(完整版)等差数列专题

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．回顾：1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．B ． 1C ．D ． ﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列 D ． 不是等差数列 3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23 B ． 24 C ． 25 D ． 26 4．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1 B ． 3 C ． 2 D ． 5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8=a 4+a 5 C ． a 1+a 8＜a 4+a 5 D ． a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列，，则解：方法1： 方法2：，方法3：令，则方法4：{}n a 为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，20,86015==a a =75a Θ154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a ∴2415474156474175=⨯+=+=d a a Θ1544582015601560=-=--=a a d ∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a b an a n +=38,45162060815==⇒⎩⎨⎧=+=+b a b a b a ∴24384516757575=+⨯=+=b a a Θ∴7560453015,,,,a a a a a 1d 15a 60a为第4项.方法5：{}n a 为等差数列，三点共线对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，（互不相等），求.2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型2：已知前项和及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【例2】已知为等差数列{}n a 的前项和，，求解：设等差数列的首项为，公差为，则对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.4.已知为等差数列{}n a 的前项和，，则.题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a Θ∴),75(),,60(),,15(756015a a a 2415204582060751560757560751560=⇒-=-⇒--=--a a a a a a q a p a n m ==,k n m ,,k a 551655n n S dn a a n )1(1-+=1a dn S n n a a +1n S n n S n 63,6,994=-==n S a a n 1a d3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n n n S n100,7,141===n S a a =n n S n a（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列{}n a 的前项和，.（1）；⑵求； ⑶求.解：，当时，，当时，，当时，， .由，得，当时，；当时，.（1）；⑵；（3）时，，当时，对应练习：5、已知为等差数列{}n a 的前项和，，求.n S n 212n n S n -=321a a a ++10321a a a a ++++Λna a a a ++++Λ321Θ212n n S n -=∴1=n 1111211=-==S a 2≥n n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-1=n 1111213a ==⨯-∴n a n 213-=0213≥-=n a n 213≤n ∴61≤≤n 0>n a 7≥n 0<n a 27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a )(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ΛΛ52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S 61≤≤n 232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ΛΛ7≥n )(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ΛΛΛ.7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n n n n S S n n S n 10,10010010==S S 110S考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：（，是常数）{}n a 是等差数列；2、中项法：(){}n a 是等差数列；3、通项公式法：（是常数）{}n a 是等差数列； 4、项和公式法：（是常数，）{}n a 是等差数列.【例4】已知为等差数列{}n a 的前项和，. 求证：数列是等差数列.解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为，，（常数）数列是等差数列.方法2：， ，， 数列是等差数列.对应练习：6、设为数列{}n a 的前项和，，（1） 常数的值；（2） 证：数列是等差数列.d a a n n =-+1+∈N n d ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔b kn a n +=b k ,⇔Bn An S n +=2B A ,0≠A ⇔n S n )(+∈=N n nS b nn {}n b d d n n na S n )1(211-+=∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111dd n a nd a b b n n =---+=-+∴{}n b Θd n a n S b n n )1(211-+==∴nd a b n 2111+=+d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ∴{}n b n S n )(+∈=N n pna S n n .21a a =p {}n a考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知为等差数列{}n a 的前项和，，则 ；2、知为等差数列{}n a 的前项和，，则.解：1、；2、方法1：令，则. ，，；方法2：不妨设.， ；方法3：{}n a 是等差数列，为等差数列三点共线.n S n 1006=a =11S nS n)(,m n n S m S m n ≠===+n m S 11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S Bn An S n +=2n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222Θm n ≠∴1)(-=++B m n A ∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+n m >mn a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321Λ∴211-=+=+++m n n m a a a a ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++Θ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m nSn n m m n,,,,,.对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）8.设、分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前项和，，则. 考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求； 2、求出后，判断的单调性.【例6】已知为数列{}n a 的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴ 数列{}n a 、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值. 解：⑴，当时，；当时，当时，，；，是等差数列，设其公差为.则，∴)(n m S nm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++12+n .A n n 12+.B n n 1+.C n n 1-.D nn 21+n S nT n 327++=n n T S nn=55b a n a n S n T n T n S n n n S n 211212+={}n b 113=b nn n b b b -=++1229.153{}n b nT {}n c n)12)(112(6--=n n n b a c 57kT n >+∈∀N n k Θn n S n 211212+=∴1=n 611==S a 2≥n 5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 1=n 1651a ==+∴5+=n a n Θ222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ∴{}n b d3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b.⑵，是单调递增数列. 当时， 对都成立 所求最大正整数的值为.对应练习：9.已知为数列{}n a 的前项和，，.⑴ 数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则A ．B ．C ．D ．2.在等差数列{}n a 中，，则 .3.数列{}n a 中，，当数列{}n a 的前项和取得最小值时，.4.已知等差数列{}n a 共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .5.设数列中，，则通项 .6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第∴23)1(35+=-+=n n b n Θ[][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 121121)12)(12(2+--=+-=n n n n ∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n ΛΘ+∈N n ∴n T ∴1=n ()323111min =-==T T n ∴57k T n >+∈∀N n ()38573257min <⇔>⇔>⇔k k k T n ∴k 37n S n 31=a )2(21≥=-n a S S n n n k 1+>k ka a k k {}n a 28a =-155a =n S {}n a n 1011S S =1011S S >910S S =910S S <1205=a =+++8642a a a a 492-=n a n nnS =n 101030{}n a 112,1n n a a a n +==++n a =Λ,5,4,3,2,1项是 .答案与解析： 对应练习：1、【解析】2、【解析】设这个数分别为则解得当时，这个数分别为：； 当时，这个数分别为：3、【解析】4、【解析】设等差数列的公差为，则.5、【解析】方法1：设等差数列的公差为，则 ；方法2：6、【解析】⑴，，⑵由⑴知：，当时，，，数列是等差数列.7、【解析】（本两小题有多种解法）1964n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=⇒--=--⇒--=--)()(5.2,,,,2d a d a a d a d a ++--⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 4,1±==d a 4,1==d a 59,5,1,3,7--4,1-==d a 5.7,3,1,5,9--Θ124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a 3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n d 23171414=-=--=a a d 101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n d ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S Θ2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S 1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S Θn n pna S =21a a =∴111=⇒=p pa a n n na S =2≥n 0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ∴)2(01≥=--n a a n n ∴{}n a Θ，.选B. 8、【解析】填. 9、【解析】⑴当时，，且，{}n a 是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，，； ⑵，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数课后练习：1、【解析】C ． 另法：由，，得，，计算知2、【解析】3、【解析】 由知{}n a 是等差数列， 2))(1(12112531++++=++++=n n a a n a a a a S Λ奇2)(222642n n a a n a a a a S +=++++=Λ偶nn a a a a 22121+=++∴nn S S 1+=偶奇∴12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴12652≥n )(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S ∴21111-=--n n S S 3111=S ∴21-31∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--=∴2≥n )53)(83(18211--==-n n S S a n n n 1=n 11018)53)(83(18a ≠=--∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n 0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k 3532<<k 38>k ∴3≥k 1+>k k a a .3=k 1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =⇒++=++=+=28a =-155a =713815)8(5=---=d 76921=-=d a a 910S S =480.480458642==+++a a a a a 24492-=n a n .250>⇒>n a n ∴4、【解析】 已知两式相减，得5、【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.6、【解析】.24=n 4.4205=⇒=d d 1)1(21++n n 2008。