2015高中数学 1.5.1--1.5.2 不等式的证明方法(一) 教案 (新人教选修4-5)

1.5.1--1.5.2 不等式的证明方法（一） 教案
教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法. 教学重点、难点：分析法 教学过程：
一、情景引入：
不等式历来是高考的重点内容。

对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。

要在思想方法上下功夫。

.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
0>-⇔>b a b a
0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。

由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。

而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。

前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。

打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、精讲精练：
例1、 设a>0，b>0，求证：
a
b b a +≥b a +。

分析：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

解：左-右=
ab
b a )
b a ()a
1b 1)(
b a (a
a b b b a b a a
b b a --=--=-+-=--+
ab
b a )b a (2
+-=≥0
∴ 左≥右 即原不等式成立.
点评：⑴做差；变形整理；判断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.⑵本题中应注意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的.
变式训练1：课本P24练习第7题.
例2：已知,,()lg
,3
n n n
a b c a b c n f n ++=为正数，是正整数，且 求证：2()(2).f n f n ≤
2
2222()2lg lg ,
33(2)lg .
3
n n n
n n n n n n
a b c a b c f n a b c f n ⎛⎫++++== ⎪⎝⎭++=分析：由 比较两个真数联想到可用基本不等式来证明.
2
2222222222222222()2lg lg 33222lg .
9
22222222222()lg
n n n
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b c a b c f n a b c a b b c c a a b a b b c b c c a c a a b b c c a a b c a b c a b b c c a f n ⎛⎫++++== ⎪
⎝⎭
+++++=≤+≤+≤+++≤+++++++∴=Q 证明：又，，，将上面三个不等式相加，得
（）.2222222229
2lg
9
lg (2).
3
n n n n n n n n n n
a b c a b c a b c f n +++++≤++==（）
点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.
变式训练2：课本P27练习第2题.
例3：已知,,,,,.ABC a b c A B C △的三边长为三内角为
求证：()()0,,3
2
(2)(2)(2)0.
()()()()()()0.()()()()()()0.a c A B C A B C a b c A B C a b c aA bB cC A b c a B a c b C a b c A b a A c a B a b B c b C a c C b c a b B A c a A C b c C B a b π>++=++++++++≤++<+-++-++-≤-+-+-+-+-+-≤--+--+--≤≥因为、b 、欲证原不等式成立，则只需证
（）（）
先证前一个不等式，只需证
即证即①
不妨设,.
()()0;()()0;()()0...
c A B C a b B A c a A C b c C B ≥≥≥∴--≤--≤--≤∴则①式成立，同理可证第二个不等式成立因此原不等式成立
分析：本题是一个连锁不等式，也应该用逐步分析的方法分别证明，但要注意隐含条件
.A B C π++=
()()0,,3
2
(2)(2)(2)0.
()()()()()()0.()()()()()()0.a c A B C A B C a b c A B C a b c aA bB cC A b c a B a c b C a b c A b a A c a B a b B c b C a c C b c a b B A c a A C b c C B π>++=++++++++≤++<+-++-++-≤-+-+-+-+-+-≤--+--+--≤证明：因为、b 、欲证原不等式成立，则只需证
（）（）
先证前一个不等式，只需证
即证即①
不妨设,.
()()0;()()0;()()0...
a b c A B C a b B A c a A C b c C B ≥≥≥≥∴--≤--≤--≤∴则①式成立，同理可证第二个不等式成立因此原不等式成立 点评：本题出题角度比较新颖，能力要求较高，三角形的边角问题一般用正弦、余弦定理进行转化变形，然而本题并没有三角函数，所以想到.A B C π++=，再利用求差比较法证明。

变式训练3：课本P27练习第6题. 三、课堂小结
1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
2. 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用 四、布置作业
课本P31习题1-5第2，3，7题. 课外参考：已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1。

求证：(a +
a 1)(
b +b 1
)≥4
25. 证法一：(分析综合法)
欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0， 即证ab ≤
4
1
或ab ≥8. ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤
4
1
，从而得证. 证法二：(均值代换法)供参考 设a =
21+t 1，b =2
1+t 2. ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜
21，|t 2|＜2
1
.
425
4
11625412316254
1)45(41)141)(141()21)(21()
141
)(14
1(211)21(211)21(11)1)(1(224
222222
2222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯
+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =2
1
时，等号成立. 证法三：(比较法）
∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤
4
1 4
25)1)(1(0
4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥
++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)
∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤
4
1
. 4251)1(41 16251)1(169)1(43411122
2
≥+-⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 4
25
)1)(1(≥++b b a a 即
证法五：(三角代换法）供参考
∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2
π
) .
4
25)1)(1(425α2sin 4)
α2sin 4(41
α2sin 12516α2sin 24.314α2sin 4,1α2sin α
2sin 416
)αsin 4(α
2sin 42
αcos αsin 2αcos αsin )
αcos 1α)(cos αsin 1α(sin )1)(1(22
22
2222222224422
22≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=
+-+=
++=++b b a a b b a a 即得Θ 2。