辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2017—2018学年度上学期沈阳市效联体期末考试高二试题数学（理科） 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线22x y =的准线方程为（ ） A ．1y =- B ．1x =- C ．12x =- D ．12y =- 2.下列说法正确的是： （ ）A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++>；B ．命题已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠是真命题；C ．设x R ∈，则20x +≥是13x -≤≤的充分不必要条件；D ．x y R ∀∈、，如果0xy =，则0x =的否命题是x y R ∀∈、，如果0xy =，则0x ≠ 3. 直线l 过点()2,4P --且与抛物线8y x =-只有一个公共点，这样的直线共有（ ） A ． 0条 B ．1条 C ．2条 D ． 3条4. 双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点到其渐近线的距离为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．5 B ．5 C. 5 D ．55. 已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ） A ．566 B ．519 C. 547 D ．5336.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ）A ．34 B ． 14 C. 13 D ．237. ()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92 B ． 576 C. 192 D ．3848. 设O 为坐标原点，动点N 在圆22:8C x y +=上，过N 作y 轴的垂线，垂足为M ，点P 满足12MP MN =，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．22182x y += B ．22128x y += C. 22124x y += D ．22142x y += 9. 我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab 中用()rand 函数来产生01的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（ ）A ． 3.144B ．3.154 C. 3.141 D ．3.142 10. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为6π的直线，交抛物线于A B 、两点，则AF BF=（ ）A ．7+B ．7- C. 7±．7±11.已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点A B C 、、，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ）A ． -4B ． - C. 4 D ．612. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）A ． ②③B ．①④ C. ①③ D ．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为 ．14.在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线的渐近线方程为430x y -=，且它与椭圆221305x y +=有相同的焦点，则该双曲线方程为 ．15.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1212A A B B 、、、，焦点分别为12F F 、，延长12B F 与22A B 交于P 点，若12B PB ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．16.过y 轴上定点()0,P m 的动直线与抛物线216x y =-交于A B 、两点，若2211APBP+为定值，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知a R ∈，命题[]2:1,2,0P x x a ∀∈-≥，命题:q 已知方程22112x y a a +=+-表示双曲线． （1）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．18.高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)170,180（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19. 已知点M 与点()4,0F 的距离比它的直线:60l x +=的距离小2． （1）求点M 的轨迹方程；（2）,OA OB 是点M 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB 是否经过x 轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20.某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[)(](]0,2000200040004000、，、，6000三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失[]0,2000x ∈则取1000x =，且1000x =的概率等于经济损失落入[]0,2000的频率）。

现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：()()()()()2,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．21.已知椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>，若椭圆T 与圆23:12P x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭相交于,M N两点，且圆P 在椭圆T 内的弧长为23π． （1）求,a b 的值；（2）过椭圆T 的中心作两条直线,AC BD 交椭圆T 于,A C 和,B D 四点，设直线AC 的斜率为1k ，BD 的斜率为2k ，且1214k k =． ①求直线AB 的斜率；②求四边形ABCD 面积的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 2,M ρθ=为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4OM OP =． （1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t x t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0απ≤<．l 与2C 交于点,A OA =l 的斜率．试卷答案一、选择题1-5: DBCCD 6-10: DBBAC 11、12：AB 二、填空题13. 91 14.221916x y -=15. 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭16.-8 三、解答题17.解：（1）若q 为真命题时：()()120a a ++<， ∴12a -<<， ∴()1,2a ∈-；（2）若p 为真命题时：()[]2min1,2a xx ≤∈， ∴1a ≤，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p q 、一真一假，即121a a -<<⎧⎨>⎩或211a a a ≥≤-⎧⎨≤⎩或， 解得12a <<或1a ≤-， ∴a 的范围为()(]1,2,1-∞-．18.（1）第一组学生身高的中位数为1721761742+=， 第二组学生身高的中位数为174175174.52+=； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，()2327617C P A C =-=，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为67； （3）X 的可能取值为0，1，2，3()223222531010C C P X C C ===，()11221322322253215C C C C C P X C C +===， ()2211122232225313230C C C C C P X C C +===，()212222531315C C P X C C ===， ∴X 的分布列为()1235301515E x =⨯+⨯+⨯=．19.（1）由题意知动点M 到()4,0的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到()4,0的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以()4,0为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =；（2）法一：由题意知直线AB 的斜率显然不能为0，设直线AB 的方程为()()()11220,,,x ty m m A x y B x y =+≠，联立方程216y xx ty m⎧=⎨=+⎩，消去x ，可得216160y ty m --=， 0∆>即240t m +>，121216,16y y t y y m +==-，22212121616y y x x m =⨯=， 由题意知OA OB ⊥，即OA OB ⊥，则12120x x y y +=， ∴2160m m -=， ∵0m ≠，∴16m =， ∴直线AB 的方程为16x ty =+，∴直线AB 过定点，且定点坐标为()16,0；法二：假设存在定点，设定点()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠， ∵OA OB ⊥， ∴OA OB ⊥， ∴12120x x y y +=，又∵A B 、在抛物线上，即221212,1616y y x x ==代入上式，可得()212120256y y y y +=， ∴12256y y =-，又∵A B P 、、三点共线， ∴//PA PB ，∴2221121212120121216161616y y y yy x x y y yx y y y y --===-=--， ∴假设成立，直线AB 经过x 轴的定点，坐标为()16,0．20.（1）由题意可知()()()10000.3,30000.5,50000.2P x P x P x ======，ξ的所有可能取值为2000,4000,6000,8000,10000，()()21220000.30.09,40000.30.50.30P P C ξξ=====⨯=()()1212260000.30.20.50.37,80000.50.20.20P C P C ξξ==⨯+===⨯=，()2100000.20.04P ξ===，所以ξ的分布列为20000.0940000.3060000.3780000.20100000.045600E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元（2）()2503064101225 4.504 3.84140103416272⨯⨯-⨯K ==≈>⨯⨯⨯， ∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． 21.（1）由圆P 在椭圆T 内的弧长为23π，则该弧所对的圆心角为23π，M N 、的坐标分别为,1,⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，设222c a b =+，由c e a ==可得222231,44c a b a ==， ∴224a b =， 则椭圆方程可记为22221,4x y b b ⎛+=- ⎝⎭代入得2213144b b +=， ∴221,4b a ==， ∵0a b >>， ∴2,1a b ==；（2）①由（1）知椭圆方程可记为2214x y +=，由题意知直线AB 的斜率显然存在 直线AB 的方程为：y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，可得()222148440k x kmx m +++-=，0∆>，即()2216140k m +->，2121222844,1414km m x x x x k k --+==++，()()()2222121212122414m k y y kx m kxm k x x km x x m k -=++=+++=+，∵1214k k =， ∴121214y y x x =，即12124x x y y =， ∴2141,2k k ==±；②AB =， O 到直线AB 的距离d =，四边形ABCD 面积224ABO S S AB d ∆=====∵()()20,11,2m ∈⋃，∴四边形ABCD 面积()0,4S ∈．22.（1）设点P 的极坐标()(),0ρθρ>，点M 的极坐标()()11,0ρθρ>， 由题意可知12,sin OP OM ρρθ===， 由4OP OM =得曲线2C 的极坐标方程为()2sin 0ρθρ=>，∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22110x y y +-=≠；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l 过原点且倾角为α， 则直线l 极坐标方程为θα=，联立()2sin 0θαρθρ=⎧⎨=>⎩， ∴()2sin ,A αα，∴2sin OA αα===， ∴3πα=或23π，∴tan α=∴直线l法二：由题意2OA =≠分析可知直线l 的斜率一定存在，且由直线l 的参数方程可得，直线l 过原点，设直线l 的普通方程为y kx =，∴2C 到l的距离d ==k =， ∴直线l。