等差数列专题练习题

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等差数列练习题(有答案)

等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +2.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .54.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2206.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或207.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .10311.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5212.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .3013.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46514.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13 B .26 C .52 D .56 15.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1616.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+ B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+17.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( ) A .3、8、13、18、23 B .4、8、12、16、20 C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403820.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S二、多选题21.题目文件丢失!22.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( )A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T23.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .324.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >D .110S >25.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值26.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S 或者9S27.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >28.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <29.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ;D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).30.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 2.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果.【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 4.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 5.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 6.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,(2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =. 11.D 【分析】根据等差数列的性质计算求解. 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==,74a =,∴11313713()13134522a a S a +===⨯=. 故选:D . 12.B 【分析】设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选:B 13.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 14.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 15.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 16.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 20.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .二、多选题21.无22.AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a qn N -=∈. 23.BD【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论.【详解】 因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-, 212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-;∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD .【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.24.ABD【分析】转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确;所以6S 最大,故B 正确;所以()113137131302a a S a +⨯==<,故C 错误; 所以()111116111102a a S a +⨯==>,故D 正确. 故选:ABD.25.BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解.【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误;而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>,又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的.∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.26.BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案.【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==,因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大,故选:BD .【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.27.ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误.故选:ABC .【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.28.BC【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案.【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负,因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确;C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型.29.AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误.故选:AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.30.ACD【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确.【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a +⨯===,故D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。

经典等差数列练习题(含答案)

经典等差数列练习题(含答案)

经典等差数列练习题(含答案)等差数列一、选择题:1.2005是数列7,13,19,25,31, ,中的第()项.A.332B.333C.334D.3352.已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有()A.13项B.14项C.15项D.16项3.已知等差数列的通项公式为a n3na,a为常数,则公差d=()4.首项为24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是()A.d 8 8D.8B.d3C. d3 d33 3 3()A.第22项B.第21项C.第20项D.第19项6. 已知数列a,-15,b,c,45 是等差数列,则a+b+c 的值是( )A.-5 B .0 C .5 D .10( ) A.45 B .48 C .52 D .558.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0 的两根,且知d>a1,则这个数列的第30项是( )A.86 B.85 C.84D.83()A.3B.2C.1D.-110、若x≠y,且两个数列:x,a1,a2,y 和x,b1,b2,b3,y 各成等差数列,那么a1x()(A) 3(B) 4(C) 2 (D)值不确定y b3 4 3 3二填空题1.等差数列a n中,a29,a533,则a n的公差为______________。

2.数列{a n}是等差数列,a47 ,则s7_________3.等差数列a n中,a3a524,a23,则a621.4.在等差数列{a n}中,若a4a6a8a10 a12 120,则2a10a12 .5.在首项为31,公差为-4的等差数列中,与零最接近的项是6.如果等差数列a n的第5项为5,第10项为5,则此数列的第1个负数项是第项.7.已知{a n}是等差数列,且a4a7a1057,a4a5a6a14 77,若ak13,则k=8.在△ABC中,A,B,C成等差数列,则tan A tan C3tan A tanC.三、解答题:2 22 21.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

等差数列练习题附答案

等差数列练习题附答案

等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,那么这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,那么S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,则这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,则S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.1.在等差数列{an}中,已知a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52的值。

等差数列练习题(有答案)百度文库

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6.B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围,由此求得 的最大值.
【详解】
依题意 ,所以 ,
所以 的前n项和 的最大值为 .
7.B
【分析】
利用等差数列的性质进行化简,由此求得 的值.
【详解】
由等差数列的性质,可得 ,则
故选:B
8.A
【分析】
根据数列 是等差数列,且 ,求出首项和公差的关系,代入式子求解.
A.3斤B.6斤C.9斤D.12斤
10.已知等差数列 的前 项和 满足: ,若 ,则 的最大值为()
A. B. C. D.
11.已知数列 中, , ,对 都有 ,则 等于()
A. B. C. D.
12.等差数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 的值是()
A.48B.60C.72D.24
13.已知等差数列 中, ,则数列 的公差为()
A.若 是等差数列,则 是等方差数列
B. 是等方差数列
C. 是等方差数列.
D.若 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
23.在等差数列 中,公差 ,前 项和为 ,则()
A. B. , ,则
C.若 ,则 中的最大值是 D.若 ,则 24.题目文件丢失!
25.题目文件丢失!
26.题目文件丢失!
22.BD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A,若 是等差数列,如 ,则 不是常数,故 不是等方差数列,故A错误;
对于B,数列 中, 是常数, 是等方差数列,故B正确;
对于C,数列 中, 不是常数, 不是等方差数列,故C错误;
对于D, 是等差数列, ,则设 , 是等方差数列, 是常数,故 ,故 ,所以 , 是常数,故D正确.

等差数列练习题

等差数列练习题

等差数列练习题(一):一、选择题1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=A.45B.41c.39D.372.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d=A。

12B。

13c.-12D.-13解析:选c。

∵a7=a1+d=21+6d=18,∴d=-12。

解析:选B。

a6=a2+d=5+4d=17,解得d=3。

所以a14=a2+d=5+12×3=41。

3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn都在直线y=2x+1上,则{an}为A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列c.公差为-2的等差数列D.非等差数列解析:选A。

an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A。

4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为A.4B.5c.6D.7解析:选B。

an=2+×3=3n-1。

bn=-2+×4=4n-6。

令an=bn得3n-1=4n-6,∴n=5。

5.下方数列中,是等差数列的有①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A.1个B.2个c.3个D.4个解析:选c。

利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是A.2B.3c.6D.9解析:选B。

由题意得m+2n=82m+n=10,∴m+n=6。

∴m、n的等差中项为3。

二、填空题7.已知等差数列{an},an=4n-3,则首项a1为__________,公差d为__________.解析:由an=4n-3,知a1=4×1-3=1,d=a2-a1=-1=4,所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4。

答案:148.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=__________。

等差数列练习题

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等差数列练习一、选择题1.( )在100至500之间的正整数能被11整除的个数为 .35解析:观察出100至500之间能被11整除的数为110,121,132,…,它们构成一个等差数列, 公差为11,a n =110+(n -1)·11=11n +99,由a n ≤500,得n ≤,n ∈N *,∴n ≤36.答案:C2.( )在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n 2-1(n ≥1),则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于A.-1 B.1 解析:由已知:a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1),∴a 2=0,a 3=-1,a 4=0,a 5=-1.答案:A3.( )若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +3,则此数列的前3项依次为A.-1,1,3 ,1,3 C.6,1,3 ,3,6 解析:当n =1时,a 1=S 1=12-2×1+3=2;当n =2时,由S 2=a 1+a 2=22-2×2+3,得a 2=1; 当n =3时,由S 3=a 1+a 2+a 3=32-2×3+3,得a 3=3.答案:B4.( )等差数列{a n }中,a 4+a 7+a 10=57,a 4+a 5+…+a 14=275,a k =61,则k 等于 .19 C 解析:∵3a 7=a 4+a 7+a 10=57,∴a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=275,可得a 9=25.∴公差d =3. ∵a k =a 9+(k -9)·d ,∴61=25+(k -9)×3,解得k=21.答案:D5.( )设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =A .8 B .7 C .6 D .5 解析:n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若74735,S a == ∴ 4a =5,选D.6.( )已知{a n }是递增数列,且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是A.(-27,+∞)B.(0,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)解析:由{a n }为递增数列得a n +1-a n =2n +1+λ>0恒成立,即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立, 只需λ>(-2n -1)max =-3,故选D.7.( )设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,那么由a n +b n 所组成的数列的第37项为 .37 C D.-37解析:∵{a n }、{b n }为等差数列,∴{a n +b n }也为等差数列.设c n =a n +b n ,则c 1=a 1+b 1=100,而c 2=a 2+b 2=100,故d =c 2-c 1=0.∴c 37=100.答案:C8.( )数列{a n }中,a 1=1,a 2=32,且n ≥2时,有1111+-+n n a a =n a 2,则 =(32)n =(32)n -1 C.a n =22+n =12+n 解析:∵n n n a a a 21111=++-,n ≥2,∴数列{n a 1}是等差数列.∵a 1=1,a 2=32,∴首项11a =1,公差d =211231112=-=-a a .∴21)1(2111+=-+=n n a n .∴a n =12+n .答案:D 9.( )已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1) n -1·(4n -3),则它的前100项之和为B.-200 D.-400解析:S 100=a 1+a 2+…+a 100=1-5+9-13+17-…+(4×99-1)-(4×100-1)=(1-5)+(9-13)+…+[(4×99-1)-(4×100-1)]=-4×50=-200.答案:B二、填空题10.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5,则抽取的是第_______项.解析:由-5×11+21011⨯d =55,得d =2.由a n =5,a n =a 1+(n -1)d 得n =6.答案:6 11.在等差数列{a n }中,公差为21,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________. 解析:由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85.答案:8512.在等差数列{a n }中,若a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9-a 10=________.解析:∵{a n }是等差数列,∴a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,即a 8=24.又∵{a n }是等差数列, ∴a 8+a 10=2a 9.∴2a 9-a 10=a 8=24.答案:2413.若△ABC 三边a ,b ,c 成等差数列,并且a 2,b 2,c 2也成等差数列,则a ,b ,c 的大小关系为 .解析:由题意得⎩⎨⎧+=+=2222,2ca b c a b 由①得c =2b -a ,代入②整理得a 2-2ab +b 2=0. ∴a =b .答案:a =b =c14.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S =14,S 10-7S =30,则S 9= . 解析:设等差数列{}n a 的首项为a 1,公差为d ,由题意得,142)14(441=-+d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ,联立解得a 1=2,d=1,所以S 9=5412)19(929=⋅-+⨯ 15.在-9和3之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-21的等差数列,则n = . 解析:-21=2)39)(2(+-+n ,∴n =5.答案:5 16.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项的和等于 .解析:由a 1+a 2+a 3=-24,可得3a 2=-24;由a 18+a 19+a 20=78,可得3a 19=78,即a 2=-8,a 19=26.∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(-8+26)=180.答案:180 17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++= 45 解析:3S 、63S S -、96S S -成等差数列,从而()78996633632232363945a a a S S S S S S S ++=-=--=-=⨯-⨯=18.在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(n a ,1-n a )在直线x -y -3=0上,则a n = 解析:将点代入直线方程得n a -1-n a =3,由定义知{n a }是以3为首项, 以3为公差的等差数列,故n a =3n ,即a n =3n 2.答案:3n 2三、解答题19.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求其通项a n .解:∵a 1+a 7=2a 4,且a 1+a 4+a 7=15,∴a 4=5.又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.设其公差为d ,又a 4=5,∴a 2=a 4-2d ,a 6=a 4+2d .代入a 2a 6=9可得(5-2d )(5+2d )=925-4d 2=9d =±2.当d =2时,a n =a 4+(n -4)d =5+(n -4)×2=2n -3(n ∈N *);当d =-2时,a n =a 4+(n -4)d =5+(n -4)×(-2)=13-2n (n ∈N *).20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,120S >,130S <。

等差数列练习题(有答案)

等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .92.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .144.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .455.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .56.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9197.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-48.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米9.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .1610.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .16211.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5212.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4513.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .3015.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S16.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n17.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10518.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .519.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1 B .(23)n C .21n + D .12n + 20.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=2二、多选题21.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( )A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列24.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列25.题目文件丢失!26.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=027.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4 B .-2C .0D .228.已知数列{}2nna n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列29.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 2.C【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 4.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B.6.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-,故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 7.A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.8.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 9.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=,故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.11.D 【分析】根据等差数列的性质计算求解. 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==,74a =,∴11313713()13134522a a S a +===⨯=. 故选:D .12.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 13.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 14.B 【分析】设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选:B 15.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 16.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 17.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 18.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d d S n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 19.C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案.【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 20.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C二、多选题21.BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误.选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 23.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 24.BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.25.无26.ABD 【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n-12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 27.AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,则11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n∴=-<,()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故A 正确;对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故B 正确;对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故C 错误;对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故D 错误,故选:AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题. 28.ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+,1(1)2n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD 29.AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >,80a <,即可求公差0d <,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <,所以7670S S a -=> , 因为78S S >,所以8780S S a -=<, 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<, 所以{}n a 是递减数列,故1a 最大,选项A 正确;选项B 不正确;10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>,所以310S S ≠,故选项C 不正确;当8n ≥时,80n a a ≤<,即0n a <,故选项D 正确; 故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ,属于基础题. 30.BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.。

等差数列 练习题

等差数列 练习题

等差数列练习题1. 已知等差数列的首项是 a,公差是 d,前 n 项的和是 S。

请找出下列等差数列的未知数:(1) 首项是 2,公差是 3,前 10 项的和是多少?(解:a=2,d=3,n=10)(2) 首项是 5,前 20 项的和是 450,公差是多少?(解:a=5,S=450,n=20)(3) 前 15 项的和是 240,公差是 4,首项是多少?(解:S=240,d=4,n=15)2. 判断下列数列是否为等差数列,若是,请找出其公差:(1) 2,4,6,8,10 ... (解:是等差数列,公差是 2)(2) 1,3,6,10,15 ... (解:不是等差数列)(3) -3,0,3,6,9 ... (解:是等差数列,公差是 3)(4) 7,7,7,7,7 ... (解:是等差数列,公差是 0)3. 已知等差数列的首项是 2,公差是 3,求前 n 项的和。

解:等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d,其中 an 表示第 n 项,a 表示首项,d 表示公差。

前 n 项的和可以通过等差数列求和公式 Sn = (n/2)(a + an) 计算。

代入已知数据,得到 a = 2,d = 3,Sn = (n/2)(2 + 2 + (n-1)3)。

整理得到 Sn = (n/2)(2n + 4)。

4. 解答下列等差数列问题:(1) 若等差数列的首项是 5,公差是 2,求第 10 项。

(解:a=5,d=2,n=10)(2) 若等差数列的前 8 项和是 100,公差是 3,求首项。

(解:S=100,d=3,n=8)(3) 若等差数列的首项是 3,公差是 -2,求前 12 项的和。

(解:a=3,d=-2,n=12)5. 在等差数列中,若已知首项和第 n 项,求公差。

解:已知首项 a 和第 n 项 an,根据等差数列的通项公式 an = a + (n-1)d,可以得到公差 d 的值。

d = (an - a) / (n - 1)6. 若等差数列的首项是 1,公差是 4,求第 n 项以及前 n 项的和。

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等差数列及其前n 项和练习题
一.填空题:
1.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6= .
2.【2010•全国卷2理数】如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么
127...a a a +++= .
3.设n s 是等差数列{n a }的前n 项和,已知1a =3,5a =11,则7s = .
4.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a = .
5. (2010•安徽文数】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a = .
6.已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S = .
7.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 .
8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735,S =则4a = .
9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若361,3
S S =则612S S = 10已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1,则此数列的公差d 的取值范围是 .
11.数列{a n }的通项a n =2n +1,则由b n =
n
a a a n +++ 21(n ∈N *),所确定的数列{
b n }的前n 项和n S = .
12设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++= 13设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = . 14在数列{}n a 中,11a =,且对于任意自然数n ,都有1n n a a n +=+,则100a = .
二.解答题:
15.等差数列{}n a 中,已知33,4,3
1521==+=n a a a a ,试求n 的值
16【2010•北京文数】已知{}n a 为等差数列,且36a =-,60a =。

(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式
17设n S 为数列{}n a 的前n 项和,122++=n n S n ,*n N ∈
(1)求1a 及n a ;
(2)判断数列{}n a 是否为等差数列?并产明理由。

18.设等差数列{a n }的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求: ①{a n }的通项公式a n 及前n项的和S n ;. ②|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
19.在等差数列{an }中,4a =-15, 公差d =3,求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值.
20.已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;
(Ⅱ)令b n =
211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .。

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