(精校版)2016年北京理数高考试题文档版(含答案)
(精校版)2016年高考北京理数高考试题文档版(无答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=x x<2，B= −1，0，1，2，3，则A B=（A）0,1（B）0，1，2（C） −1，0，1（D） −1，0，1，2（2）若x,y满足2x−y≪0,x+y≪3,x≫0,，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，学.科.网则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y∈R,且x>y>o，则（A）1x -1y>0（B）sin x−sin y>0（C）(12)x(-12)y<0 （D）lnx+lny>0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）16（B）13（C）12（D）1(7)将函数y =sin （2x ﹣π3）图像上的点P （π4，t ）向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y =sin （2x ）的图像上，则（A ）t =12，s 的最小值为π6（B ）t = 32，s 的最小值为π6（C ）t =12，s 的最小值为π3（D ）t = 32，s 的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，学科.网则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a ∈R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
2016年北京高考数学理科答案与解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =33. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=aOCBAyx14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++ A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v，，，(210)CD =--u u u v，，设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n θ=<v u u u⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u rOx yz PABCD∵BM ∥面PCD ，n u u r为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos My θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年北京市高考数学试题(理科)(精校高清)
【 解 析 】 分 别 将 直 线 方 程 和 圆 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ： 直 线 为 x 3y 1 0 过 圆
【答案】6 【解析】∵ {an } 是等差数列，∴ a3 a5 2a4 0 ， a4 0 ， a4 a1 3d 6 ， d 2 ，
C 1, 2
x y3
3．执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为
开始 输入 a
O
x
k 0, b a
a 1 1 a
否
k k 1
ab
输出 k 是
A.1 B.2 C.3 【答案】B 【解析】输入 a 1 ，则 k 0 ， b 1 ；
结束
4 12
6
个单位，故选 A.
1 1 ) ，故此时 P ' 所对应的点为 ( , ) ，此时向左平移 4 3 2 12 2
3 ， s 的最小值为 2 6 3 D. t ， s 的最小值为 2 3
B. t
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．设 a R ，若复数 (1 i )(a i ) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a _______________. 【答案】 1 . 【解析】 (1 i )( a i ) a 1 (a 1)i R a 1 ，故填： 1 .
-
8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个 球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则 须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的 两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑 球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和 丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选 C.
2016年高考北京卷理数试题(答案不全)
绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|x|<2}，B={-1,0,1,2,3}，则A∩B=（A）{0，1} （B）{0,1,2}（C）{-1,0,1} （D）{-1,0,1,2}（2）若,x y满足20,3,0,x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2+x y的最大值为（A）0 （B）3 （C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y∈R,且x>y>0,则（A）11X Y->（B）sinx-siny>0（C）11()()022x y-<（D）ln ln0x y+>（6）某三棱锥的三视图如图所示，则改三棱锥的体积为（A ）16 （B ）13 （C ）12t = （D ）1 （7）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4p t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点'p ，若'p 位于sin 2y x =的图像上，则（A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）2t =，s 的最小值为6π（C ）t=12，s 的最小值为3π （D ）t =，s 的最小值为3π（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。
甲、乙、丙是三个空盒。
每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。
2016年高考北京卷理数试题解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析学而思高考研究中心－成文波、邓杨、邓一维、高杨凯钰、韩晓东、哈茹雪、马佛青、问延炜、吴承峰、吴一炯、王睿瑶、武洪姣、杨连锋、张剑、赵铭雪1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =- .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.3. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b - 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b - 成立，则以a ，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πs i n 2()s i n 23y x s x ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10-=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴∵222a c b +=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4A C +=cos A C +()A A A =+A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD =∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =-，，，(210)CD =-- ，，设n为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅ 故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年高考北京卷理数试题与答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
2016年高考北京卷理数试题解析(正式版)
因此 AB 2 ，故填： 2 . 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化. 12.已知 {an } 为等差数列， S n 为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3 a5 0 ，则 S6 = _______.. 【答案】6
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【解析】 试题分析：∵ {an } 是等差数列，∴ a3 a5 2a4 0 ， a4 0 ， a4 a1 3d 6 ， d 2 ， ∴ S6 6a1 15d 6 6 15 (2) 6 ，故填：6． 考点：等差数列基本性质. 13.双曲线
AM 的值. AP
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考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 1 8.（本小题 13 分） 设函数 f ( x) xe
a x
bx ，曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y (e 1) x 4 ，
C. t
D. t
【答案】A
考点：三角函数图象平移 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其 中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋 中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 【答案】C 【解析】 试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
x2 y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双 a2 b 2
(精校版)2021年北京英语高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2016 年普通高等学校全国统一考试（北京卷）英语本试卷共 16 页，共 150 分。
考试时间为 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分：听力理解（共三节：30 分）第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，共 7.5 分）听下面 5 段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话你将听一遍。
1.What does the man want to borrow?A.A pencil.B.An eraser.C.A pen.2.What is the woman doing now?A.Eating.B.Going home.C.Having group study.3.What does the man have for earthquake preparation?A.A candle.B.A radio.C.A flashlight.4.Where does the conversation most probably take place?A.In a bank.B. In a hotel.C.In a store.5.Where will the man go for his holiday?A.B r azil.B.Denmark.C.Greece.第二节（共 10 小题；每小题 1.5 分，共 15 分）听下面 4 段对话或独白。
每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有 5 秒钟的时间阅读每小题。
听完后，每小题将给出 5 秒钟的作答时间。
每段对话或独白你将听两遍。
听第6 段材料，回答第 6 至7 题。
6.When does the supermarket close on Sundays?A.At 5:00 pm.B.At 7:00 pm.C. At 8:00 pm.7.What have the two speakers decided to do now?A.Go shopping.B.Take a walk.C.Have dinner听第7 段材料，回答第8 至9 题。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A =错误！未找到引用源。
B =错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
（C ） 错误！未找到引用源。
（D ）错误！未找到引用源。
（2）若x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x 错误！未找到引用源。
，则2x+y 的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（4）设a,b 是向量，则“I a I=I b I ”是“I a+b I=Ia-b I ”的（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知x,y 错误！未找到引用源。
R,且x 错误！未找到引用源。
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0，则 （A ）错误！未找到引用源。
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(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）错误！未找到引用源。
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（D）1(7)将函数错误！未找到引用源。
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，s的最小值为错误！未找到引用源。
（C）t=错误！未找到引用源。
，s的最小值为错误！未找到引用源。
（D）t=错误！未找到引用源。
，s的最小值为错误！未找到引用源。
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a错误！未找到引用源。
R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在错误！未找到引用源。
的展开式中，错误！未找到引用源。
的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
交于A，B两点，则错误！未找到引用源。
=____________________.（12）已知错误！未找到引用源。
为等差数列，错误！未找到引用源。
为其前n项和，若错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.（13）双曲线错误！未找到引用源。
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。
若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.（14）设函数错误！未找到引用源。
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________。
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分） 在∆ABC 中，3332a c b ac +=+ （I ）求B ∠ 的大小（II ）求2cos cos A C + 的最大值（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记错误！未找到引用源。
，表格中数据的平均数记为 错误！未找到引用源。
，试判断 错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的大小，（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。
（18）（本小题13分） 设函数f(x)=xe a xe- +bx ，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I ）求a,b 的值；(I I) 求f(x)的单调区间。
（19）（本小题14分）已知椭圆C ：22221X y a b += （a>b>0）的离心率为32，A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；(I I)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。
求证：lANl lBMl 为定值。
（20）（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。
如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。
记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。
（I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ∅ ；(I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）60 （11)2 （12）6（13）2 （14）2 )1,(--∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .又因为π<∠<B 0，所以4π=∠B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知43π=∠+∠C A . )43cos(cos 2cos cos 2A A C A -+=+π)4cos(sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2π-=+=+-=A A A A A A ,因为430π<∠<A ，所以当4π=∠A 时，C A cos cos 2+取得最大值1.（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为40208100=⨯. （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ， 由题意可知，51)(=i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 4018151)()()(=⨯=j i j i C P A P C A P ,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j .设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （Ⅲ）01μμ<.（17）（共14分） 解：（Ⅰ）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以⊥AB 平面PAD . 所以PD AB ⊥. 又因为PD PA ⊥， 所以⊥PD 平面PAB .（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结CO PO ,.因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -.由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=PB ，所以33,cos -=⋅>=<PBn PB n PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（Ⅲ）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得∥BM 平面PCD ，此时41=AP AM . （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a 解得e b a ==,2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ex xe x f x+=-2)(.由)1()(12--+-='x xe x ex f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号.令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g .所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值. （20）（共13分）解：（Ⅰ）)(A G 的元素为2和5.（Ⅱ）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i . 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*， 则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G . （Ⅲ）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n . 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1a a N -.。