等差数列专题复习

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等差数列复习

例、已知一个等差数列的总项数为奇数，
且奇数项之和为77，偶数项之和为
66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 S偶中间项
得中间项为11 又由 S奇 S偶 143
得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
Sn 7n 1 别是Sn和Tn,且 Tn 4n 27
d 5
例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。
解二：
S 奇 S 偶 354 S 偶 192 由 S 32 偶 S 奇 162 S 奇 27
S偶 S奇 6d
d 5
等差数列的性质应用：
等差数列{an}前n项和的性质在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质1:Sk,S2k－Sk,S3k－S2k, …也是等差数列 ,公差为k2d 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), an 此时有:S偶－S奇= nd , S奇
a5 an 求和 . b5 bn
a5 64 b5 63
an 14n 6 bn 8n 23
故 a6 3
例. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为 32：27，求公差。
解一：设首项为a1,公差为d,则
Байду номын сангаас
12 11 12a1 2 d 354 65 2d 6( a 1 d ) 32 2 17 6a 6 5 2d 1 2

高考一轮复习等差数列知识点+例题+练习

自主梳理1.等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第一项起，每一项与它的前一项的—等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(n£N*,d为常数).(2)数列a,A,b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a,b的2.等差数列的有关公式(1)通项公式：a n=,a n=a m+(m,n W N*).(2)前n项和公式：S n==.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系S n=dn2+数列U｛a n｝是等差数列的充要条件是其前n项和公式S n=4.等差数列的性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q W N*),则有，特别地，当m+n=2p时，.(2)等差数列中，S m,S2m-S m,S3y m—S2m成等差数列.(3)等差数列的单调性：若公差d>0,则数列为；若d<0,则数列为；若d=0，则数列为.自我检测1.已知等差数列｛a n｝中，a5+a9—a7=10，记S n=a1+a2H\-a n，贝U S13的值为.2.等差数列U｛a n｝的前n项和为S n，且S3=6,a3=4,则公差d=.3.设等差数列U｛a n｝的前n项和为S n.若S9=72,则a2+a4+a9=.4.若等差数列U｛a n｝的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=.5.设是等差数列｛4的前〃项和，若^=9,则19=.il 后练习区一逍题精,现"答尊探究点一等差数列的基本量运算例1等差数列｛a ｝的前n 项和记为S .已知a 10=30,a 20=50,⑴求通项an ；nn (2)若S n =2彳2,求n .变式迁移1设等差数列U ｛a ｝的公差为d (d W 0),它的前10项和S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列，求公差d 和通项公式an.探究点二等差数列的判定31一例2已知数列｛a n ｝中，a 1=5,a n =2-(n 三2,n —t(n £N *).(1)求证：数列出｝是等差数列； (2)求数列｛a /中的最大值和最小值，并说明理由. 变式迁移2已知数列｛%｝中，a 1=5且a n =2a n _^+2n —1(n 三2且n £*).(1)求a 2,a 3的值.(2)是否存在实数口，使得数列｛吟｝为等差数列？若存在，求出口的值；若不存在，说明理由．N *),数列U{b }满足b =一nn a 一1 n探究点三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3已知数列｛a n｝是等差数列.⑴前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n；(2)若S=20,S2=38,求S3；(3)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数．探究点四等差数列的综合应用例4已知数列｛%｝满足2%+I=%+%+2(〃£N*),它的前〃项和为S”，且％=10,S6=72.若勾=2a n—30,求数歹U｛勾｝的前n项和的最小值.变式迁移4在等差数歹U｛a｝中，a16+a17+a18=a9=—36,其前n项和为S.⑴求S n的最小值，并求出S n取最小值时n的值."(2)求T n=1a j+l a2H——H a n if1.等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n+1-a n=d(d是常数)。

数列专题复习(等差与等比、数列求和、奇偶项问题、不动点法求通项)(刘蒋巍讲义)

数列专题复习（等差与等比、数列求和、奇偶项问题、不动点法求通项）专题1 等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝264n ，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________．规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( )A ．11B ．12C ．20D ．22(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40考点三等差数列、等比数列的探索与证明核心提炼等差数列等比数列定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2) a 2n ＝a n －1a n ＋1 (n ≥2，a n ≠0) 前n 项和法S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)S n ＝kq n －k (k ≠0，q ≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．专题2 数列求和及其综合应用[考情分析] 数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上．考点一数列求和核心提炼1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.2．如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式．考向1 分组转化法求和例1 已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .考向2 裂项相消法求和例2 (2020·莆田市第一联盟体学年联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－2n ，{b n }为正项等比数列，且b 1＝a 1＋3，b 3＝6a 4＋2. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n ＋1·log 2b n ＋1，求{c n }的前n 项和T n .考向3 错位相减法求和例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1＋S n )，求数列{a n b n }的前n 项和T n .规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差．(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．(3)错位相减法求和，主要用于求{a n b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列．跟踪演练1 (1)已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)(2020·武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为23的数列{a n }满足2(2n ＋1)a n a n ＋1＋a n ＋1＝a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020等于( ) A.8 0804 041 B.4 0784 040 C.4 0404 041 D.4 0394 040(3)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．①求数列{a n }与{b n }的通项公式； ②记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .考点二数列的综合问题核心提炼数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明．例4 (1)(2020·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020(2)(2020·洛阳第一高级中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫38，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫38，＋∞易错提醒 (1)公式a n ＝S n －S n －1适用于所有数列，但易忽略n ≥2这个前提．(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n ∈N *，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度．跟踪演练2 (1)(2020·中国人民大学附属中学模拟)在数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则“a 1<a 2”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件专题3 数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．例已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))； ②含有(－1)n 的类型；③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－4002．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n .专题4 用“不动点法”求数列的通项公式对于一个函数f (x )，我们把满足f (m )＝m 的值x ＝m 称为函数f (x )的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．例 (1)在数列{a n }中，a 1＝1, a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解设f (x )＝12x ＋1，令f (x )＝x ，即12x ＋1＝x ，得x ＝2，∴x ＝2是函数f (x )＝12x ＋1的不动点，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)，∴数列{a n －2}是以－1为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －2＝－1×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，n ∈N *.(2)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4，求该数列的通项公式．解由方程x ＝7x －2x ＋4，得数列{a n }的不动点为1和2，a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4－2＝7a n －2－(a n ＋4)7a n －2－2(a n ＋4)＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2·⎝⎛⎭⎫65n －1，解得a n ＝12·⎝⎛⎭⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1，n ∈N *.(1)若f (x )＝ax ＋b (a ≠0,1)，p 是f (x )的不动点．数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，则a n ＋1－p ＝a (a n －p )，即{a n －p }是公比为a 的等比数列．(2)设f (x )＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0，ad －bc ≠0)，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1≠f (a 1)．若f (x )有两个相异的不动点p ，q ，则a n ＋1－p a n ＋1－q ＝k ·a n －p a n －q ⎝ ⎛⎭⎪⎫此处k ＝a －pc a －qc .1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－13a n －2，a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n －1＋22a n －1＋1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．3．设数列{a n }满足8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0(n ≥1，n ∈N *)，且a 1＝1，记b n ＝1a n －12(n ≥1)．求数列{b n }的通项公式．。

专题30 等差数列-高考复习资料(解析版)

得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，
所以 a7＋a8＋a9＝45.
【解法小结】 1.项的性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
考点三等差数列的性质及应用
角度 1 等差数列项的性质
【例 4－1】已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10
B．20
C．40 【答案】B
D．2＋log25
【解析】因为 2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选 B.
角度 2 等差数列和的性质
【例 4－2】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9 等于( )
A.63
B.45
C.36
D.27
【答案】B
【解析】由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
5×4 5a1＋ d＝－15，
2
解得 d＝－4.
2.(2019·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，a4＝
－12，若 am＝30，则 m＝( )
A.9
B.10
C.11
D.15
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为 d，依题意得
11×（11－1）

等差数列及其前n项和-高考数学复习

等差数列及其前n项和
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
__________,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
同一个常数
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
的_______,通常用字母d表示.定义表达式为____________________
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析设冬至日晷长为a1尺,小寒日晷长为a2尺,以此类推芒种日晷长为a12
尺,
因此a1=13.5,a12=2.5.设相邻两个节气晷长的变化量为d,所以有
2.5=13.5+(12-1)d⇒d=-1.立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5(尺),
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b
(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且
解得
101 + 45 = 40,
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
②由已知得
(1 + )
Sn=
2
=
(13+15-2)

等差数列复习-PPT精品

n个 2Sn （ a1an) （ a1an) （ a1an)
n（a1an)
Sn
n（a1an) 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1an) 2
a na 1(n 1 )dSn n1an（n21)d
anpnq （p,q 是常数）的形式，
那么这个数列是不是等差数列呢？
㈠推广后的通项公式

a
n

am
(n-m)d
d

an am nm
例4 在等差数列{an}中
(1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, a101=154
(2) 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q； d= -1, ap+q=0 (3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4, n=72
解：方法二（只适合填空题）
14 19.5 25
Sn An2Bn
S25 S14
n142519.5 2
n1或 920
1.将等差数列前n项和公式
n(n1)d 看作是一Sn个关n于a1n的函数2，这个函数
有什么特点？
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1

d 2
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.

高考复习：等差数列含解析答案(教师版+学生版)

等差数列一、知识梳理1．数列的定义:按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________3．等差数列的定义：4、等差数列的通项公式：5．等差数列的前n项和公式：6、等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）（2）7、等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值．试一试1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ .4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .题型一由数列的前几项求数列的通项例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….题型二由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .题型三等差数列基本量的运算例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .跟踪训练 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ . (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ .(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是．题型四等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ . (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为．(3)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .题型五等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．课堂练习：1．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．2、已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．3、设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝.4、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝.5、已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n＋2S n S n－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n与{a n}是否为等差数列，并说明你的理由．6、在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝.7、在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝.8、已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为．9、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大．6.1等差数列作业1．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ .2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ .3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为．4、在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝ 12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是．5．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ .6、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是．7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ .8、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为．9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为．10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a n ； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．试一试1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n的值为．答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ . 答案 12解析由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 答案 20解析因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一由数列的前几项求数列的通项例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．题型二由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型一等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .答案 (1)52(2)5 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ .(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ . (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是．答案 (1)13 (2)48 (3)2解析 (1)由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S 6＝3＋15d ＝48.(3)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ .(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为．(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .答案 (1)45 (2)13 (3)2 016解析 (1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d . 则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ＝－2 014＋2 015＝1， ∴S 2 016＝1×2 016＝2 016.思维升华在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝ .(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 答案 (1)28 (2)60解析 (1)∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.题型三等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.思维升华等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又因为S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．等差数列的前n 项和及其最值典例：(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝ .(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ .(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为．(4)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝时，{a n }的前n 项和最大．思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－(n －212)2＋(212)2，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.(4)∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.答案 (1)45 (2)－110 (3)110 (4)8温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量.方法与技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．失误与防范1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.课堂练习：4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为．答案－49解析由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )，令f (x )＝x 3－10x 23，x >0， f ′(x )＝13x (3x －20)．令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝203. 当x >203时，f (x )是单调递增的；当0<x <203时，f (x )是单调递减的．故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝ . 答案－3解析方法一由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ . 答案 1021 解析依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，所以直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)，所以a 1＝1，a 2＝3，所以公差d ＝2，a n ＝2n －1，所以b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021. 3．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ . 答案 100解析设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为．答案 5解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是．答案 60解析由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.6．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 答案 2n －1解析设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n的值是．答案 6解析依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 14解析由已知1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， ∴a 10＝14. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1， S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．B 组专项能力提升(时间：25分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为．答案 19解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19.2．(2013·辽宁改编)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中，真命题为．答案 p 1，p 4解析由于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为．答案19 41解析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.4．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)解由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1. (1)解由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋33a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2， ∴{1a n }是以2为首项，以13为公差的等差数列． ∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， ∴a n ＝3n ＋5. (2)证明 ∵b n ·n (3－4a n )a n＝1，则由(1)得b n ＝1n (n ＋1)，∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1关于n单调递增，∴12≤S n<1.。

2023考点专题复习——等差数列及其性质(原卷版)

2023考点专题复习——等差数列及其性质考法一、等差数列的基本运算⑴等差数列的通项公式：⑴等差数列的前和的求和公式：例1、在等差数列{}n a 中，若3930a a +=，411a =，则{}n a 的公差为（） A ．-2B ．2C ．-3D ．3例2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8100S =，724a a =，则4a =（）． A ．10B ．11C ．12D ．13例3、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知55S =，55a =，则（） A ．25n a n =-B ．n a n =C ．229n S n n =-D ．21322n S n n =- 练习1、等差数列1、2a 、24a 、的第五项等于（）A ．12B ．1C ．5D ．16练习2、设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．练习3、在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3＝21，a 2a 3＝70，若a n ＝61，则n ＝（） A ．18B ．19C ．20D ．21练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111152S S S =-，则611a a =（）A ．65B ．56C ．1110D ．1011练习5、设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（） A ．220202019-B ．220202019+C ．120201010-D ．120201010+练习6、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“2n S n n =-”是“数列{}n a 是公差为2的等差数列”的（）1(1)n a a n d=+-n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习7、已知数列{}n a 中各项为非负数，21a =，516a =，若数列为等差数列，则13a=（）A ．169B ．144C ．12D ．13练习8、已知公差不为0的等差数列{}n a 中，246a a a +=，296a a =，则10a =______．练习9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________ 练习10、已知等差数列{}n a 满足13248,14a a a a +=+=，则它的前8项的和8S =（） A ．70B ．82C ．92D ．105练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，410a =，则{}n a 的公差为（） A ．4B ．3C ．2D ．1练习12、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且131,9S S ==，则5S =（） A ．17 B ．25C ．5D ．81考法二、等差数列的性质⑴在等差数列中，对任意，，，；⑴在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.⑴设数列是等差数列，且公差为，（⑴）若项数为偶数，设共有项，则①；② ；⑴若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.⑴若与为等差数列，且前项和分别为与，则.{}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n -S S nd =奇偶1n n S aS a +=奇偶21n -S S -偶奇n a a ==中1S n S n =-奇偶{}n a {}n b n nS 'n S 2121'm m m m a S b S --=例1、在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（） A ．360B ．300C ．240D ．200例2、已知数列{a n }为等差数列，n S 为其前n 项和，4252a a a +=+，则5S =（） A ．2B ．14C ．50D ．10例3、在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（） A ．18-B ．6-C ．8D ．12例4、已知数列{}n a 是等差数列，若1231a a a ++=，4563a a a ++=，则789a a a ++=（） A ．5B ．4C ．9D ．7例5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中23S =，415S =，则6S =（） A ．9B ．18C ．27D ．36例6、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（） A ．1929B ．1125C ．1117D ．23练习1、已知数列{}n a 为等差数列，且31a =，则12345a a a a a ++++=（） A ．3B ．4C ．5D ．6练习2、n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1233a a a ，7910a a +=，则9S =（）A ．9B ．16C ．20D ．27练习3、已知公差不为0的等差数列{}n a 满足22225678a a a a +=+，则（） A ．60a =B ．70a =C ．120S =D ．130S =练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ．若211n n S n T n -=+，则55a b =（） A ．1911B ．1710C ．32D ．75练习5、已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，422n n S n T n +=+，则59a b =（） A ．3811B ．109C ．1110D ．2练习6、等差数列{}n a 的前()m m N +∈项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为（）A ．130B ．170C ．210D ．260练习7、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（）A ．10B ．30-C ．15-D ．25练习8、两等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T 、,已知73n n S n T n =+,则55a b = A ．7 B ．23C ．278D ．214练习9、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1254a a a +=+，则11S =（）A ．28B ．34C ．40D ．44练习10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，663S =，则789a a a ++等于（）A ．63B ．71C ．99D ．117练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，则378a a a ++=（）A ．18B ．12C ．9D ．6练习12、已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（）A ．3B ．6C ．327D ．8013练习13、已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（）A ．67B ．1211C ．1825D ．1621练习14、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2030S =，则30S =（）A ．20B ．30C ．40D ．50练习15、已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A ．28B ．29C ．30D ．31练习16、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 7+a 12＝12，则S 13＝_____.练习17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246820a a a a +++=，则9S =___________.练习18、已知数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，且满足：*n ∀∈N ，321n n S n T n +=+，则161419581215a a a ab b b b +++=+++____________.练习19、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493考法三、等差数列的最值问题⑴.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.⑴利用等差数列的前n 项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；⑴. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n 项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.10a >0d <n S 10a <0d >n S n a n S n n N +∈10a >0d <100n n a a +≥⎧⎨≤⎩n n S 10a <0d >10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n n S 2n S An Bn =+,A B n N ∈*0d >0d <n a 11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩n a 11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩1,2,3,n ={}n S例1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，73649,3S a a ==，则n S 取最大值时的n 为（） A ．7B ．8C ．14D ．15例2、在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时，n 的最小值为 A ．B ．C ．D ．例3、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大时，n =（） A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12练习1、若公差为负的等差数列{}n a 中的两项39,a a 是方程21090x x -+=的两个根，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当n S 最大时，n 的值为（） A ．5B ．9或10C ．10D ．9练习2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（） A ．90a = B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值练习3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（）A ．315n a n =-B ．173n a n =-C ．7n a n =-D ．152n a n =-练习4、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，1020S S =，则不成立是（）A ．0d <B ．160a <C ．15n S SD ．当且仅当0nS <时32n练习5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（）A ．3B ．1C ．-1D ．-3练习6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7,n n S S *∀∈≤N ，则数列{}n a 的通项公式可能是（）A ．163n a n =-B ．152n a n =-C ．214n a n =-D ．215n a n =-练习7、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大时，n =（）A ．20B ．21C ．20或21D ．21或22练习8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则下列结论正确的是（） A ．当且仅当6n =时n S 取最小值 B ．当且仅当6n =时n S 取最大值 C ．当且仅当7n =时n S 取最小值 D ．当且仅当7n =时n S 取最大值练习9、已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =-，*n ∈N ，n S 为其前n 项和，则当0n n a S ≤时，正整数n 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6练习10、若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9练习11、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈．若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S练习12、已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--练习13、已知等差数列{}n a 的前n 项和记为1234,24n S a a a S ++=+，则“11a <”是“{}n S 为单调数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习14、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a <. 其中正确命题的是___________.练习15、设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：30a <，且56160S S +=，则11S 的最小值为_________．练习16、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且235S =，23439a a a ++=，则当n S 取最大值时，n 的值为___________.考法四、等差数列的证明与判断例1、已知数列{}n a 满足12a =，121n n n a a a +-=，证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；例2、已知数列{}12,13n a a a ==，，且满足11212n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈），证明新数列{}1n n a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式.例3、已知数列{}n b 首项13b =，且满足()*1212123n n n b b n n n +-=+-∈-N ，令23n n b c n =-. （1）求证：数列{}n c 为等差数列；（2）求数列{}n b 中的最小项.练习1、已知在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n ++=，求证：{}n a 为等差数列；练习2、在正项数列{}n a 中，11a =，0=，*N n ∈，求证：数列为等差数列；练习3、已知数列{}n a 满足12a =，1210n n n a a a +-+=，N n *∈，证明：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习4、已知数列{}n a 满足112a =，()()11110n n n n n n a a n a na --+++-=，2n ≥，n N ∈，求证：数列()11n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为等差数列；练习5、已知数列{}n a 满足()*143n n n a a n N a +-=∈-，且14a =，证明：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习6、已知数列{}n a 中，13a =，且满足()2*122,n n n n a a n b a n n N +=++=-∈，证明：数列{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式；练习7、记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.练习8、在数列{}n a 中，12a =，n a 是1与1n n a a +的等差中项，求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习9、已知正项数列{}n a 满足121,2a a ==，且对任意的正整数n ，211n a ++是2n a 和22n a +的等差中项，证明：{}221n n aa +-是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习10、已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.考法五、实际生活中的等差数列例1、在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（） A ．9B ．18C ．20D ．24例2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（） A ．14钱 B ．12钱 C ．23钱 D ．35钱练习1、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（）（1丈＝10 尺＝100寸）A．四尺五寸B．三尺五寸C．二尺五寸D．一尺五寸练习2、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．15练习3、《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A．47尺B．1631尺C．1629尺D．815尺练习4、我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯练习5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（）A．65斤B．82斤C．99斤D．106斤练习6、《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．练习7、我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤练习8、明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（）A．122钱B．115钱C．108钱D．107钱练习9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤练习10、2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（）A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸。

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等差数列
知识梳理
1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：
*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=．从而m
n a a d m
n --=；
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数）（当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2
n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

8.等差数列的性质：
（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（公差为md ）
图示：
m
m
m m
m m
S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++
（4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n
n
A f n
B =，则
21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值
法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。

若S p = S q 则其对称轴为2
p q
n += 法二：①“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+00
1
n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
②“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+0
1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
或求{}n a 中正负分界项
（7）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则： 1.当项数为偶数n 2时，=-奇偶S S d n ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{}n a 中，若共有奇数项12+n 项，则
121111(1)(21)1n n n n n S n a S S S n a S n S na S S a S n +++++⎧=+⎧=+=++⎪⎪
⇒⇒=⎨⎨
=-=⎪⎪⎩⎩
奇奇偶奇偶奇偶偶注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等差数列练习题
一、选择题 1.已知
为等差数列，
135246105,99
a a a a a a ++=++=，则
20
a 等于（）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于
A ．1
B 5
3
C.- 2 D 3
4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1
2
D.2
5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( ) A.12 B.13 C.14 D.15
6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则其前9项的和S 9等于（） A ．18 B 27 C 36 D 9
7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120
8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（） A ．16 B ．24 C ．36
D ．48
9.等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
11.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
12．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）
A.130
B.170
C.210
D.260
二、填空题
13．已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若则
k = .
14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
．
15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=
16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则9
5
S S = 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =
18.已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=
19.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若
3
41
3-+=
n n T S n n ，那么=n
n
b a ___________；
20．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，*
n N ∈)，n S =336，则n 的值
是 .
三、解答题
21.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.
22.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.
23.己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构
成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
24.设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
25.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
26．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；（2）求前n 项和n s 的最大值；（3）当0>n s 时，求n 的最大值。