空间点线面的位置关系PPT课件
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第三节空间点线面的位置关系ppt课件
C．不可能平行 是异面直线相矛盾．
答案：C
D．不可能
相交
2．(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；
(
)
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2 B．1 D．3
解析：①④错误，②③正确． 答案：C
第三节空间点 线面的位置关 系
考纲要求： 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义， 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
P∈α，
且P∈β⇒
_____
α∩ β ＝ l
该点的公共直线
___________ 且P∈l
二、空间直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内， 没有 公共点； 1．位置关系的分类 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直
空间点线面的位置关系PPT课件
β
α
a
//或 平面α与平面β重合
精选PPT课件
1练1 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
精选PPT课件
12
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
作： //或
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
公理2
β
a
α
α
β
β
α
精选PPT课件
10
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a b A 或 a //
β
a
α
α
β
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念.
(2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的 平面概念是现实平面加以抽象的结果.
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有 些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直 线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线 等等.
点线面ppt课件
点的应用
在设计中，点可以用来表 示位置、大小、形状等， 也可以用来构成图案、装 饰元素等。
线的的设计应用
线的定义
线是连接两个或多个点的路径，是构成图形的基 本元素之一。
线的类型
线可以分为直线、曲线、虚线等类型，每种类型 的线都有其独特的视觉效果和用途。
线的应用
在设计中，线可以用来表示方向、位置、大小等 ，也可以用来构成图案、装饰元素等。
线的艺术表现
1 2 3
线的类型
线可以分为直线、曲线和折线等类型。直线给人 一种刚毅、有力、静态的感觉，曲线则显得更加 柔软、流畅、动态。
线的粗细
线的粗细可以影响其视觉效果。粗线具有强烈的 存在感，能够突出主题，细线则更加精致、细腻 。
线的方向
线的方向可以传达出不同的情感和意象。水平线 给人一种平静、稳定的感觉，垂直线则显得更加 高大、威严。
表示力量、权威或尊严。
线的粗细
线的粗细可以用来传达不同的含 义。例如，较粗的线可以表示强 调或突出，而较细的线则可以表
示次要或辅助信息。
线的颜色
线的颜色可以用来传达不同的情 感或含义。例如，绿色可以表示 生机、希望或和平，而黑色则可
以表示严肃、神秘或死亡。
面的视觉表达
面的形状
面的形状可以用来传达不同的含 义。例如，圆形可以表示完美、 团结或和谐，而方形则可以表示 稳定、可靠或权威。
面的设计应用
面的定义
面是由一组点或线构成的封闭区域，是构成图形的基本元素之一 。
面的类型
面可以分为平面、曲面等类型，每种类型的面都有其独特的视觉效 果和用途。
面的应用
在设计中，面可以用来表示形状、大小、位置等，也可以用来构成 图案、装饰元素等。
空间点线面位置关系(复习)-PPT
• 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
空间点线面之间的关系 PPT
由所给元素确定平面得关键点
判断由所给元素(点或直线)确定平面时,关键就是分
析所给元素就是否具有确定唯一平面得条件,如不具备,则
一定不能确定一个平面、
——————————————————————————
1、下列如图所示就是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别 就是所在棱得中点,则四个点共面得图形就是________、
即A1C1与B1C所成角为60°、 (2)如图,连接BD,由AA1∥CC1,且AA1＝CC1可知A1ACC1 就是平行四边形,所以AC∥A1C1、 即AC与EF所成得角就就是A1C1与EF所成得角、 因为EF就是△ABD得中位线,所以EF∥BD、
又因为AC⊥BD,所以EF⊥AC,即所求角为90°、
—————
空间点线面之间的关系
公理4:平行于同一条直线得两条直线 互相平行、作 用:判断空间两条直线平行得依据、
[探究] 1、平面几何中成立得有关结论在空间立体几 何中就是否一定成立？
提示:不一定、例如,“经过直线外一点有且只有一条直 线和已知直线垂直”在平面几何中成立,但在立体几何中就 不成立、而公理4得传递性在平面几何和立体几何中均成立 、
其中正确命题得个数就是
() A、0 C、2
B、1 D、3
[自主解答] ①正确,可以用反证法证明;②不正确,从 条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但就是若A、B、 C共线、则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不 正确,空间四边形得四条边不在一个平面内、
[答案] B
—————
————————————
易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错
[典例] (2013·临沂模拟)过正方体ABCD－A1B1C1D1
得顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成得角都相等,这样
8-2空间点直线平面之间的位置关系课件共104张PPT
过该点的公共直线
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
第2部分 专题3 第2讲 空间点、线、面的位置关系 课件(共79张PPT)
③平面AEF截正方体所得的截面面积为98；
④点A1与点D到平面AEF的距离相等．
A．①②
B．①④
C．①②③
D．②③④
D [∵CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，
∴AF与DD1不垂直，故①错误；取B1C1的中点
N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，
则直线A1G∥平面AEF，故②正确；把截面AEF
高考串讲·找规律
考题变迁·提素养
1．(2021·全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中
点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
D [如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1， 所以异面直线PB与AD1所成角等于∠PBC1 的大小．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线 B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，由 正方体易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1
又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM ⊂平面ABC，
故CM⊥平面ABD．
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝ AC2＋AD2＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝CCMD＝
3 4.
所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 43.
命题规律：以空间几何体为载体考查线线角和线面角的定义与计 算，以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等，分值5分．
①
②
1234
③ A．①② C．①②③
④ B．②③ D．②③④
1234
B [作出OP在MN所在平面的射影，若射影垂直于MN，则 OP⊥MN，经验证知②③满足，故选B．]
空间点线面位置关系1ppt课件
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。 常借助一个或两个平面来衬托.
三、线与面的位置关系（集合语言表示法）
(1)直线 l 在平面 内(或平面 经过直线 l )：
直线 l 上的所有点都在平面 内。
l
记作： l
15
(2)直线 l 在平面 外 ①直线 l 与在平面 相交:
直线 l 与平面
只有一个公共点。
l
P
记作 l ： P
16
②直线 l 与在平面 平行 :
直线 l 与平面 没有公共点。
l
记作： l //
或l
17
直线与平面的位置关系（集合语言表示法）
(1)直线 l 在平面 内(或平面 经过直线 l )：
记作： l (2)直线 l 在平面 外 ( 直线 l不在平面 α 上 )
D' A' B' C'
P
D A B
Q
C
平面 AB C D 平面 A B CD PQ
26
B 例 4 、已知正方体 ABCD A C D 中，点 P 在棱 C C 上， P 画出直线 A 和平面 ABCD 的交点。
D' A' B' C'
P D A B C
Q
19
(2)平面 与平面 平行：
没有公共点。 两个平面 、
记作： 或 //
20
平面与平面的位置关系（集合语言表示法）
(1)平面 与平面 相交于 直线 l： (2)平面 与平面 平行：
记作 α ： β l
记作： 或 //
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思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
.
3
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß
画平面水平放置时，
水平放置
常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮
公理2
β
a
α
α
β
β
α
.
10
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a I bI A 或 a //
β
a
α
α
β
β
α
I a
//或I 平面α与平面β重合
.
1练1 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
所以过直线a和点A的平面只有一个.
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
确定一个平面的“确定”是“有且. 只有”的同义词.
17
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并 且这些公共点在一条直线上.
.
14
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言：P I I l且 P l
观察下列问题，你能得到什么结论？
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
.
16
3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
证明：存在性.
因为Aa，在a上任取两点B，C.
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理2）
因为B∈，C∈，所以a .（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C. 由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个，
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个
公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.
(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线
是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
.
15
3.平面的基本性质
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
.
1
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有 些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直 线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线 等等.
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
.
2
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念.
(2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的 平面概念是现实平面加以抽象的结果.
a
a
a
A
α
α
α
.
9
2.点、直线、平面的位置关系
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直
线a，称平面α与平面β相交.记作： I a 公理3
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记
作： //或I
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.
记为： aI A
③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行. 记
为： a//或aI
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a
.
6
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D……
直线(点的集合):小写英文字母 a,b或, c者L两个大写英文字母
平面(点的集合):用希腊字母表示 ,；, L
用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号
.
12
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系： 可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
.
13
3.平面的基本性质
挡的部分用虚线画出来.
.
4ห้องสมุดไป่ตู้
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
.
5
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D
C
A
B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 .
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
元素与集合关系： ,
集合与集合关系：, ; I
.
7
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上，记作 A a
点B不在直线a上，记作 B a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上，记作 A
点B不在平面α上，记作 B
a A
B
B
α
A
.
8
2.点、直线、平面的位置关系