的相位和幅度信息，对于研究信号的时频特性非常有用。
•希尔伯特变换具有线性性质，可以方便地与其他信号处理算法结合使用。
•希尔伯特变换可以应用于各种类型的信号，具有较广泛的适用性。
4.2 缺点•希尔伯特变换对噪声比较敏感，当信号中存在较强的噪声时，变换结果可能会受到严重干扰。
•希尔伯特变换计算量较大，对于大规模信号处理任务，可能需要较长的计算时间。
希尔伯特变换有什么用【基于Hilbert变换的数字调相信号解调算法研究】[修改版]
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[摘要]文章提出了一种在软件无线电中基于希尔伯特(hilbert)变换的调相信号数字化解调算法,与传统解调方法相比,简单、计算量小且易于实现,能很好地满足软件无线电中的要求。
理论分析和仿真结果表明该解调方案的抗干扰性能有明显改善,具有理论意义和实际应用价值。
[关键词]软件无线电希尔伯特变换数字化解调仿真[中图分类号]tn911.72[文献标识码]a[文章编号]1007-9416(2010)03-0119-02软件无线电是近年现代通信技术的一个重要研究领域。
其基本思想是在一个通用的硬件平台上安装不同的软件实现不同的通信功能,它便于通过软件升级来扩充系统功能,适应新的通信标准[1]。
目前,在软件无线电系统的接收端一般使用数字化正交解调方式[2],见图1所示。
数字化正交解调算法的基本原理是:将模拟中频信号首先经过a/d转换器,转化为数字信号,然后用数控振荡器(nco)产生的两路本振信号分别与混频,输出信号经fir数字低通滤波器(lpf),得到基本信号和,最后解调输出。
它的主要缺点是要提取同步载波,算法比较复杂,而且占用存储空间大。
为克服这些缺点,本文提出了一种能适用于各种数字调相方式,且算法简单、快速的数字化解调算法。
1 基于hilbert变换的数字调相信号快速解调算法根据hilbert变换的性质,如果低频限带信号hilbert变换为,带宽为,则当载波频率时,有:(1)(2)因此,我们可设计一个数字化解调器如图2所示。
1.1 算法解释一般数字调相信号可表示为[3]:,则当时,经a/d采样后离散化为:(3)我们以周期(为基带信号的码元宽度)提取离散信号,然后进行hilbert变换,则离散化信号的hilbert变换为:(4)由hilbert变换的定义可知:的hilbert变换实际上是与冲激响应为的系统的卷积,所以可以通过hilbert滤波器来实现hilbert变换。
这样当通过滤波器时,就会产生的时延(为滤波器的阶数)。
1希尔伯特变换的基本原理
1希尔伯特变换的基本原理希尔伯特变换（Hilbert transform）是一种非常重要的信号处理技术，它在时间域和频率域之间建立了一种特殊的变换关系，可以通过提取信号的相位信息来分析信号的时频特性。
本文将详细介绍希尔伯特变换的基本原理。
一、定义与表达式希尔伯特变换首先由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出，他建立了一个衍生（Analytic）函数的概念。
对于一个实值信号函数x(t)，它的希尔伯特变换H{x(t)}可以表示为：H{x(t)} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau其中，H{x(t)}是实值信号的希尔伯特变换，x(t)是原始信号，t是时间变量。
希尔伯特变换可以通过对信号的频谱进行处理实现，首先对原始信号进行傅里叶变换得到频谱X(f)，然后将频谱进行处理后再进行逆傅里叶变换得到希尔伯特变换。
具体来说，对于一个实值信号x(t)，它的傅里叶变换为X(f)，那么它的希尔伯特变换H{x(t)}可以表示为：H{x(t)} = IFT \{ -j \cdot sign(f) \cdot X(f) \}其中，IFT 表示逆傅里叶变换，sign(f)是频率变量的符号函数。
二、频谱分析希尔伯特变换的一个重要应用是信号的频谱分析，通过分析信号的相位信息来了解信号的时频特性。
希尔伯特变换可以提取信号的边带频率信息，从而反映信号的局部属性。
对于一个实值信号x(t)，它的频谱X(f)可以分解为实部和虚部：X(f) = X_r(f) + j \cdot X_i(f)其中，X_r(f)和X_i(f)分别是实部和虚部的频谱函数。
希尔伯特变换可以通过将频谱的虚部部分置零来获得信号的解析信号。
解析信号是一种由实信号和其希尔伯特变换构成的复信号表示，它具有可分辨信号的相位信息的特点。
三、希尔伯特变换的性质希尔伯特变换具有许多重要的性质，其中最重要的性质是希尔伯特变换的平移性质和相位信息的提取。
希尔伯特 相位解调
希尔伯特相位解调一、希尔伯特变换及其意义希尔伯特变换是一种数学工具，用于将一个实数函数转换为解析信号，即同时具有幅度和相位信息的复数信号。
在信号处理中，希尔伯特变换具有重要的意义，因为它能够提供原始信号的完全解析表示，使得信号的相位信息和幅度信息得以分离。
这种解析表示形式使得信号处理算法更加灵活和高效，因此在通信、雷达、声呐、振动分析等领域有着广泛的应用。
二、希尔伯特相位解调方法希尔伯特相位解调是一种基于希尔伯特变换的信号处理方法。
其基本原理是将一个调相信号（相位调制信号）通过希尔伯特变换转换为解析信号，从而方便地提取出原始相位信息。
具体步骤如下：1.对接收到的调相信号进行希尔伯特变换，得到解析信号。
2.从解析信号中提取相位信息，即得到原始的相位调制信号的相位。
3.根据需要，可以对相位信息进行进一步的处理，如解调、滤波等。
希尔伯特相位解调方法的主要优势在于其简单、有效的特性，同时能够实现相位信息的精确提取。
在许多应用场景中，希尔伯特相位解调是一种非常重要的信号处理手段。
三、希尔伯特相位解调的应用领域希尔伯特相位解调方法在许多领域都有着广泛的应用，以下是其中一些主要的领域：1.通信系统：在通信系统中，相位调制是一种常见的调制方式。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对接收信号的相位提取和解调，从而恢复出原始的信息。
2.雷达和声呐：在雷达和声呐领域，目标回波通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对目标距离、速度等参数的测量。
3.振动分析：在机械振动分析中，振动信号通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对机械状态的监测和故障诊断。
4.光学成像：在光学成像领域，光的干涉和衍射现象产生的相位信息对于图像质量有着重要的影响。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和控制，进而提高成像质量。
5.生物医学工程：在生物医学工程领域，生理信号如心电、脑电等通常包含丰富的相位信息。
sa函数的希尔伯特变换
sa函数的希尔伯特变换1.引言1.1 概述在撰写本文之前，我们对sa函数及其希尔伯特变换进行一个简要的概述。
首先，sa函数是指具有固定周期，并且在周期内值变化较为规律的函数。
它在信号处理、图像处理、通信系统等领域中得到了广泛的应用。
sa 函数具有周期性和连续性的特点，其周期可以是任意的整数。
希尔伯特变换是一种特殊的傅里叶变换，它可以将一个实函数转化为一个复函数。
希尔伯特变换的主要应用是在信号处理中，尤其是用于分析调频信号的相位和频率信息。
本文将通过对sa函数的希尔伯特变换进行研究，探索其在信号处理领域中的潜在应用。
首先，我们将详细介绍sa函数的定义和特点，包括其周期性和连续性的特性。
接着，我们将提供希尔伯特变换的概述和应用领域的介绍，以便读者深入理解该变换的基本原理。
最后，本文将讨论sa 函数的希尔伯特变换在信号处理中的意义，并提出未来的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够了解sa函数的定义和特点，以及希尔伯特变换的基本原理和应用领域。
同时，读者将对sa函数的希尔伯特变换在信号处理中的意义有一个清晰的认识，并了解到未来该研究方向的发展趋势。
在下一节中，我们将详细介绍sa函数的定义和特点。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对"sa函数的希尔伯特变换"的讨论：首先，我们将在引言部分（第1节）中进行概述，介绍sa函数的基本定义和特点，并说明本文的目的。
然后，我们将进入正文部分（第2节），首先对sa函数的定义和特点进行详细的阐述。
我们将解释sa函数的数学构成和运算规则，深入探讨其在信号处理和数学方程中的应用。
通过对sa函数的研究，我们可以更好地理解其在现实问题中的价值和意义。
接下来，我们将介绍希尔伯特变换的概述和应用（第2.2节）。
希尔伯特变换作为一种重要的数学工具，具有在信号处理、通信系统、图像处理等领域中广泛应用的特点。
我们将简要介绍希尔伯特变换的基本原理和数学表达式，以及其在信号分析和频域处理中的重要性。
补充二、希尔伯特变换及其应用
H 因果系统系统函数 ( j )的实部与虚部满足希尔
伯特变换约束关系。
已知h( t ) e
at
u( t )，证明F h( t ) 的实部与虚部满足希尔
伯特变换的约束关系。 因为 即系统函数
H j
F ht F e
at
1 u( t ) a j
Step 2. 令
Step 3. 对 Z (k ) 做逆 DFT, 得 z (n) Step 4. 由 得
ˆ x(n) IDFT[ j (Z (k ) X (k ))]
ˆ x(n) j[ z (n) x(n)]
实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率
ˆ z (t ) x(t ) jx(t )
在瞬时相位剖面上可以明显的显示出错断发生的位置而且可以清晰的划分断层线火成岩侵入的区域瞬时相位同相轴杂乱无章但煤层和岩层同相轴更加清晰因此可以较为精确的划分出火成岩侵入的边界范天然气水合物似海底反射层bsr空间展布bsr是海底存在天然气水合物最重要的地震标志地震剖面上bsr特征表现为与海底大致平行极性与海底相反与沉积层斜交及其上方的空白带或弱反射等特征
• • • • • • • • •
19
n=0:1:50; dt=0.001; a=0.1; x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) subplot(2,2,1); plot(x); y=hilbert(x); rx=real(y); Ix=image(y);
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1 1 1 2 2 H X j d ja ja ja ja 2 a 2
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兰州商学院本科生毕业论文（设计）论文（设计）题目：希尔伯特变换的分析与应用学院、系：信息工程学院计算机科学与技术系专业 (方向)：电子信息工程年级、班：2007级电子信息工程学生姓名：贾金花指导教师：路永华_2011年5 月28 日声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计）是本人在导师的指导下取得的成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。
本毕业论文（设计）成果归兰州商学院所有。
特此声明毕业论文（设计）作者签名：年月日希尔伯特变换的分析与应用摘要希尔伯特（Hilbert）变换是信号分析处理技术中的一种重要方法，它可以将信号进行90度相移，并能有效地提取复杂信号的瞬时参数——瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率。
文中详细讨论了希尔伯特的特点及算法，并介绍希尔伯特变换在探地雷达数据处理、数字I-Q下变频器及通信解调中的应用。
[关键词] Hilbert变换，探地雷达，信号处理，瞬时参数ABSTRACTHilbert transform is signal (the analysis technology is a kind of important method, it can deliver signals to 90 degrees phase shift, and can effectively extract complex signal instantaneous parameter, the instantaneous amplitude, instantaneous phase and instantaneous frequency. This paper discusses in detail the characteristics and Hilbert, and introduce the Hilbert transformation algorithm in GPR data processing, digital I - Q under the application of inverter and communication demodulation.[Key words] Hilbert Transform, ground penetrating radar, signal processing, instantaneous parameters目录一、引言 (1)（一）背景及意义 (1)（二）希尔伯特变换的发展现状 (2)二、希尔伯特变换的分析 (3)（一）希尔伯特变换的定义 (3)1、卷积积分 (3)相位 (3)2、23、解析信号的虚部 (4)（二）希尔伯特变换的性质 (5)三、希尔伯特变换的应用 (7)( 一)希尔伯特变换在探地雷达数据处理中的应用 (7)1、在探地雷达中的应用 (7)2、公式 (8)3、算法 (9)4、希尔伯特变换C程序 (10)5、在探地雷达中的应用效果 (14)（二）数字I-Q下变频器 (15)1、希尔伯特变换 (15)2、基于希尔伯特变换的数字I-Q下变频器 (16)（三）希尔伯特变换在解调中的应用 (17)1、希尔伯特变换 (17)2、在解调中的应用 (18)3、解调性能分析 (19)四、结论与前景展望 (20)（一）结论 (20)（二）前景展望 (21)参考文献 (22)致谢 (23)希尔伯特变换的分析与应用一、引言（一）背景及意义在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。
由于希尔伯特变换可以提供90度的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。
因此，希尔伯特在通信领域获得了广泛应用。
对HHT采样频率、终止准则、曲线拟合、边界处理以及模态混叠等问题进行了分析，并基于HHT的时间特征尺度概念，提出了一种新的边界处理方法：边界局部特征尺度延拓法，较好地改善了边界效应对EMD分解的影响。
将HHT用于电力系统的信号处理，并根据HHT的信号突变检测性能，提出了一种超高压输电线路的EMD故障测距方法。
仿真实验表明，该方法能很好地实现故障定位及测距。
物理意义：希尔伯特可看成一种滤波，其本质上是对所有输入信号的90度相移器；对于稳定的实因果信号，其傅立叶变换的实部和虚部满足希尔伯特变换关系，同时其对数幅度谱和相位谱之间也满足此关系，前提是该信号为最小相位信号。
工程意义：对于自由度为一维的条信号，比如PAM，其等效基带信号是实的，这意味着对应的基带频谱是共轭对称的，即一半的频谱是冗余的，那么就可以将频谱滤除一半再进行传输，这就形成了所谓的单边带调制(SSB)。
而理论上，一个信号和其Hilbert变化后的值相加，就可以得到所谓解析信号，该信号只保留原信号的正频谱。
而单边带调制虽然节省传输频率，但为了进行边带滤波，必须进行复杂的频谱成形，发送和接收的复杂度都比较高，相干载波的相位误差所造成的影响大。
所以，选择PAM信号进行频谱滤除的滤波器具有一定的滚降，即保留部分PAM信号中的冗余频谱，这样就成为VSB调制。
（二）希尔伯特变换的发展现状近年来，随着现代信号的向前发展，人们从不同的研究领域和应用角度出发，提出了拓展经典Hilbert变换，提出了分数阶Hilbert变换，拓展了它的应用范围。
比如子波构造，特别是时序列信号的解析子波分析；基于离散时间的分数阶希尔伯特变换的调制与解调系统；利用广义化后的Hilbert构造的广义解析信号进行图像边缘的检测等等。
在数字与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换在此标示为H——是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s(t)。
因此，希尔伯特变换结果s(t)可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络，出现在通讯理论中。
在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。
由于希尔伯特变换可以提供90度的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。
因此，希尔伯特在通信领域获得了广泛应用。
例如：利用希尔伯特变换进行谐波恢复，希尔伯特变换在故障诊断中的应用，希尔伯特变换在信号解调中的应用，希尔伯特变换在语音信号处理中的应用等。
二、希尔伯特变换的分析希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David )来命名。
在信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换(Hilbert transform)，是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s(t)。
因此，希尔伯特变换结果s(t)可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。
用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络。
（一）希尔伯特变换的定义1、卷积积分设实值函数)(t f ，其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()( (2-1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2-2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(2-3) 2、2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(2-3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和π1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (2-4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3、解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (2-5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (2-6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(2-7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (2-8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(2-9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (2-10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (2-11) 其中因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
（二）希尔伯特变换的性质① 线性性质若a ，b 为任意常数，且)]([)(11t f H t f =∧，)]([)(22t f H t f =∧，则有)()()]()([2121t f b t f a t bf t af H ∧∧+=+ (2-12)② 移位性质)()]([a t f a t f H -=-∧(2-13)③ 希尔伯特变换的希尔伯特变换)()]([t f t f H -=∧(2-14)此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到)()]([22t f j t f H n n = (2-15)④逆希尔伯特变换ττπτd t f t f H t f ⎰∞+∞-∧∧--==)()()]([)(1 (2-16) ⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B)(t f 为)(t f ∧与πt 1-的卷积，可表示为 )]()sgn([)(1f F f j F t f ∧-= (2-17)其中，)]([)(t f F f F ∧∧=。
⑤ 奇偶特性如果原函数)(t f 是t 的偶（奇），则其希尔伯特变换)(t f ∧就是t 的奇（偶）函数，即⎪⎩⎪⎨⎧↔↔∧∧偶奇奇偶)()()()(t f t f t f t f (2-18) ⑥能量守恒根据帕塞瓦尔定理可知⎰⎰∞∞-∞∞-=df f F dt t f 22|)(|)(和⎰⎰∞∞-∞∞-∧∧=df f F dt t f 22|)(|)(因而有⎰⎰∞∞-∞∞-∧=dt t f dt t f )()(22(2-19)⑦正交性质0)()(=⎰∞∞-∧dt t f t f (2-20)⑧调制性质对任意函数)(t f ，其傅里叶变换)(t F 是带限的，即⎩⎨⎧≤=其他 ,0||),()(mf f t F t F则有⎩⎨⎧==t f t f t f t f H tf t f t f t f H 00002cos )(]2sin )([2sin )(]2cos )([ππππ (2-21)⑨卷积性质)(*)()](*)([2121t f t f t f t f H ∧∧= (2-22)另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。