一阶方程初等积分法综述
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
一阶微分方程的初等解法
第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。
教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。
教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程)(=y,F的一些可解类,xy('y,)'xfy=或0型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1 变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。
教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。
教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。
教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
形如 )()(y x f dxdyϕ= (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里)(),(y x f ϕ分别是x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解.当0)(≠y ϕ时,将(2.1)改写成dx x f y dy)()(=ϕ,对上式两边积分得: ⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ (2.2)原函数的某一)(1y ϕ↑原函数的某一)(x f ↑由(2.2)所确定的函数),(c x y ϕ=就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解. 解: 方程两边同除以)101(yy -,再积分得1)101(⎰⎰+=-c dx y y dy ,两边积分得110lnc x yy+=-,从上式中解出从上式中解出,再将常数设为c,得,0,110≠+=-c ce y x由0)101(=-yy 求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为.0,,110=+=-y c ce y x 和为任意常数例2. 求微分方程23y dxdyx =的通解.解:分离变量后得dx xdy y 123=-两边积分得121ln 2c x y +=--整理后得通解为:,,)(ln 4)(ln 41221c e c cx c x y ==+=其中由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c 而得到,所以不是解.例3、求方程 y x P dx dy)(= 的通解。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
一阶微分方程的初等解法
（1）如何判断(2.3.１）是恰当微分方程？
（2）如果(2.3.1）是恰当微分方程,如何求得函数 ?
(3）如果（２．3.1)是恰当微分方程，函数 应有什么性质？
恰当微分方程的充要条件是
（2.3.５）
恰当微分方程（2.３.２）的通解是
= ，(2.3.9）
例1求方程 的通解.
(解为 )
采用“分项组合”的办法,先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分．这要求熟记一些简单二元函数的全微分。
一阶微分方程的初等解法
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第二章 一阶微分方程的初等解法
教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法;会利用所学知识解决一些实际问题.
教学难点：变量变换，积分因子法,分项组合法，建立微分方程模型。
教学过程:
§2.1变量分离方程与变量变换
要求：熟练掌握变量分离方程的解法
本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.
2.1.１变量分离方程
，
或
分离变量即可求解．
例1 求解方程 . （解为 )
例2 求解方程 , . （解为 ）
例３（略）
例4 求解方程 .(解为 )
本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法(即常数变易法）
一阶线性微分方程
,
当 的区间上可以写成
， （2.2.1)
其中 在考虑的区间上是 的连续函数.
若 ,(2.21）变为
, (2.２．2)
（2．2.2）称为一阶齐次线性微分方程
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
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一阶方程初等积分法综述
摘要：所谓方程，是指那些含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。
如果在一方程中的未知量是数，这样的方程就是代数方程或超越方程。
如果在一个方程中的未知量是函数，这样的方程就称为函数方程。
如果在一个函数方程中含有对未知函数的积分运算或在积分号下有未知函数，这样的函数方程就称为积分方程。
如果函数方程中含有对未知函数的求导运算或微分运算，这样的函数方程就称为微分方程。
关键词：一阶线性方程、常微分方程、函数、通解
一．微分方程和解 1.一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的等式。
如果其中的未知数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程。
例如：x dx y 2d =就是常微分方程，z y
z x y =∂∂+∂∂就为偏微分方程。
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数。
x dx 2dy =是一阶微分方程。
03
22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt dx tx dt x d 是二阶微分方程。
2.N 阶隐式微分方程得一般形式为0,,,,=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n dx y d dx dy y x F ，这个是n n dx
y d dx dy y x ,,,, 的已知函数，而且一定含有y dx y d n n ,是未知函数，x 是自变量，n 阶显式微分方程得一般形式为()()()1',,,,-=n n y y y x f y 。
如果微分方程的解中含有任意常数，且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程得阶数相同则称这样的解为该方程得通解。
例如：2,121,cos sin c c x c x c y +=为任常数是微分方程0''=+y y 的通解。
N 阶微分方程通解的一般形式为()n c c x y ,,1 ，ϕ=，其中n c c ,,1 为相互独立的任常数。
3.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题。
初值问题也常称为柯西问题。
4.为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图像。
一阶方程的一个特解()x y ϕ=的函数图像是x0y 平面上的一条曲线，称为方程的积分曲线，而通解()C x y ,ϕ=的函数图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族。
二．变量可分离方程
1.形如：()()x g x f dx
dy =的方程称为变量可分离方程。
它的特点是()()x g x f ,是连续函数，方程的右端是两个独立的一元函数之积。
2.在方程()()x g x f dx
dy =中，假设)(y g 是常数，不妨设1)(=y g 。
此时方程()()x g x f dx dy =变为)(x f dx dy =，设)(x f 在区间（a,b ）上连续，求方程)(x f dx dy =的解，就成为求)(x f 的原函数(不定积分)的问题。
三．齐次方程
1.如果一阶显式方程
),(y x f dx dy =的右端函数),(y x f 可以改写为x y 的函数)(x y g ，那么称方程),(y x f dx
dy =为一阶齐次微分方程。
2.下面给出经典例题解法 例题：解微分方程x
y x y y tan '+= 解：令'',u xu u y x
y +==则代入原方程得u u xu u tan '+=+ 分离变量x
dx du u u =sin cos 两边积分Cx u C x u x
dx du u u =+==⎰⎰sin ,ln ln sin ln sin cos 即得 故原方程得通解为Cx x
y =sin （C 为任意常数）
四．一阶线性微分方程
1.一阶线性微分方程的形式是
()()x f y x p dx dy =+，如果f(x)≡0，即0)(dx
dy =+y x p 则称为一阶线性齐次方程，如果f(x)不恒为零，则称()()x f y x p dx
dy =+为一阶线性非齐次方程。
2.讨论()0=+y x p dx
dy 所对应的齐次方程的通解问题 分离变量得
()dx x p y -=dy ，两边积分得()()⎰⋅=+-=-⎰dx x p e c y c dx x p y 或ln ln ，其次，我们使用所谓的常数变易法求非齐次线性方程的通解。
将通解中的常数C 换成函
数C （x ）,即为()⎰⋅=-dx x p e x C y )(，将此代入()()x f y x p dx
dy =+，有()()()⎰=dx x p e x f x C '，积分后得()()()c dx e x f x C dx x p +⎰=⎰，再将此代入()⎰
⋅=-dx x p e x C y )(，就可得到通解公式为()()()()dx e x f e Ce y dx x p dx x p dx x p ⎰⎰+⎰=⎰
--。
结论：线性非齐次方程的通解，等于它所对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
3.形如()()n y x f y x p dx
dy =+的方程，我们就称之为伯努利方程。
伯努利方程也是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它也是可以化成一阶线性方程。
五．全微分方程及积分因子
1.如果微分形式的一阶方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的左端恰好是一个二元函数）（y x ,U 的全微分，即dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=，则称0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程或恰当微分方程，而函数）（y x ,U 称为微分式dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=的原函数。
2.假如存在连续可微函数()0≠x u ，使方程()()()()0,,,,=+dy y x N y x dx y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把()y x ,μ称为方程的一个积分因子。
六．一阶隐式微分方程
1.解隐式方程()0',,=y y x F ，该方程也称为导数未解出的一阶方程。
若要解决方程中的问题分为两种情况考虑：
a.假如能从方程中把y '解出，就得到一个或几个显式方程
),,2,1(),(n i y x f y i ==' 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，
那么就得到方程()0',,=y y x F 的解。
b.如果在()0',,=y y x F 中不能解出y '，()0',,=y y x F 则转化为),(y x y '=，0),(0),(),(='=''=y x F y x F y x f x
七．几种可降阶的高阶方程
1.第一种可降阶的高阶方程：()()()()
)1(0,,,,1≥=+k y y y x F n k k ； 2.第二种可降阶的高阶方程：()()0,,',=n y y y F ；
3.第三种可降阶的高阶方程：()
()0
,,',,1=-n y y y x dx d φ 称为恰当导数方程。
八．一阶微分方程应用举例 三个步骤：
1.根据函数及其变化率之间的关系确定函数
2.根据建模目的和问题分析作出简化假设
3.按照内在规律或用类比法建立微分方程 应用举例：
1.等角轨线
2.动力学问题
3.电学问题
4.光学问题
5.流体混合问题。