第一章积分方程的来源及基本概念

第一篇积分方程第一章方程的导出和基本概念§1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。

下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。

例1：弹性弦负荷问题一根轻且软的弹性弦,长为l,两端固定,如图所示,静止时与x轴重合,弦内张力为T.今在其上加以强度为()x ϕ的负荷.设在任一点M (横坐标为x )()x ϕ,且设解：在任一点x ξ=处取微小的一段弦d ξ,则作用于其上的重力为()d ϕξξ,记之为0P ,则这一重力0P 必引起弦的形变,记ξ处位移为S ,则：01020sin sin T T P θθ+=,因为0()T x ϕ>>,所以12,1θθ<<112sin tan ,sin .SS l θθθξξ⇒≈=≈- 所以000S S T T P l ξξ⋅+⋅=-, 得00()P l S T lξξ-=⋅. 记0P 引起的x 处位移为*()y x ,则0x ξ≤≤时, 由y S x ξ*=得 *00()()P l Sy x x x T l ξξ-=⋅=⋅⋅; 当x l ξ≤≤时，y S l x l ξ*=-- , ⇒ 00()()P l x y x T lξ*-=⋅⋅; 记：00,0(,),.l x x T l G x l x x l T lξξξξξ-⎧⋅≤≤⎪⎪=⎨-⎪⋅≤≤⎪⎩则 0()(,)y x G x P ξ*=, ()(,)()y x G x d ξϕξξ*=，对ξ从0l 到求积分,⇒0()(,)()ly x G x d ξϕξξ=⎰. 这就是负荷()x ϕ满足的方程,是一个积分方程.例2 商场库存配送问题.商场销售某商品时,必须保持一定的库存总量A ,商场进货进入该商品后所进货物在时刻t 尚未售出概率为()k t .问商场应以什么样的速度()t ϕ进货以保持稳定的库存量A . 解 开始营业时,库存为A ,随后以速度()t ϕ进货,考虑时刻t 时的库存在任一小区间[,][0,],d t d ττττ+⊂时刻内进货为().d ϕττ到时刻t 为止,这些货还剩()()k t d τϕττ-.所以时刻t 时,商品还剩：0()()().tAk t k t d τϕττ+-⎰ 故0()()().tA Ak t k t d τϕττ=+-⎰ 例3 Abel 问题(等时线问题)一质点在重力作用下,在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑,定此曲线的形状,以使此点从任一高度h 开始下滑到达x 轴所用的时间为已知值()f h .图1.2解 设此点落到任一高度y ，21()2mv mg h y =-则. v ⇒=记β为过y 点的曲线的切线与x 轴夹角.⇒sin dy dtβ=⋅.⇒dy dt =记1()sin y ϕβ=. ().y dt dy ϕ⇒=0h -从积分0()().h y f h ϕ⇒=⎰ 显然,定出曲线上任一点切线与x 轴的夹角即相当于定出曲线.上式可看成求曲线方程的积分方程. 例4 人口问题.设初始时人口总数为0n .()f t 为生存函数,表示0t =时出生的人到时刻t 时的生存率,如图1.3所示.由于小孩出生,人口增加,设小孩出生率为()t γ.此出生率与当时总人口数()n t 成正比,即()()t k n t γ=⋅.取[0,]t 任一微元区间[,]d τττ+.则在此时段出生小孩为().k n d ττ⋅⋅到时刻t 时,还存在的为()[()]f t k n d τττ-⋅⋅⋅.故由于出生,到t 时为止增加的人口为：0()()tf t k n d τττ-⋅⋅⋅⎰.0t =时人口0n 到时刻t 还存在的为0()f t n ⋅,得00()()()().tn t n f t k f t n d τττ=+-⋅⎰例5 偏微分方程的边值问题在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条件包含在积分方程内，把解边值问题化为求解积分方程问题。

例如，偏微分方程2222220,(,,)u u u u x y z x y zλ∂∂∂+++=∈Ω∂∂∂ 及其边界条件|0.u ∂Ω=可以转化为等价的积分方程(,)()u G P Q u Q d λΩ=Ω⎰⎰⎰，其中d Ω为体积微元，(,)G P Q 是Green 函数。

§1.2.基本概念.积分方程的分类定义1.1 在积分号下出现未知函数的方程称为积分方程.（或者含有未知函数的积分的等式，称为积分方程）通常,含未知函数的积分方程一般形式为：()()(,)(())(),b aa x x K x t F t dt f x ϕλϕ=+⎰ [,]x ab ∈， (1.1) 其中(),(),(,)f x a x K x t 为已知函数,()x ϕ为未知函数,,a b 为积分上、下限,()f x 称为自由项,(,)K x t 称为积分核,λ为参数,F 为ϕ的已知函数.若F 为线性的,称(1.1)为线性积分方程,否则称为非线性方程.本课程主要研究线性方程,其一般形式为：()()a x x ϕ(,)()()ba K x t t dt f x λϕ=+⎰, [,]x ab ∈, (1.2) 按方程形式分,可分为第一类和第二类.如未知函数()x ϕ仅出现在积分号内,称为第一类方程,例如(,)()()0ba K x t t dt f x λϕ+=⎰ ； 否则称为第二类积分方程，例如()(,)()()bax K x t t dt f x ϕλϕ=+⎰.如积分上、下限均为常数,称为Fredholm 方程,否则称之为Volterra 方程，例如，当式（1.1）中的()0f x ≡时,称为齐次方程.§1.3 常微分方程转化成积分方程 通常,常微分方程的初值问题可以转化为Volterra 方程,边值问题可以转化成为Fredholm 方程. 例 一阶常微分方程0()(,),(0).dy x f x y dx y c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (1.3.1) 对(1.3.1)两边积分,得00()(,()).xy x c f s y s ds -=⎰若f 关于y 为线性,则为线性Volterra 方程,否则为非线性Volterra 方程.类似地,n 阶常微分方程()(1)(1)000101(,,,,),(),(),,().n n n n y f x y y y y x c y x c y x c ---'⎧=⋅⋅⋅⎪⎨'==⋅⋅⋅=⎪⎩可化为等价的Volterra 方程. 下面我们具体来将n 阶线性常微分方程化为Volterra 方程.()(1)1(1)011()()(),(0),(0),,(0).n n n n n y a x ya x y F x y c y c y c ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎨'==⋅⋅⋅=⎪⎩ (1.3.2) 首先证明公式：121121()n xt t t n n x x x x dt dt dt f t dt ---⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰()011()()1!x n x x t f t dt n -=--⎰. 用归纳法,当1n =时，显然成立； 设n k =时，成立；则1n k =+时,210011()k xt t t k k x x x x dt dt dt f t dt -⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰11()()(1)!k xt k k k x x dt t t f t dt k -=--⎰⎰. 积分区域如图所示,交换积分顺序,得 右边011()()(1)!x x k k k x tdt t t f t dt k -=--⎰⎰1()()!xk x x t f t dt k =-⎰. 证毕. 利用分部积分法11()xt x x dt f t dt⎰⎰1011()(())xt x x x t f t dt dt '=-+⎰⎰11101[()()]t t x t x x x t f t dt ===-+⎰111()()x x x t f t dt --+⎰0111()()xx x t f t dt =-⎰()()x x x t f t dt =-⎰，利用分部积分法，可得 定理 1 设(),()[,],nf xg x C a b ∈且()()()0,()0,1,2,,1,i i f a g b i n ===-L则有()()()bn afx g x dx ⎰()(1)()()bnn af xg x dx =-⎰，特别地()()(),()(1)!,n n ng x b x g x n =-=-()()()!()bbn a afx g x dx n f x dx =⎰⎰，()1()()()!bb n n aaf x dx b x f x dx n =-⎰⎰.定理2 设()[,],f x C a b ∈则有2211()xx aa dx f x dx ⎰⎰222()(),x ax x f x dx =-⎰323211()xx x aaadx dx f x dx ⎰⎰⎰23331()(),2!xa x x f x dx =-⎰ L L2111()nxx x n n aaadx dx f x dx -⎰⎰⎰L11()()(1)!x n n n n ax x f x dx n -=--⎰. 事实上， 令 2111()()nx x n n aaF x dx f x dx -=⎰⎰L，(1)()()n n n F x f x -=，利用定理1 ，得2111()nxx x n n aaadx dx f x dx -⎰⎰⎰L()xn n aF x dx =⎰1(1)1()()(1)!x n n n n n a x x F x dx n --=--⎰11()()(1)!x n n n n ax x f x dx n -=--⎰ 。

或直接利用泰勒公式的积分余项表示公式即得.利用上述公式,我们来具体将两个常微分方程转化成积分方程. 例1.3.11201()()()(0),(0).y a x y a x y F x y c y c '''++=⎧⎨'==⎩ 解：设10()()xy x y t dt c ϕϕ'''=⇒=+⎰ ,再积分之得，11100()()xt y x dt t dt c x c ϕ=++⎰⎰100()().xx t t dt c x c ϕ=-++⎰代回方程容易得到等价的Volterra 方程.()(,)()()xx K x t t dt f x ϕϕ=+⎰,其中12(,)[()()]K x t a x a x x t =-+-， 111202()()()()()f x F x c a x c xa x c a x =---.例1.3.2 20,1(0),(0)(0) 1.2y xy y y y '''-=⎧⎪⎨'''===⎪⎩解：记().y x ϕ'''=''0()1xy t dt ϕ⇒=+⎰,()()1,xy x t t dt x ϕ'=-++⎰22011()().222xx y x t t dt x ϕ=-+++⎰232()()()2.xx x x t t dt x x x ϕϕ⇒=-+++⎰常微分方程的边值问题可以转化成Fredholm 方程.例1.3.3 01(,),(0),(0).y f x y y y y y ''=⎧⎨'==⎩解：对方程两端从0x 到积分两次得到1200()(,())x y x c x c d f t y t dt μμ=++⎰⎰120()(,())xc x c x t f t y t dt =++-⎰其中12,c c 是任意常数，它们可由初始条件或其它条件确定，现在由初始条件，可得2011,c y c y ==。