二次根式的讲义
最新二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式【知识要点】 必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ； ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab ba b a ； ⑤()()b a b a b a b a ba b a --=-+-=+1； ⑥b a b a ba -+=-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abD 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m【典型例题】例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x231-．例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．例1、乘法运算（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122532⋅-例2：除法运算（1）354- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2294a b例3：加减混合运算（1）4832315311312--+（2）xx x x 1246932-+二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并例1、计算：（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a（2）312)22(28++-（3）32)2145051183(÷-+（4）20)21()23(3632918-+-++--【变式练习】计算：6、27348612421-+-； (2))312218(21812-+--(3)a ab a b ab a 4322763232+-，其中0>ab(4)33)2321418(÷---【课堂练习】1．如果03332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ． 2．已知y x ,的实数，214422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ． 3．化简下列各式：（1）()()()44322>---a a a（2）()()233522-+---4．已知23-=a ，求121232---++a a a a a 的值．【贴近中考】1. (2011 江苏省南京市)计算)(12-=___________．2. (2011 江苏省扬州市)=_______________．3. (2011 内蒙古包头市)_________4. (2011 青海省)___________．5. (2011 山东省菏泽市) 实数a在数轴上的位置如图所示，则）A. 7B. -7C. 2a-15D. 无法确定6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（）A=Ｂ．2=Ｃ．=Ｄ．2=-7. (2011 山东省聊城市)=_____________.8. (2011 山东省临沂市)计算）A．Ｂ．5-C．5D．。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。
需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。
4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。
三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式【知识要点】 必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ； ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab ba b a ； ⑤()()b a b a b a b a ba b a --=-+-=+1； ⑥b a b a ba -+=-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abD 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m【典型例题】例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x231-． 例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ． 例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．例1、乘法运算（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122532⋅- 例2：除法运算（1）354- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2294a b 例3：加减混合运算二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并例1、计算：（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a（4）20)21()23(3632918-+-++-- 【变式练习】 计算：6、27348612421-+-； (2))312218(21812-+-- (3)a ab a b ab a 4322763232+-，其中0>ab (4)33)2321418(÷--- 【课堂练习】 1．如果03332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ．2．已知y x ,的实数，214422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ． 3．化简下列各式：（1）()()()44322>---a a a （2）()()233522-+---4．已知23-=a ，求121232---++a aa a a 的值． 【贴近中考】1. (2011江苏省南京市)计算)(12=___________． 2. (2011江苏省扬州市)=_______________．3. (2011内蒙古包头市)_________ 4. (2011青海省)___________．5. (2011 山东省菏泽市) 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A. 7B. -7C. 2a -15D. 无法确定 6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（ ）A=Ｂ．2=Ｃ．=Ｄ．2=7. (2011山东省聊城市)=_____________.8. (2011 山东省临沂市)计算的结果是（ ）A．Ｂ．5C ．5D ．0 5 a 10。
二次根式讲义
二次根式辅导讲义同步知识梳理一:二次根式得概念二次根式得定义形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.二:二次根式得性质1、非负性:a a()≥0就是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2、()() a aa20=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:a a a=≥()()203、a aa aa a20 ==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定就是正数.(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.4、公式a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa20=≥得区别与联系(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.(3)a2与()a 2得运算结果都就是非负得.三:最简二次根式与同类二次根式2a B、1-－3＜0,则化简(1)148 (2)4337- (3)11212 (4)13550-【例14】把下列各式分母有理化(1)328x x y(2)38xx【例15】把下列各式分母有理化:（1）221- (2)5353+- (3)333223- 举一反三:1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式得值:(1)x y x y +-(2)223x xy y -+专题五:二次根式计算——二次根式得乘除【例16】化简(1)916⨯ (2)1525⋅ (3)229x y (0,0≥≥y x ) (4)12×632⨯ 【例17】计算(1)(2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【例18】化简:(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (2)2964xy )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷(4)648【例20】能使等式22xxx x =--成立得得x 得取值范围就是( )A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解专题六:二次根式计算——二次根式得加减【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a ba b a b--+-+ 专题七:二次根式计算——二次根式得混合计算与求值1、ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418－348 ) 3、132x y ·(-42y x)÷162x y 4、673)32272(-⋅++5、62332)(62332(+--+)6、1110)562()562(+-【例21】 1.已知:,求得值.2．已知,求得值。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式讲义
二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。
6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。
二次根式讲义 Word
二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。
知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。
例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值． 点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。
点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。
例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。
例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。
点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。
例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。
例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。
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专题一 二次根式【知识点 1】二次根式的概念：一般地，我们把形如a 0（a 0） 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数 a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被 开方数的取值范围有限制：被开方数 a 必须是非负数。
例 1 下列各式 1） 1,2） 5,3） x 2 2,4） 4,5） （ 1）2,6） 1 a,7） a 2 2a 1 ， 其中是二次根式的是 ____________________ （填序号）．例2 使 x ＋ x 1-2 有意义的 x 的取值范围是（）A ．x ≥0B ．x ≠2C ．x>2D ．x ≥0且 x ≠2．[来源:学*科*网 Z*X*X*K]例 3 若 y= x 5 + 5 x +2009 ，则 x+y=练习 1 使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x4A 、x>3B 、x ≥ 3C 、 x>4D 、x ≥3 且 x ≠4练习 2 若 x 1 1 x （x y ） ，则 x －y 的值为（）A ．－ 1B ．1C ．2D ．3例 4 若 a 2 b 3 0，则 a 2 b = 。
例 5 在实数的范围内分解因式： X 4 - 4X 2 + 4= ___________ 例 6 若 a 、 b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）：A 、a 2 +b 2 = a 2+b 2 ；B 、 （a 2+b 2） 2 =a 2+b 2； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、 （a —b ） 2 =a —b ；【知识点 2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性， a 0（a 0） 的最小值 是 0 ；也就是说 （ ）是一个非负数，即0（ ）。
注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正 数，0 的算术平方根是 0，所以非负数 （）的算术平方根是非负数， 即0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ；若，则a=0,b=0 ；若，则a=0,b=0 。
（2）（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
3）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
（4）与的异同点不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0 ，负实数。
但与都是非负数，即例 17 若， 。
因而它的运算的结果是有差别的， ，相同点：当被开方数都是非负数， 即 时， = ； 时， 无意义，而 a 、 b 、c 为三角形的三条边，则 (a b c) 2 b a cA 、把 (2-x) 1的根号外的（ x22 x B 、 x 22-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）C 、2xD 、若二次根式 2x 6有意义，化简│ x-4 │-│7-x │。
10 11 121314 15 16已知 x 、y 是实数，且满足 y= x —6 + 6—x +1 试求 9x —2y 的值 若实数 a 满足 a 2 +a=0, 则有 （ A ． a>0 B ． a ≥ 0列命题中，正确的是（ A ．若 a>b ，则 a > b C ．若 |a|=（ b ） ，则 a=b24n 是整数，则正整数 nA 、4； 实数a 、B 、 5； )C)B D 的最小值是a<0 D． a ≤0．若 ．若a >a ，则 a>0 a 2=b ，则a 是b 的平方根 b 在数轴上的位置如图所示，那么、6； a b a 2 的结果是什么？D 、 7．11a 1 7 ,则a 1aa≥0 时， a 2 、 （ a ）2 、- a 2 ，比较它们的结果， 下面四个选项中正确的是（ ）．已知已知 ． a 2 = ( a)2 ≥ - a 2 B ． a 2 > ( a)2 >- a 2 ． a 2 < ( a)2 <- a 2D． - a 2 > a 2 = ( a)20<x <1，则 (x 1)2 4 －x A )2xxB )－ 2x(x 1)2 4 等于C ）－ 2xD )2x1 1 1 1【提示】（x－）＋4＝（x＋），（x＋）－4＝（x－）．又∵ 0<x< 1，x x x x11∴ x＋ >0，x－ <0．【答案】D．xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A）不正确是因为用性质时没有注1意当0<x<1 时，x－ <0．x练习 3 若|1－x|－x2－8x+16 ＝2x－5，则x的取值范围是（）A．x>1 B．x<4 C ．1≤x≤4 D ．以上都不对练习 4 若x 0 时，则|1 x| x2 ______________练习 5 若y 3x 6 6 3x x 3，则10x＋2y 的平方根为______________________练习 6 若x 3 ，则1 1 x 2等于（）A.1 ； B 、1； C 、3； D 、3练习7 已知x 5，化简x 2 x 4 的结果是．练习8 若x2 3 3 x2 2 y 试求x y的值。
练习9 已知2x 1 1 2x 2a 4，求a 的值。
练习10 若x y y2 4y 4 0 ，求xy的值专题二二次根式的乘除【知识点1】二次根式的乘法法则： a b ab（a 0,b 0）。
得出：二次根式相乘，把被开方数相乘，而根号不变。
将上面的公式逆向运用可得：ab a b（a 0,b 0）积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
例1 化简：（1）64x2 y3（x ≥0，y ≥0）＝__ ；（2）a2b4 a4b2（a≥0，b≥0）＝_________ ．（3）练习 1 化简二次根式 （ 5）2 3 得（ ）知识点 2 】二次根式的除法： （ 1）一般地，对于二次根式的除法规定a（a 0,b 0）. 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 baa的算术平方根即 a b(a 0,b 0). b注】分母有理化二次根式的除法运算， 通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。
分母有理化：1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化 2）关键：4) (a 1)a1Ａ． 5 3Ｂ． 5 3例 2 下列各式中不成立的是（ ）Ａ． （ 4）（ x 2） 2 xＣ．5 25 4 Ｃ．1 19 99练习 2 下列各式中化简正确的是（Ａ． ab 2 abＣ． 941 x 2y 321x y 例 3 计算：Ｃ． 5 3 Ｄ． 30Ｂ． 402 242 64 16 32Ｄ． ( 6 2)( 6 2) 4 )Ｂ．14x 1 x 24Ｄ． 5ab 4 b 4 b 2 5a 1例 4 若 b>0， x<0，化简：x 3b练习 4 如果 x （ y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）．把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号例 5 2+ 3 的有理化因式是 ____________ ； x- y 的有理化因式是 __________- x 1- x 1 的有理化因式是 _________________ ．例 6 若 6 4 2 的整数部分为 a ，小数部分为 b 。
求 a 2 的值 b练习 3 已知 11 1 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，试求 11 a b 1 的值【知识点 3】同类二次根式：（ 1）被开放数不含分母； （2）被开放数中不含开得 尽方的因数或因式。
例 8 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（A ） 12（B ） xy （ C ） 3 （ D ） 4a 3b 2例 9 已知 xy 0，化简二次根式 x 2y 的正确结果为 ___________ ．例 10 设 a= 3 2，b=2 3，c= 5 2，则 a 、b 、c 的大小关系是-1m3）3m23n 22a 2例7）÷ m>0， n>0)32 m a 2na>0)x专题三 二次根式的加减知识点 1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被 开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
同类二次根式与同类项的异同： 一 . 相同点：1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系， 字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关 系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根 号部分看做是同类项的字母及指数部分， 把根号外的因式看做是同类项的系 数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类 二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
二 . 不同点：1. 判断准则不同。
判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否 相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是 否对应相同”，练习 5 练习 6 A.．（y>0） B ． xy （ y>0） Cy化简二次根式 aa2 a 22的结果是 aa2列二次根式中，最简二次根式是（a1 2B. a 2 1C.xy（y>0） D ．以上都不对 ya24abD. a 2b与系数无关2. 合并形式不同例 1 在8 、1 75a 、2 9a 、125 、2 3a3、3 0.2 、-2 1中，与3a 是同类3 3 a 8 次根式的有例 2 若最简根式3a b4a 3b与根式2ab2 b3 6b2是同类二次根式，求a、b的值．练习 1 下列二次根式中与2 是同类二次根式的是( )．A．12 B ．3C ．2D ．182322练习2若最简二次根式3m2 2 与n 14m2 10 是同类二次根式，求m、n的值．3【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开放数相同的根式进行合并。
例 3 ( 1) 4 ( 48 6) 27 ( 2 ) 3 90+ - 4(3) 2x 8x3 2 2xy2(x 0,y 0)例 4 已知4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求( 2x 9x +y2 x3)- (x2 1-5x y)的值．知识点3】二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的x y y x y x x y x y y x y x x y若 x ，y 为实数， 且 y ＝ 1 4 x ＋ 4x 1＋ I ．求 II2 y －x2 y 的值．2 y x y x1 4 x 0 提示】要使 y 有意义，必须满足什么条件？ [ ] 你能求出 x ，y 的值吗？4x 1 0.y ＝3 2 ，求 x4 y 2x 3y 2 x 2y 3 的值．提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．Iy211＝ | y x y x | －| y x x y | ∵ x ＝ 14 ，y ＝ 21解】要使 y 有意义，必须 [1 4x 0 ，即4x 1 0x 14∴ x 41.∴4x ＝ 1 ．当 4 x ＝ 1 时，4y ＝又∵( x yy x )2<y原式＝1 ，y ＝ 41时，原式＝ 22 ．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，例 5 计算 （ 1） a b a b 2 ab 2)a b a b3）例6例 7 已知 x ＝解】∵ x ＝ 3 2 ＝ ( 3 2) ＝ 5＋ 2 6 ，32y ＝ 3 2 ＝ ( 3 2) ＝ 5－2 6 ． 32∴ x ＋y ＝10，x －y ＝ 4 6 ，xy ＝ 52－ (2 6 ) 2＝1．2 x 9x 2x2 13 6x x ，其中x 4。