高三数学 空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
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规律方法总结
1．公理1反映了平面的本质属性， 通过直线的“直”和“无限延伸”的特性， 揭示了平面的“平”和“无限延展”的特 征．其作用是：(1)检验平面；(2)判断 直线在平面内；(3)由直线在平面内判 定直线上的点在平面内．
MM、 、NN、 、KK∈ ∈平 平面 面BPQCDR ⇒
M、N、K在平面BCD与平面PQR 的交线上，即M、N、K三点共线．
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【名师点评】 错误主要出现在 不能正确判断M、N、K所在平面．
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考点二 线共点问题
证明共点问题一般是证明三条 直线交于一点．首先证明其中的两 条直线相交于一点，然后再说明第 三条直线是经过这两条直线的两个 平面的交线，由公理3可知两个平 面的公共点必在两个平面的交线上， 即三条直线交于一点．
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例3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，
求证：D1、E、F、B共面．
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【思路点拨】 连结D1E、 D1F→D1E与DG相交，D1F与DC 相交→证明两交点与B共线．
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【证明】 ∵D1、E、F三点不共 线，
∴D1、E、F三点确定一平面α， 又由题意可知D1E与DA共面于平面 A1D且不平行，故分别延长D1E、DA 相交于G，则G∈直线D1E⊂平面α，
与FG交于点P， 则P∈平面ABD，P∈平面BCD， 所以P在两平面的交线BD上， 所以EH、FG、BD三线共点．
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考点三 点、线共面问题
证明若干条线(或若干个点)共面，一般来 说有两种途径：一是首先由题目条件中的部 分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的 线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分 为几个部分，然后分别确定几个平面，再证 这些平面重合．本题最容易忽视“三线共点” 这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细 推敲问题中每一句话的含义．
∴G∈α.同理，设直线D1F与DC的 延长线交于点H，则H∈平面α.
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又∵点G、B、H均属于平面AC， 且由题设条件知E为AA1的中点且 AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，
∴△AGB为等腰直角三角形， ∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝ 45°， 又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α， ∴D1、E、F、B共面．
该点的公共直线
P∈α，且 P∈β⇒α∩β ＝l，且P∈l
基础知识梳理
2.空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类
有且只有一个 没有 没有
基础知识梳理
(2)平行公理 公理4：平行于同一直线的两 条直线 互相平行——空间平行线 的传递性． (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分 别 对应平行，那么这两个角相等 或互补．
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【思路点拨】 (1)易证MN∥AC， 所以AM与CN不是异面直线．(2)由图易 判断D1B和CC1是异面直线，证明时常 用反证法．
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【解】 (1)不是异面直线．理由： 连结MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 4分 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线. 6分
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例2
如图所示，已知空间四边形ABCD中，
E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别
是边 BC、CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23，求证：
三条直线EF、GH、AC交于一点．
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【思路点拨】 先证E、F、G、 H四点共面，再证EF、GH交于一点， 然后证明这一点在AC上．
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空间点、线、面之间的位置关系
基础知识梳理
1．平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理 1
如果一条直线 上的 两点 在一
个平面内，那 么这条直线在
此平面内
A∈l，B∈l， 且A∈α， B∈α⇒l⊂α
基础知识梳理
名称
图示
文字表示
符号表示
公理 2
过不在一条直线 上的三点，有且 只有一个平面
公理 3
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条 过
规律方法总结
2．公理2的作用：确定平面的依 据．它提供了把空间问题转化为平面问 题的条件．例如：三点确定几个平面？ 当三点共线时，三点确定无数个平面； 当三点不共线时，确定一个平面，所以 三点确定一个或无数个平面．
公理2中的“有且只有一个”包含两 层含义：(1)“有”说明平面的存在性； (2)“只有一个”说明平面的唯一性．
三基能力强化
1．分别在两个平面内的两条直 线的位置关系是( )
A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 答案：D
三基能力强化
2．已知a，b是异面直线，直线 c∥直线a，则c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案：C
三基能力强化
3．已知A、B、C表示不同的点， l表示直线，α、β表示不同的平面，则 下列推理错误的是( )
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【名师点评】 证明异面直线的 方法中反证法最常用，不能把异面直 线误解为：分别在不同平面内的两条 直线为异面直线．
高考检阅
(本题满分10分)由四个 全等的等边三角形围成的封 闭几何体称为正四面体．如 图，在正四面体ABCD中， E、F分别是BC和AD的中 点．CF与DE是一对异面直 线，在图中适当地选取一点 作出异面直线CF与DE的平 行线，找出异面直线CF与 DE所成的角．
图示
符号表 公共点
示
个数
l⊂α 无数个
基础知识梳理
位置关系
图示
符号表示
公共点个 数
直线l与平面 α相交
l∩α＝A
一个
直线l与平面 α平行
l∥α
0个
基础知识梳理
4.平面与平面的位置关系
位置 关系
图示
符号表 公共点个
示
数
两平 面平
行
α∥β
0个
两平 面相
交
a∩β＝l
无数个(这 些公共点 均在交线l
上)
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(2)是异面直线．理由： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面. 8分 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α， CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， ∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体 矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异 面直线. 12分
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3．客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内不过该点的直线是异面直线， 如图．
(例解4题示范)(本题满分12 分)如图所示，正方体ABCD －A1B1C1D1中，M、N分别 是A1B1、B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异 面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异 面直线？说明理由．
∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面 ADC， ∴P在平面ABC和平面ADC的交 线上． 又∵面ABC∩面ADC＝AC， ∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三 直线交于一点．
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【思维总结】 证明线共点的方 法一般是先证两条直线相交于一点， 然后再证明这一点在第三条直线上， 而证明后者，往往是利用这点在两个 平面的交线上．
互动探究
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若本例中的其他条件不变，将比例改 为AEEB＝CFFB＝2，HAHD＝GCGD＝3.求证： EH、FG、BD 三线共点．
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