-微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程的基本概念
第九章 微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引 言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。
-微分方程的基本概念
解 设曲线的y方 y程 (x)， 为则有
d y 2x. dx
(1) 微分方程
此外， y函 y(x)数 应满足条件
y(x) 2， x1
(2 ) 初始条件
将(1)式两边x关 积于 分，得
yy2 xd2 xx dx2 xC 2C
(3) 通解
将(2)代入 有(3)何，想得 法C？1, 故所求的曲线方程为
yxy2x12 1
特解
积分曲线（解的几何意义）
常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。
通解的图形是一族积分曲线。
特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。
y
yx2 1
yx2 C
• M0(1,2)
O
x
例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
高阶线性常系数微分方程解法
特征值法 变量代换法
第二节 一阶微分方程
dy dx
f
y x
齐次方程
变量代换
dyfa1xb1yc1 dx a2xb2yc2 可化为齐次方程的方程
变量代换
dyf(x)g(y) dx 变量可分离方程
变量分离
dyp(x)y0 dx 一阶线性齐方程
dyp(x)yq(x)yn dx
伯努利方程
变量代换
常数变易
dyp(x)yq(x) dx 一阶线性非齐方程
dy dx
f
y x
齐次方程
解
y 2Cxxe2
Cex2 y 1 2
y 2x(y1) 2
y2xy1 y2xy1
例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求该曲线所满足的微分方程 .
第一节 微分方程的基本概念
（用来确定任意常数的条件）： 4、初始条件 用来确定任意常数的条件）： 一阶微分方程的初始条件是 y x = x 0 = y 0 , 二阶微分方程的初始条件是
y
x = x0
= y0 , y ′
x = x0
′ = y0 ,
求微分方程满足初始条件的解的问题. 5、初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: 一阶
3、n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y′, …, y(n)) = 0， ′ ， 是自变量， 是未知函数。 其中 x 是自变量， y 是未知函数。 例如 mv′(t) = mg – m v ′′ ( t ) ′
二、微分方程的解
代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 1、微分方程的解： 微分方程的解：
有 将 y，y′ 及 y″ 代入原方程的左边， ， ′ ″ 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， ， 满足原方程， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 所以该函数是 所给二阶微分方程的解. 所给二阶微分方程的解
1 1 x y′ − y = e , 2 2
y =e ∫
− P( x)dx
C + Q( x)e∫ P( x)dxdx. ∫
则
1 1 x P ( x ) = − , Q( x ) = e , 2 2
1 x 则 − ∫ P ( x )dx = ∫ dx = , e − ∫ P ( x )dx 2 2 x x − 1 x 2 ∫ P ( x )dx Q( x )e dx = ∫ e e dx = e 2 , ∫ 2
微分方程基本概念
differential equation).
例如：
dy 1, dx y xy ( y ),
(1.1) (1.2) (1.3)
( x y)dx ( x y)dy 0,
dx dt f 1 (t , x, y ) , dy f 2 (t , x, y ) dt
注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及 其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响
5. 微分方程的解：
如果把已知函数
或函数矢量
及其导函数代
入相应的微分方程, 使得该微分方程在函数 的定义区间 I 上成为恒等式, 则称这种函数 为微分方程在区间 I 上的(显式)解. 这个区间 I 称为微分方程的解的定义区间.
I 上有恒等式 ( x) f ( x, ( x))
, 在它上面任一点
反之, 如果对于 D 中的任一条光滑曲线
处的切线斜率
刚好就是函数f (x, y) 在该点处的值
则此曲线就是方程的积分曲线.
2. 方向场
在 D 中每一点 ( x, y ) 处画上斜率为 f ( x, y) 的一个“小直线段”,
为该微分方程的阶数;
一般 阶常微分方程可写成如下隐方程形式
( n) F ( x, y, y ,, y ) 0
其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式
y ( n) f ( x, y, y ,, y ( n1) ).
即方程的左边是未知函数的最高阶导数 (n 阶导数), 而方程的右边 为自变量、未知函数和未知函数低于 n 阶的导数的已知函数.
初值条件是指当自变量在某一给定点时, 未知函数以及它的
微分方程的基本概念
微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y e x (1 x)e x (2 x)e x 代入原方程： 左边 (2 x)e x 2(1 x)e x xe x
微积分十①
19/31
例2 求通解： xdx ydy
解：两边积分得： xdx ydy
1 x2 1 y2 1 C
2
22
故原方程的通解为： x2 y2 C
结论1: 通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.
微积分十①
20/31
2.2、可分离变量的微分方程
⑴形式： dy f ( x)g( y) dx
y xe x ——特解
y Ce x ——既非通解，也非特解，是个解。 y 0 ——奇解（但不是特解，不研究）
微积分十①
11/31
3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
ln y ln C x
yC x
微积分十①
23/31
例4 求方程
解： dy dx
y
x(1
1 y2
xy(1
1
x12)满y足2 初始条件y(1)=2的特解.
x2) y
分离变量
y 1 y2
dy
1 x(1
1 x2 ) dx ( x
1
x x
2
)dx
积分得： 1 ln(1 y2 ) ln x 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
正规型
如： dy f ( x, y) F ( x, y) dx g( x, y)
下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及 解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、 线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。
微积分十①
18/31
2.1、已分离变量的微分方程
⑴形式： f (x)dx g( y)dy 或 f1(x)dx f2( y)dy 0
2
2
2
故通解为: (1 x2 )(1 y2 ) Cx2
将x=1,y=2代入通解 得：C=10 故所求特解为： (1 x2 )(1 y2 ) 10x2
微积分十①
24/31
例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,
且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).
y C1e x C2e x C2e x C2 xe x (C1 2C2 )e x C2 xe x 代入原方程： 左边 (C1 2C2 )e x C2 xe x 2(C1 C2 )e x 2C2 xe x
C1e x C2 xex 0 右边 ∴解的y线性C1组e x合也C2是xe解x 是均原何为方y区=解程0别，也？的有是解解. 。
故 f ( x) 2(e x 1)
注：⑴积分方程求导后化为微分方程; ⑵注意隐条件.
微积分十①
26/31
3.1、齐次方程的引入
⑴复习:证明函数⑴f(x,y)=50xy2;
⑵
f(x, y)
x x
y y
都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.
解：⑴∵f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)
即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分
离在等式两边（或已分离开来）. ⑵解法：直接积分。
例1、求通解：(2x 1)dx dy 0
解：两边积分 (2x 1)dx dy 0dx
x2 x y C1 故原方程的通解为： y x2 x C (C C1 )
微积分十①
微 Basic concept of differential equations
积
分
电 一、一阶微分方程的形式
子
教 二、可分离变量的微分方程
案
三、齐次方程
四、一阶线性微分方程
17/31
⑴一般形式: F(x, y, y ) =0
⑵正规型: y= f( x, y )
可化为
⑶微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0
由题意得：dy 2x，且x 1, y 2 dx
两边对x求积分：
dydx dx
2
xdx
即 y=x2+C
将x=1,y=2代入，得：2=1+C
即 C=1 故所求曲线为：y=x2+1
微积分十①
3/31
2.1、微分方程 定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
方
程代微数分方方程程------未未知知的的是是一一个个数函, 求数,x求y?,
故原方程的通解为
y x
微积分十①
22/31
说明: ⑴在解微分方程时,对形如
1 x
dx
1 y
dy
…
积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；
⑵若积分后出现对数,则可将任意常数写成
lnC 的形式,以利化简.
例3 解题过程可简化为：
先分离变量：1 dy 1 dx
y
x
再两边积分 ln y ln x lnC
M2(x)
N1( y)
微积分十①
21/31
例3 解微分方程 dy y
dx x
解:先分离变量， 1 dy 1 dx
y
x
再两边积分
1 y
dy
1 x
dx
ln y ln x C1 ln xy C1
xy eC1 C2
C
xy C2 C
C
y x
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
称为定解条件，也称为初始条件
一般地，n阶微分方程就有n个定解条件
微积分十①
12/31
求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解
中任意常数的值，可得特解。
如引例 dy 2x dx
求解得： y x2 C,
微分方程 微分方程的通解
由 x 1时, y 2 求得C 1,
t0
dt t0
解
dx dt 2C1 sin 2t 2C2 cos 2t,
d2x dt2 4C1 cos 2t 4C2 sin 2t,
将
d2 dt
x
2
和x的
表达式
代
入原方
程,
微积分十①
15/31
4(C1 cos2t C2 sin2t) 4(C1 cos2t C2 sin2t) 0.
定解条件
所求曲线方程为 y x2 1 .
微分方程 的特解
微积分十①
13/31
3.3、微分方程解的几何意义
解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
0 右边
∴ y xe x 是原方程的解.
微积分十①
9/31
例1 验证下列函数都是微分方程 y －2y+y=0 的解.
(1) y Ce x; (2) y xe x; (3) y C1e x C2 xe x . 解: (3) y C1e x C2 xe x ,
y C1e x C2e x C2 xe x (C1 C2 )e x C2 xe x
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
微积分十①
14/31
例3 验证:函数 x C1 cos 2t C2 sin2t 是微分
方程
d2x dt 2
4x
0
的解.
并求满足初始条件
x 2, dx 0 的特解.
一阶微分方程
y 3 y y sin x 二阶微分方程 n阶微分方程的一般形式为：
F(x，y，y，y，…，y(n))=0
微积分十①
6/31
2.3、微分方程的分类 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
y? ?( x)
微积分十①
4/31
2.1、微分方程
定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
如：( x2 y2 )dx y dy 0 x
y 3xy 5 dy x y dx x y
未知函数是一元 函数的微分方程 常微分方程
y 3 y y sin x
或 M1( x)N1( y)dx M2( x)N2( y)dy 0
⑵解法：先分离变量，再两边积分即可。
1 dy f ( x)dx g( y)
1 g( y)
dy
f
( x)dx
M1( x) dx N2( y) dy 0
M2(x)
N1( y)
M1( x) dx N2( y) dy 0dx
故 x C1 cos 2t C2 sin2t 是原方程的解.