高中数学《变化率与导数-1.1.1变化率问题》教案5 新人教A版选修2-2
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案
§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高中数学新课标人教A版选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系
【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，
且
lim
Δx→0
fx0－3ΔΔxx－fx0＝1,
则 f′(x0)等于(
)．
A．1
B．－1
C．－13
1 D.3
[错解]
lim
Δx→0
fx0－3ΔΔxx－fx0＝
lim
Δx→0
fx0－33ΔΔxx－fx0·3
课前探究学习
课堂讲练互动第九页，编辑于星活期页一：规点范十七训分练。
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
即ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1称为函数在区间[x1，x2]上的
平均变化率．
课前探究学习
课堂讲练互动第四页，编辑于星活期页一：规点范十七训分练。
(2)瞬时变化率：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)
从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，
课前探究学习
课堂讲练互动第十一页，编辑于活星页期一规：范点 十训七练分。
3．对导数概念的理解
导数是在点 x＝x0 处及其附近ΔΔyx的极限，是一个局部概念，y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数． 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义：
①
lim
Δx→0
ΔΔyx存在(惟一确定的值)，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可
人教A版选修2-2 第一章 第一节 1.1.1变化率问题 教案
§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。
如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。
板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。
【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。
实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。
假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。
高二数学 1.1.1变化率问题学案 新人教A版选修2-2
1．1 变化率与导数1．1.1 变化率问题基础梳理平均变化率．(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1． (2)作用：刻画函数在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．想一想：函数f (x )＝2x 2－x 在区间[1，3]上的自变量的增量Δx ＝______，函数值的改变量为Δy ＝______，平均变化率Δy Δx＝______． 解析：Δx ＝3－1＝2，Δy ＝2×32－3－(2×12－1)＝14，Δy Δx ＝142＝7 答案：2 14 7自测自评1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx 满足(D )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．函数y ＝1x 在[1，a ]上的平均变化率为－12，则a ＝(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：Δx ＝a －1，Δy ＝11＋Δx －11＝－Δx 1＋Δx ，所以Δy Δx ＝－11＋Δx ＝－1a ＝－12，所以a ＝2.故选B.3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于(B )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2，故选B.基础巩固1. 一物体的运动方程是s ＝2t 2，则从2 s 到3 s 这段时间内路程的增量为(C )A ．18B ．8C ．10D ．122．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是(C )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt.故选C. 3．某质点A 沿直线运动的方程为y ＝－2x 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为(C )A ．－4B ．－8C ．－6D ．6解析：Δy Δx ＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）2－1＝－6. 4．y ＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为__________． 解析：因为Δy ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20， 所以y ＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20Δx＝－2x 0＋Δx（x 0＋Δx ）2x 20. 答案：－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20能力提升5．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近(B )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t6．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为(B)A.一样 B ．越来越大C ．越来越小 D ．无法确定7．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1，∴2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.∴k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－168．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3009．比较函数f (x )＝2x 与g (x )＝3x ，当x ∈[1，2]时，平均增长率的大小．解析：设f (x )＝2x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 1，则 k 1＝f （2）－f （1）2－1＝2， 设g (x )＝3x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 2，则k 2＝g （2）－g （1）2－1＝6. ∵k 1<k 2，故当x ∈[1，2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解析：因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，所以Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
高中数学人教A版选修2-2教案-1.1 变化率与导数_教学设计_教案_3
教学准备
1. 教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
2. 教学重点/难点
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业。
高中数学 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修2-2
1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1，其中Δx ＝x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)是相对于f (x 1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图111所示．图111思考：Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限即lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.3．导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．[答案] (1)√(2)×(3)×2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )【导学号：31062000】A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ) A．4 B．4.1C．0.41 D．－1.1B[v＝ΔsΔt＝s－s2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．[解析]∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0＋Δx2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.[答案] 25．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．[解析]f′(6)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→02－2Δx＝0.[答案] 0[合作探究·攻重难](1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率.【导学号：31062001】[解] (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5) ＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2. 函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋Δx2Δx ＝6x 0＋3Δx .[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f x 2－f x 1；第三步，求平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 12.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式.[跟踪训练]1．如图112，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )图112A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 的值为( )【导学号：31062002】A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2ΔxD [Δy Δx ＝＋Δx 2－2×12Δx＝4＋2Δx .故选D.][探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度？提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt .2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度Δs Δt ――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－2＋1＋Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. [解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9， ∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s t 0＋Δt －s t 0求平均速度v ＝Δs Δt求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，\f(Δs,Δt )无限趋近于常数v ，即为瞬时速度.(1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →00x 0Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．－1C ．－13D ．13(2)求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．[思路探究] (1)类比f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx求解．(2)先求Δy ―→再求Δy Δx ―→计算lim Δx →0ΔyΔx(1)C [∵lim Δx →0f x 0－3Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0－3Δx －f x 0－3Δx －＝－3f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－13，故选C.](2)∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.[规律方法] 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练]3．已知f ′(1)＝－2，则lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝________.【导学号：31062003】[解析] ∵f ′(1)＝－2， ∴limΔx →0f－2Δx －fΔx＝lim Δx →0f－2Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2Δx＝－2lim Δx →0f－2Δx －f －2Δx＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.[答案] 44．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.[当 堂 达 标·固 双 基]1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2B [v ＝s－s 2.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0＝s 1＋Δt －s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )【导学号：31062004】A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．] 3．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________． [解析] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.[答案] 124．设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝A ，则f ′(x 0)＝________.[解析] lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝3lim 3Δx →0f x 0＋3Δx －f x 03Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .[答案] A35．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求：(1)Δy Δx ；(2)f ′(1).【导学号：31062005】[解] (1)Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋3－2＋Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。
高中数学1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即
������x →0
������������������
f (x 0 +������x )-f (x 0 ) ������x
= ������������������
记作 f′(x0)或 y′|x=x , 即 f′(x0) =
0
Δy lim Δ x →0 Δx
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:
题型一
题型二
题型三
题型一
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1.函数的变化率
定义 平 均 变 化 率 瞬 时 变 化 率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为
2.导数的概念
f(x0 +Δx)-f(x0 ) , 我们称它为函数 y Δx Δ x →0
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim lim
Δy Δ x →0 Δx
=
= f(x)在 x = x0 处的导数, =
f(x0 +Δx)-f(x0 ) lim . Δx Δ x →0
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
人教课标版高中数学选修2-2《变化率与导数(第1课时)》教案-新版
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数第1课时教学目标 1. 核心素养通过变化率与导数的学习，体验数学发现和创造的过程，提高抽象概括能力． 2. 学习目标（1）1.1.1通过实例，经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，（2）1.1.2了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 3. 学习重点平均变化率与导数的概念；体会导数思想及内涵． 4. 学习难点理解导数的概念，掌握导数的记号. （一） 课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 2－P 6，思考：平均变化率和瞬时变化率是什么？平均变化率和瞬时变化率的区别是什么？你能否举出一个实例，求平均变化率和瞬时变化率. 任务2导数是什么？导数的记号是什么？2．预习自测1.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s s t t == (位移单位：m ，时间单位：s )，则小球在2到3秒间的平均速度为_____________. 答案：5/m s2.一做直线运动的物体，从1t =到1t t =+∆这段时间里，物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为（ ）A ．从1到1t +∆这段时间内物体的平均速度B ．从0到1这段时间内物体的平均速度C ．物体在1t =这一时刻的瞬时速度D ．物体在1t +∆这个时刻的瞬时速度 答案：C3.下列各式正确的是（ ） A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)x B ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )－f (x 0)x D ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )+f (x 0)x答案：C （二） 课堂设计 1.知识回顾（1）物理中平均速度xv t=，其中x 是位移，t 是时间. （2）物理中平均速率sv t=，其中s 是路程，t 是时间.（3）指数函数(1)x y a a =>的增长速度如何变化？指数增长越来越快. （4）对数函数log (1)a y x a =>的增长速度又如何变化？对数增长越来越慢. 2．问题探究问题探究一●活动一 阅读思考，体验平均变化率请大家阅读教材问题1：气球的膨胀率，然后思考：若气球的体积由1V 增长到2V 时，气球的平均膨胀率是多少？设气球的半径为r ，所以气球的平均膨胀率为()()1212r V r V r V V -=-. ●活动二 类比巧思，解决同类问题对比气球的膨胀率与平均速度如何证明指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快？当x 从1增加到2时，函数值的平均增长率为2(1)a a a a -=-； 当x 从2增加到3时，函数值的平均增长率为322(1)a a a a -=-； 当x 从3增加到4时，函数值的平均增长率为433(1)a a a a -=-； 当a >1时，所以指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快. ●活动三 归纳总结，收获新的认识请大家结合气球膨胀率、平均速度、函数增长速度等实例归纳什么是平均变化率？设函数()y f x =，12,x x 是其定义域内的两点，称式子2121()()f x f x x x --称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -，即21x x x ∆=-，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”.可用1x x +∆代替2x ；类似地，21()()y f x f x ∆=-.于是平均变化率也可表示为yx∆∆.且易知11()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆. 注意：x ∆是一个整体符号，不是∆与x 相乘，它可正、可负、不可为零.例 1 已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 【知识点：平均变化率】解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2点拨：理解函数的平均变化率.例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
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§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少
?
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述
其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化
率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用
x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212
思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x f
1
212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
20)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
y。