[K12学习]2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(第2课时)指数函数及其性质的
【配套K12】2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学业分层
2.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则( )A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b【解析】a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.【答案】 D2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是( ) A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)【解析】由题意可知f(2)＝1，即32－b＝1，解得b＝2，∴f(x)＝3x－2，又2≤x≤4，故0≤x－2≤2，∴f(x)∈[1,9]，故f(x)的值域为[1,9]．【答案】C3．函数y＝的单调递增区间为( )A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)【解析】y＝＝2x－1，因为y＝x－1在R上是递增的，所以函数y＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．【答案】 A4．若函数f(x)＝12x＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( ) A．单调递减且无最小值B．单调递减且有最小值C．单调递增且无最大值D．单调递增且有最大值【解析】 函数f (x )＝12x ＋1为减函数，2x＋1＞1，故f (x )＝12x ＋1∈(0,1)，无最值．【答案】 A5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝eb48＝e 22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b12＝e 11k，于是当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝×192＝24(小时)．【答案】 C 二、填空题 6．已知y ＝21＋ax在R 上是减函数，则a 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝21＋ax在R 上是减函数，∴y ＝ax ＋1在R 上是减函数，∴a <0，即a 的取值范围是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0) 7．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________．(用区间表示)【解析】 ∵0<0.5<1，由0.52x>0.5x －1得2x <x －1，即x <－1.【答案】 (－∞，－1)8．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a 的值为________．【解析】 由于函数在[1,2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a ＋a 2＝6，又a ＞0，解得a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.【解】 (1)由于y ＝1.9x在R 上单调递增，而－π<－3，所以1.9－π<1.9－3.(2)因为y ＝0.7x在R 上单调递减，而2－3≈0.267 9<0.3，所以0.72－3>0.70.3.(3)因为y ＝0.6x在R 上单调递减，所以0.60.4>0.60.6；又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x的图象在y ＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6>0.40.6，所以0.60.4>0.40.6.10．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－ax1＋ax .(1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性； (2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域. 【解】 (1)由f (a ＋2)＝3a ＋2＝81，得a ＋2＝4，故a ＝2，则g (x )＝1－2x1＋2x ，又g (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x－12x＋1＝－f (x )， 故g (x )是奇函数．(2)证明：设x 1<x 2∈R ，g (x 1)－g (x 2)＝1－2x 11＋2x 1－1－2x 21＋2x 2＝x 2－2x 1＋2x 1＋2x 2.∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，又2x 1>0,2x 2>0，∴g (x 1)－g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)，则函数g (x )在R 上是单调递减函数．(3)g (x )＝1－2x1＋2x ＝2－＋2x1＋2x＝21＋2x －1. ∵2x >0,2x＋1>1，∴0<11＋2x <1,0<21＋2x <2，－1<21＋2x －1<1，故函数g (x )的值域为(－1,1)．[能力提升]1．函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 f (－x )＝4－x＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故选D. 【答案】 D2．a ＝9－0.5，b ＝，c ＝3－1.1，则a ，b ，c 的大小关系为________.【解析】 先将三个指数化为同底型：a ＝3－1，b ＝3－1.2，c ＝3－1.1，构造函数y ＝3x，该函数为R 上的增函数，且－1>－1.1>－1.2，∴3－1>3－1.1>3－1.2，∴a >c >b .【答案】 a >c>b3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1a x ，x>1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1a x ，x>1在R 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a2>0a >1a 1≥4－a2＋2，求得4≤a ＜8.【答案】 [4,8)4．已知函数f (x )＝1－5x·a5x ＋1，x ∈(b －3,2b )是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )是区间(b －3,2b )上的减函数； (3)若f (m －1)＋f (2m ＋1)＞0，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )＝1－a ·5x5x ＋1，x ∈(b －3,2b )是奇函数，∴f (0)＝1－a2＝0，且b －3＋2b ＝0，即a ＝2，b ＝1.(2)证明：由(1)得f (x )＝1－2·5x5x ＋1＝1－5x5x ＋1，x ∈(－2,2)，设任意x 1，x 2∈(－2,2)且x 1＜x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝1－5x 15x 1＋1－1－5x 25x 2＋1＝x 2－5x 1x 1＋x 2＋.∵x 1＜x 2，∴5x 1<5x 2， ∴5x 2－5x 1>0，又∵5x 1＋1>0,5x 2＋1>0， ∴x 2－5x 1x 1＋x 2＋>0，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是区间(－2,2)上的减函数．(3)∵f (m －1)＋f (2m ＋1)＞0， ∴f (m －1)＞－f (2m ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)＞f (－2m －1)． ∵f (x )是区间(－2,2)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1<－2m －1－2<m －1<2－2<2m ＋1<2，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0－1<m <3－32<m <12，∴－1＜m ＜0，所以，实数m 的取值范围是(－1,0).。
2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章 基本初等函数Ⅰ2-1-2-2 精品
＝2·102x11＋02x12－110022xx21＋1. 令 g(x)＝10x，则 g(x)为增函数， ∴ 当 x2>x1 时，102x2－102x1>0. 又∵ 102x1＋1>1,102x2＋1>1，∴f(x2)－f(x1)>0， 即 f(x2)>f(x1)，∴ f(x)是增函数．
证法二(利用复合函数的增减性)： f(x)＝1100xx－＋1100－－xx＝1－1022x＋1， ∵ 10x 为增函数， ∴ 102x＋1 为增函数，1022x＋1为减函数， ∴－ 1022x＋1为增函数， ∴ f(x)＝1－1022x＋1在定义域内是增函数．
∴e x2＞e x1，且 e x2e x1＞1，
∴(e
x2－e
x1)1－e
1 x1e
0，
即 f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[当堂达标]
1．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的
取值范围为( )
A.12，＋∞ C.－∞，12
B．(－∞，0) D.－12，12
[练习 2]求函数 y＝9x－2·3x＋3 的单调区间，并求出其值域．
解：设 u＝3x，则原函数可分解为 u＝3x，y＝u2－2u＋3， 而二次函数 y＝u2－2u＋3 单调性的分界点为 u＝1，因此当 x∈(－∞，0)时，u＝3x 单调递增，u∈(0,1)，而 y＝u2－2u＋3 在 (0,1)上单调递减，所以原函数在(－∞，0)上单调递减；当 x∈(0， ＋∞)时，u＝3x 单调递增，u∈(1，＋∞)，而二次函数 y＝u2－2u ＋3 在(1，＋∞)上单调递增，所以原函数在(0，＋∞)上单调递 增．
答案：指数型 N(1＋p)x(x∈N)
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.2
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课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题 1．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )【导学号：37102248】A ．c >a >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >bD [a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5，因为函数y ＝2x在R 上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a >c >b .]2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]3．设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，x ∈R ，那么f (x )是( )【导学号：37102249】A ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数D [∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，x ∈R ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＝f (x )，故f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，是减函数，故选D.]4．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以2a－1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，选A.] 5．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )【导学号：37102250】A ．6B ．1C ．3D.32C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.] 二、填空题6．若－1<x <0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________．b <a <c [因为－1<x <0，所以由指数函数图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .]7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间为________.【导学号：37102251】[0，＋∞) [由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调性与y ＝1－x 2的单调性相反，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间就是y ＝1－x 2的单调递减区间．由y ＝1－x 2的图象(图略)可知：当x ≤0时，y ＝1－x 2是增函数；当x ≥0时，y ＝1－x 2是减函数，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]8．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ [设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.] 三、解答题9．求下列函数的单调区间：(1)y ＝a －x 2＋3x ＋2(a >1)；(2)y ＝2|x －1|.【导学号：37102252】[解] (1)设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋174，易知u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，∴a >1时，y ＝a u在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数．(2)当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t为增函数，∴y ＝2x －1为增函数；当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x.而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t为增函数， ∴y ＝21－x为减函数．故函数y ＝2|x －1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．10．已知函数f (x )＝a －12x＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在R 上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值．[冲A 挑战练]1．若函数f (x )＝2x＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )【导学号：37102253】A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [由题意，知f (x )＝－f (－x )，即2x＋12x －a ＝－2－x＋12－x －a ，所以(1－a )(2x＋1)＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )＝2x＋12x －1>3，得1<2x <2，所以0<x <1.]2．（2018·全国卷Ⅰ）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
[K12学习]2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性
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2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 指数函数的定义阅读教材P54，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．( )(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )【解析】(1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 指数函数的图象和性质阅读教材P55～P56，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a >1时，对于任意x ∈R ，总有a x>1.( ) (3)函数f (x )＝2－x在R 上是增函数．( )【解析】 (1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方．(2)×.当x ≤0时，a x≤1.(3)×.因为f (x )＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型](1)A ．y ＝a xB ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1【精彩点拨】 根据指数函数的定义判断、求解．【自主解答】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a(a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.【答案】 (1)C (2)C1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．[再练一题]1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9. 又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)． 【答案】 (1)3x(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)(1)y ＝1－3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x|； (3)y ＝4x＋2x ＋1＋2.【精彩点拨】 函数式有意义―→原函数的定义域――→指数函数的值域原函数的值域【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.所以1－3x∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}． 因为x ＝0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，即函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x>0，所以4x＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求解方法如下：(1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[再练一题]2．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －3；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2. 【解】 (1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x －3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t≠1，故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [探究共研型]探究1 f (x )＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？【提示】 指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x－1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)．探究2 若函数y ＝a x＋b (a >0，且a ≠1)的图象不经过第一象限，则a ，b 满足什么条件？ 【提示】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.(1)在同一坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )【精彩点拨】 (1)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性及指数函数的图象作出判断．【自主解答】 (1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A .【答案】 (1)D (2)A指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .[再练一题]3.定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hh g <h ，已知函数f (x )＝2x⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx x，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1xx，∴其图象为B ，故选B.【答案】 B1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)xB ．2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝⎛⎭⎪⎫22x【解析】 由题意，设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x.【答案】 A2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x－1的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，9 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9 【解析】 y ＝3－x－1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.【答案】 A3．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x的图象，故选C.【答案】 C4．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．【解析】 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.【答案】 (0,1)5．设f (x )＝3x，g(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。
【K12教育学习资料】2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质学
2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log (a 2＋a )x (x >0，a 是常数)．其中为对数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 对于①，自变量是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且自变量是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，l n x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A .【答案】 A2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【解析】 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2,1)．故选C.【答案】 C 3．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0log 2x －，解得x ＞2且x ≠3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )【解析】 函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得D 正确．故选D.【答案】 D5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵f (x )＝log a (x ＋2)(0＜a ＜1)，∴其图象如下图所示，故选A .【答案】 A 二、填空题 6．函数f (x )＝log12－的定义域是________．【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0 log 12x －，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>03x －2≤1，解得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，17．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.【答案】 －328．已知函数y ＝log 22－x2＋x，下列说法：①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________. 【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x2－x＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0时，y＝0，所以③正确．【答案】 ①③ 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．【解】 (1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由于f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x ＋1x －1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x >00，x ＝0－－x ，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．[能力提升]1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝el n x【解析】 ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a MN ，∴f (x )＝log 2x ，满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”．故选C.【答案】 C2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g(x )＝－log b x 的图象可能是( )【解析】 由lg a ＋lg b ＝0，得lg (ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b ，所以当0＜b ＜1时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．【答案】 B3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22017)的值等于________．【解析】 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2017)， ∴原式＝2×8＝16. 【答案】 164．若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m<1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(3)教案数学教案
指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s 都是无理数).②(a r )s =a rs(a>0,r,s 都是无理数).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001） （1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值； 对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) 246347625---+- =222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+•-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32； 当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。
2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章 基本初等函数Ⅰ2-1-2-1 精品
[防范措施] 切记指数函数的要求：形如 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，指数式前面系数为 1，底数 a＞0，且 a≠1，自变量 x 是 指数．这三点缺一不可．
完成课时作业（十六）
谢谢观看！
[典例 1] 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx； (5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a＞1 且 a≠2)． [思路点拨] 严格按照指数函数的定义，逐一检查代数式前 面的系数是否为 1，自变量是否只有“x”的形式，底数是否是大于 0 且不等于 1 的常数． [解析] 只有(4)(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定 义．(1)中解析式可变形为 y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式； (2)中底数为负，所以不是指数函数；(3)中解析式 2x 的系数为－1， 所以不是指数函数；(5)中指数为常数，所以不是指数函数．
答案：定义域为 R，值域为{y|y>0}，a>1 时为增函数，0<a<1 时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．
类型 1 指数函数的概念 [要点归纳] 判断一个函数是指数函数的关键点 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合 y ＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构形式，指数函数具有以下特征： (1)底数 a>0，且为不等于 1 的常数，也不含有自变量 x； (2)指数位置是自变量 x，且 x 的系数是 1； (3)ax 的系数是 1.
2．指数函数的图象有什么特征？与底数 a 有怎样的关系？ 答案：都过定点(0,1)，且不论底数 a>1 还是 0<a<1，图象都 在 x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于 x 轴． 3．你能根据具体函数的图象抽象出指数函数 y＝ax 的哪些性 质？[定义域、值域、单调性、最大(小)值、奇偶性]
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第2课时 指数函数及其性质的应用1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)[小组合作型](1)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫314，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－34，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A ．c<b <a B ．c<a <b C ．b <c<aD ．b <a <c(2)设0＜a ＜1，使不等式ax 2－2x ＋1＞ax 2－3x ＋5成立的x 的集合是________． 【精彩点拨】 (1)利用指数函数的单调性即可判断．(2)先根据0＜a ＜1，得到y ＝a x为减函数，再根据指数函数的单调性得到x 2－2x ＋1＜x 2－3x ＋5，解得即可．【自主解答】∵指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x为增函数，13＞14，∴a ＞b ＞1，∴a ＞b ＞c ，故选A .(2)∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 为减函数．∵a x 2－2x ＋1＞ax 2－3x ＋5，∴x 2－2x ＋1＜x 2－3x ＋5，解得x ＜4. 【答案】 (1)A (2)(－∞，4)1．比较幂的大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断． 2．指数型不等式af (x )＞ag(x )(a ＞0，且a ≠1)的解法(1)当a ＞1时，f (x )＞g(x )； (2)当0＜a ＜1时，f (x )＜g(x )．[再练一题] 1．设a ＝90.9，b ＝270.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1.5，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b【解析】 因为函数y ＝3x在R 上单调递增，a ＝31.8，b ＝270.48＝31.44，c ＝31.5.∴a ＞c＞b .【答案】 B已知函数f (x )＝1＋2x (a ∈R )，且x ∈R 时，总有f (－x )＝－f (x )成立．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性； (3)求f (x )在[0,2]上的值域．【精彩点拨】 (1)根据条件建立方程关系即可求a 的值； (2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f (x )的单调性； (3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f (x )在[0,2]上的值域．【自主解答】 (1)∵f (－x )＝－f (x )，∴a －2－x1＋2－x ＝－a －2x1＋2x ，即a ·2x －11＋2x ＝2x －a1＋2x ，∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x .(2)函数f (x )为R 上的减函数， 证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 2＞x 1，∴f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2－1－2x 11＋2x 1＝x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2.∵x 2＞x 1，∴2x 2＞2x 1>0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)． ∴函数f (x )为R 上的减函数．(3)由(2)知，函数f (x )在[0,2]上为减函数， ∴f (2)≤f (x )≤f (0)，即－35≤f (x )≤0，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，0.1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．2．一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性．[再练一题]2．已知函数f (x )＝a ·4x－a ·2x ＋1＋2在区间[－2,2]上的最大值为3，求实数a 的值.【导学号：97030088】【解】 令t ＝2x .∵x ∈[－2,2]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则g (t )＝at 2－2at ＋2.当a ＝0时，g (t )＝2≠3，故舍去a ＝0； 当a ≠0时，g (t )＝a (t －1)2＋2－a ；当a ＞0时，g (t )m ax ＝g (4)＝8a ＋2＝3，∴a ＝18.当a ＜0时，g (t )m ax ＝2－a ＝3，∴a ＝－1. 综上，a ＝18或a ＝－1.[探究共研型]探究1 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2x ＋1的单调区间是什么？【提示】 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t ＝x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．探究2 函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？ 【提示】 分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致； (2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，xa －x ＋4a ，x ，满足对任意的x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 D ．(0,3)【精彩点拨】 由题目所给的条件判定函数f (x )的单调性可求a 的取值范围，但要注意两段最值的大小关系．【自主解答】 ∵f (x )对任意的x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，xa －x ＋4a ，x为R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a －3<04a ≤1，解得0＜a ≤14.【答案】 A1．求函数y ＝af (x )的单调区间首先要确定a >1还是0<a <1，即确定y ＝a t的单调性，然后根据函数t ＝f (x )的单调性求复合函数的单调区间．2．根据函数的单调性求分段函数中参数的取值范围时，最易忽视的是两段函数的最值间的大小关系对参数的影响．[再练一题]3．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域． 【解】 令t ＝－x 2＋4x －1，则y ＝2t. 又t ＝－(x －2)2＋3在(－∞，2]上单调递增， 在[2，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝2－x 2＋4x －1的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞)． 又x ∈R 时，t ≤3， 故0<y ≤23＝8，即值域为(0,8].1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，∴x <－1. 【答案】 D2．下列判断正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π2D ．0.90.3＞0.90.5【解析】 ∵y ＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5. 【答案】 D3．设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数【解析】 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ∈R ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝f (x )，故f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，是减函数，故选D.【答案】 D 4．已知函数f (x )＝13x＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______. 【解析】 ∵函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (0)＝0，130＋1＋a ＝0，a ＝－12.【答案】 －125．设函数f (x )＝a －22x ＋1，(1)判断并说明函数的单调性；(2)确定a 的值，使f (x )为奇函数及此时f (x )的值域． 【解】 (1)任取x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 21＋2＋，∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2， 即2x 1－2x 2＜0，又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴不论a 为何值，f (x )总为增函数． (2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1，故f (x )＝1＋－22x ＋1在其定义域内是增函数，又2x＋1>1，所以0<12x ＋1<1，－1<1＋－22x ＋1<1.∴f (x )的值域(－1,1)．。