等差数列拔高训题
等差数列提高练习题（有难度高考要求）
等差数列提高练习题（有难度高考要求）第一篇：等差数列提高练习题(有难度高考要求)智天教育练习题1.已知数列{an}中，a1=，an=2-351(n∈N+)；an-11an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由2.（本小题满分10分）在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n（1）设bn=an,证明{bn}是等差数列;2n-1（2）求数列{an}的前n项和Sn。
3.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn．(Ⅰ)设Sk=2550，求a和k的值；(Ⅱ)设bn=4.（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10。
（I）求证：{lgan}是等差数列；Sn，求b3+b7+b11+⋅⋅⋅+b4n-1的值．n⎧⎫3（Ⅱ）设Tn是数列⎨⎬的前n项和，求Tn；(lga)(lga)nn+1⎭⎩2*（Ⅲ）求使Tn>(m-5m)对所有的n∈N恒成立的整数m的取值集合。
14智天教育练习题5.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列⎨6.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且⎧an⎫⎬的前n项和Sn．⎩bn⎭a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式．（2）令bn=lna3n+1，n=1求数列{bn}的前n项和T．，2，7.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1（n≥2,q≠0）．（Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N），证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N，an是an+3与an+6的等差中项．**第二篇：等差数列练习题等差数列练习题班级：＿＿姓名：＿＿＿＿1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为()A．130B．260C．156D．1682．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d 等于()A．1B.5C．2D．33．设Sa55S9n是等差数列{an}的前n项和，若a＝9，则S()A．1B．－1C．2D.14．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.245．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是()A．4B．5C．6D．76.在等差数列{aaa1n}中，若4＋a6＋a8＋10＋a12＝120，则a9－311的值为()A．14B．15C．16D．177．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝08．已知两个等差数列{aAn7n＋45ann}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且B＝＋3，则使得bnnn 整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5 9．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________． 10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.11.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n 项和为S⎧⎪Sn⎫⎪n，则数列⎨⎪⎩n⎭⎪的前10项和为________.12.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数为________.13.已知数列{an}是等差数列．(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．14.已知数列{a的前n项和为S⎛S⎫n}n，点 ⎝n,nn-1⎪⎭（n∈N+）均在函数y=3x-2的图像上，求数列{an}的通项公式。
03等差数列练习卷
育才思维训练——等差数列1、在马路的一旁种树，从头开始种，每隔3米种一棵，第30棵树应该种在多远处？2、马路一旁种树，马路全长101米，如果两端都种，每隔3米种一棵，总共可以种多少棵树？公式：和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差首项=末项-（项数-1）×公差【问题一】有一等差数列1、4、7、10……这个数列的第30项是多少？1、一个等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，他的末项是多少？【问题二】有一等差数列，2、5、8、11、……101，这个数列共有多少项？1、在等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个数列共有多少项？【问题三】已知等差数列的末项是162，公差为7，项数为22.这个等差数列的首项是多少？1、已知等差数列的公差是5，末项=165，项数是30，这个数列的首项是多少？【问题四】如果一个等差数列的第四项为21，第六项为33，求他的第8项。
1、如果一个等差数列的第5项为19，第8项为61，求它的低11项。
等差数列练习1、求等差数列1、6、11、16……的第20项是多少？2、已知等差数列2、5、8、11、14……问47是其中第几项？3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。
4、已知等差数列的公差为4，末项为280，数列共25项，这个数列的首项是多少？这个数列的第16项是多少？5、小剧场共有40排座位，每一排都比前一排多2个座位，最后一排有120个座位，第一排有多少个座位？第25排有多少个座位？6、如果一个等差数列的第2项为5，第5项为20，求它的第7项。
7、有一个等差数列，5、8、11、14、17……这个数列的第201项是多少？8、电影院有26排座位，每排都比前一排多2个座位，最后一排有80个座位。
第一排有多少个座位？9、已知等差数列5、8、11、14、17……，176是这个数列的第几项？。
等差数列提高题
等差数列提高训练一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 109、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A nn，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8711、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88ab = . 三．解答题1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、设等差数列}{n a 的前n 项和公式是S n =5n 2+3n ，求它的前3项，并求它的通项公式4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元， （Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.6、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T7、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；参考答案一、选择题1-5 B A C B C 6-11 C B A ADD 二、填空题1、02、63、16504、-105、36、6 三．解答题1、n a n 2.0=，393805251=+++a a a ．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩ ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、略4、解：设等差数列首项为a 1，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+75156626411d a d a 解得：a 1=－20,d=3。
等差数列练习题及答案
等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中都扮演着重要的角色。
其中，等差数列是数学中的一个重要概念，也是我们常见的数学问题之一。
本文将为大家提供一些等差数列的练习题及答案，以帮助大家更好地理解和掌握这个概念。
练习题一：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。
解答一：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。
代入已知条件，可得第10项的值为a10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48。
练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该等差数列的公差。
解答二：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。
代入已知条件，可得2n^2 + n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。
化简后得到2n^2 + n = n/2(2a1 + (n-1)d)。
进一步化简可得4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)。
由于等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，所以4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)也是一个关于n的二次函数。
两个二次函数相等，意味着它们的系数相等。
根据系数相等的条件，可得4 = 2a1 + (n-1)d，即2a1 + (n-1)d = 4。
由此可得公差d = (4 - 2a1)/(n-1)。
练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的首项。
解答三：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。
代入已知条件，可得3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。
化简后得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。
进一步化简可得6n^2 + 4n =n(2a1 + (n-1)d)。
等差数列的练习题
等差数列的练习题一、选择题1. 等差数列中，第3项与第1项的差是4，那么第5项与第2项的差是（）。
A. 6B. 8C. 10D. 122. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值是（）。
A. 23B. 25C. 27D. 293. 一个等差数列的前10项和为100，首项为5，公差为2，那么第10项的值是（）。
A. 25B. 27C. 29D. 31二、填空题4. 等差数列{an}的前n项和公式为S_n=____，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
5. 如果等差数列的第m项am与第n项an的和为P，那么第m+n项的值是____。
6. 已知等差数列的前n项和为S，第n项为an，那么第n+1项的值是____。
三、计算题7. 一个等差数列的首项是10，公差是3，求前8项的和。
8. 已知等差数列的前20项和为2000，首项为50，求第20项的值。
9. 一个等差数列的第5项是20，第8项是35，求这个数列的通项公式。
四、证明题10. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
11. 证明等差数列的前n项和是关于n的二次函数。
12. 证明等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
五、应用题13. 某工厂计划每年增加相同数量的机器，如果第一年有100台机器，每年增加20台，求第5年时工厂拥有的机器总数。
14. 一个运动员在训练中，每天增加相同的训练量，如果第一天训练了2小时，之后每天增加0.5小时，求第10天的训练时间。
15. 一个等差数列的前5项和为40，首项为8，公差为x，求这个数列的第6项。
参考答案：1. B2. A3. A4. S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)5. am+n = P - an + am6. an+1 = S - an + a17. 等差数列前8项和为3208. 第20项的值为1109. 通项公式为an = 5 + (n-1) * 510. 略11. 略12. 略13. 第5年时工厂拥有的机器总数为220台14. 第10天的训练时间为6.5小时15. 第6项为16（完）。
等差数列高三练习题
等差数列高三练习题高中数学是一门重要的学科，其中等差数列是基础且常见的一个概念。
为了帮助高三学生加强对等差数列的理解和应用能力，在本文中，我将提供一些等差数列的高中练习题。
希望这些练习题能够帮助学生们巩固所学知识，提高解题能力。
1. 求差是5的等差数列的前n项和公式。
2. 若等差数列的前项是a1=2，公差是d=3，求该等差数列的第50项。
3. 若等差数列的前项是a1=-1，公差是d=4，求该等差数列的前100项和。
4. 求差是2的等差数列的第10项与第20项的和。
5. 若等差数列的前项是a1=-3，公差是d=6，求该等差数列的前20项和。
6. 若等差数列的前项是a1=2，第n项是an=20，求公差d。
7. 若等差数列的前项是a1=5，第n项是an=50，求两者之间共有多少项。
8. 若等差数列的前项是a1=2，第n项是an=50，求两者之间的公差d。
9. 若等差数列的前项是a1=1，公差是d=3，求该等差数列的第40项。
10. 若等差数列的前项是a1=5，公差是d=2，求该等差数列的前50项和。
11. 若等差数列的前项是a1=10，公差是d=-2，求该等差数列的第20项。
通过以上练习题，我们可以对等差数列有一个更加深入的理解。
希望同学们在解题过程中，能够逐步掌握解等差数列题目的方法和技巧。
相信通过不断地练习，你们的数学水平会有一个显著提高。
这些练习题虽然简单，但蕴含的数学思维和逻辑性是我们学习数学的基础。
同时，这些题目也为我们以后更深入和复杂的数学问题奠定了基础。
因此，希望大家在解题的同时，能够保持耐心和坚持，相信一定能够取得好成绩。
总结通过以上的等差数列练习题，我们可以发现等差数列的规律和解题方法。
在解题过程中，我们需要明确等差数列的公式和性质，并结合给定的条件进行求解。
同时，多做题目能够提高我们的思维逻辑和数学运算能力。
希望同学们能够利用这些练习题，加强对等差数列的掌握，提高解题能力。
同时，还要注重数学知识的应用和实际问题的解决能力。
等差数列专项训练(附答案) 2份
等差数列专项训练姓名 学号 班级 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知等差数列{}n a ，22a =-，64a =，则4a =2、}{n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =4、已知等差数列{}n a 的公差为2，若34a =，则第12项是5、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=6、设}{n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列}{n a 前8项的和为7、数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若322n n S n T n+=，则77a b ＝8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = 9、数列{}n a 的前n 项和为2=2n S n n +，则数列{}n a 的通项公式n a =10、设等差数列}{n a 的前n 项和为48,8,20n S S S ==若，则11121314a a a a +++= 11、设{}n a 递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 12、等差数列{}1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为 13、若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时n 的值是 14、已知数列{}n a 中，11a =，且1113()nn n N a a *+=+∈，则10a ＝二、解答题：15、已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式16、已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，且72,1063==S a （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式 （Ⅱ）若3021-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T17、已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a == （1）求{}n a 的通项; （2）数列{}n a 从哪一项开始小于0; （3）求13519a a a a ++++值。
高三等差数列练习题及答案解析
高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。
希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。
练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。
若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。
解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。
根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。
将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。
练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。
解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。
解析：设新数列的前n项和为S'n。
根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。
设新数列的前n项和为S''n。
根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。
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等差数列拔高训练题
1．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值为 . 提示：1512=a .设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由条件得1116816,31
a d a d a d +++=⎧⇒⎨+=⎩47,4171=-=d a ，故12a 154711417111=⨯+-=+=d a . 2．数列{}n a 是以1为首项,2为公差的等差数列,若23k
b a k =+,则10b =_______. 提示：1012b =.由于12(2)21n a n n =+-=-，那么2123k b k a b k =-=+，从而2k b k =+，于是1012b =.
3．一个多边形的周长等于158 cm ，所有各边的长成等差数列,最大的边的长等于44 cm ,公差d 是3 cm ,则多边形的边数为 .
提示：4=n .由⇒=-⨯-+158)3(2)1(44n n n 4=n 或3
79=n ，由于n ∈N ，得4=n .
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1480,a S S >=,当n S 取得最大值时的n 的值为 .
提示：6=n .由1480,a S S >=0<⇒d 022********=+=+++=-d a a a a a S S ，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<=>-=⇒=+0210210211761d a d a d a ，故当6=n 时，n S 取得最大值. 5．已知单调递增等差数列{n a }前三项之和为21，前三项之积为241，求通项n a . 提示：可设等差数列前三项为,,,a d a a d -+于是可得21,()()241,a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+=⎩
即22321,()241,
a a a d =⎧⎨-=⎩故27,16a d ==，由于数列为单调递增数列，因此4d =，从而41n a n =-为所求.
6.等差数列 ,122,116,110.
（1）此数列在]600,400[之间有多少项？
（2）在（1）中能被5整除的有多少项？
提示：（1）由于通项公式n a n 6104+=，由31823149
6006104400≤≤⇒≤+≤n n ，共有33项.
（2）由⇒≤≤8250n 581549821550≤≤⇒
≤+≤k k 共有7项. 7.以12,,,p S S S 分别为p 个等差数列的前n 项和，且这些等差数列各以1,3,,(21)p -为首项，以1,3,,(21)p -为公差，求证：212(1)2
p n n S S S p ++++=. 提示：第k 个等差数列的首项是21k -、公差也是21k -，那么
(1)(21)(21)2k n n S n k k -=-+
-(1)(21)2n n k +=-.于是，当1,2,,k p =时，可得
12p S S S +++(1)[13(21)]2n n p +=+++-2(1)2n n p +=. 8.某公司的经营现状是：每月收入45万元，但因设备老化，需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月增加2万元.
（1）该公司在第几个月取得累计总收益的最大值？最大值是多少？
（2）该公司从第几个月起必须进行设备更新？
提示：（1）设该公司第n 个月取得的累计总收益为n A ，则
(1)45[32]2n n n A n n -=--
⨯=222434343()()22
n n n -=--+.由于n N ∈，当21n =或22时，取得累计总收益的最大值，其值为462万元. （2）由于该公司第n 个月取得的收益为45[3(1)2]4420n a n n =-+-⨯=->，可得22n <.显然，第23个月的收益小于零，故从第22个月起必须进行设备更新.
9.若数列{}n a 的前n 项和为2
)(1n n a a n s +=，求证：数列{}n a 为等差数列. 提示：由212))(1(2)(1111111--=--⇒+--+=⇒-=---n n a a a a a a n a a n a s s a n n n n n n n n . 因此212312)()(1211113141213121--⋅⋅⋅-=--⋅⋅--⋅--⋅-=--n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n 121121))(1(a a a a a a n a a n n n -=-⇒--+=⇒-.故数列{}n a 为等差数列.
10.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)若首项=1a 32
，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2
)(2k k S S =成立.
提示：(1)不妨设2n S An Bn =+，则得22222(),k k S A k Bk S Ak Bk =+=+，由
2)(2k k S S =可得2222()()k Ak B k Ak B +=+，考虑到k 为正整数，从而
22222Ak B A k ABk B +=++，也即222()2()0A A k ABk B B -++-=，又
11,1,222d d A B a ===-=所以2104
k k -=，因为0k ≠，从而4k =为所求. (2) 由于“对于一切正整数k 都有2
)(2k k S S =成立”，为此只需寻求,A B 即可.由(1)可知2222()2()0k A A k ABk B B ⎡⎤-++-=⎣⎦.考虑到对一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立，故只需220,20,0,A A AB B B ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩
解之得①0,0A B =⎧⎨=⎩或②1,0A B =⎧⎨=⎩或③0,1.A B =⎧⎨=⎩又1,,22d d A B a ==-从而可得①10,0d a =⎧⎨
=⎩或②12,1d a =⎧⎨=⎩或③10,1.d a =⎧⎨=⎩故满足题意的无穷等差数列有：①0,0,0,0,；②21,1,2,3,
n a n n =-=；③1,1,1,1,.。