微分方程的基本概念 一阶微分方程(一)

y xx0 y0
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x x0
y0 ,
y x x0
y0
7
例3
验证函数
y C sin 2x
是微分方程
d2 y d x2
4
y
0的解，
但不是通解,也不是特解(C为任意常数) .
证
将
y
C sin 2x,
d d
y x
2C cos 2x,
d2 y d x2
4C sin 2x，
小结
基本概念：微分方程； 微分方程的阶；微分方程的解；
通解; 初始条件；特解；初值问题；积分曲线．
1.可分离变量的方程 g( y)d y f (x)d x
解法:(分离变量法) (1)分离变量; (2)两端积分-------隐式通解.
d
2.齐次型微分方程的解法：
y
(
y ).
dx x
令u y x
即 y xu, 则 d y u x d u ,代入原方程求解.
dx
解 这是可分离变量方程，分离变量得：
d y (sin x cos x)d x 1 y2
两端积分
dy 1 y2
(sin x cos x)d x
得 arcsin y (cos x sin x) C
即为微分方程的通解.
隐式通解
12
例3
解方程 d y
1 y2 .
d x 1 x2
解 分离变量 d y d x , 1 y2 1 x2
2 x 是一阶微分方程.
d2 s dt2
0.4是二阶微分方程.
y(4) xy 12 y 5 y sin 2x是四阶微分方程.
x2 y xy 4 y 3x4是三阶微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
u1
u
x
u ln u ln x lnC, 即 u lnCux
微分方程的解为
y
y
ln Cy,即 Cy e x .
x
17
例2 求解微分方程 ( x y cos y )d x x cos y d y 0.
x
x
解
原方程可变为：y cos
y x
1
y x
cos
y x
令 u y ，则 y ux, y xu u，
dx
dx
22
y Cx 2是原方程的通解.
y 2, C 2. 则所求特解为 y 2 x 2 . x1 9
6-2.1可分离变量的微分方程
1.定义：如果一个一阶微分方程能化为 g( y)d y f (x)d x
则原方程称为可分离变量的微分方程.
如
d
y
2x2
4
y5
dx
4
y5
d
y
2x2
d
x,
把原方程转化为 g( y)d y f (x)d x 的过程叫分离变量.
也不是特解.
8
例4
验证
y
Cx
2 (C为任意常数) 为方程
y
2y x
的通解.
并求满足初始条件 y 2的特解.
x1
解 由 y Cx2 得 y 2Cx，
将 y、y的表达式代入原方程
右边= 2 y 2Cx 2 2Cx y =左边. xx
故 y Cx 2是原方程的解. 又因为它含有任意常数C,
6-1微分方程的基本概念 一、微分方程的实际模型
例1 一曲线通过点(1, 4)，且在该曲线上任一点M(x, y) 处的
切线的斜率等于该点的横坐标的为2倍, 求该曲线方程.
解 设所求曲线为 y y(x)，
d y 2x， dx
其中x=1时，
y=4.
y 2x d x 即 y x2 C,
因为x=1时，y=4. 求得 C 3,
y
两端积分
dy y
2xd x,
ln y x2 C1
y ye Cx2 eCx12为所e求x2的 e通C解1 .
注意：1.y=0也是原方程的解，叫“奇 以后不要求找.
2. ln y应为 ln y，但结果解的”形.式不变.
3. C1也可以写成 ln C（C是任意常数）.
11
例2 解微分方程 d y (sinx cos x) 1 y2 .
代入原微分方程的左端得
d2 y
d x2 4 y 4C sin2x 4(C sin 2x) 0.
所以 y C sin 2x 是原方程的解。
但由于所给方程是二阶方程，则由通解的定义知它的通解
中应有两个任意常数，所以它不是所给方程的通解。
又由特解定义知，特解中不含任意常数，所以 y C sin 2x
dx cos x
,
得 ln y ln(sec x tan x) lnC,
则得通解为 y C(sec x tan x),
1
又
Q
y x0
, 2
得C 1 , 2
故所求特解为 y 1 (sec x tan x). 2
15
6-2.2 齐次型微分方程
1.齐次型微分方程：如果一个一阶微分方程能化为
解
dx
令x
y
u,d y
du 1
代入原方程
dx dx
du dx
1 u2
2u，
du (u 1)2
dx
解得 1 x C,（C为任意常数）
代回
u
u1
x
y，得
x
1 y
1
x
C,
原方程的通解为 ( x y 1)( x C) 1.
19
例4 求微分方程 xy y x2 y2 0 满足条件 y x1 1的特解.
数与微分方程的阶数相同，则该解叫通解.
例 d y 2x 的通解为 y x2 C, dx
d2 s dt2
0.4 的通解为
s
0.2t 2
C1t
C2.
5
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
例 d y 2x 的特解为y x2 3,
dx
d2 s dt2
0.4的特解为
s
0.2t
2
20t ,
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
通解的图象: 积分曲线族.
这就是微分方程的解的几何意义.
6
4.初始条件: 用来确定任意常数的条件.
5.初如值例问12题中:的求x当=微t1=分时0时方，，程ys=满=20.足，v初始dd st条件20的. 解的问题.
一阶:
y f (x, y)
过定点的积分曲线;
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
4
3.微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x)在区间I上有n阶导数，若 F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0.则y (x) 是它的解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有的独立的任意常数的个
2.求可分离变量微分方程的解的步骤：
(1) 分离变量；将原方程化为 g( y)d y f (x)d x
(2) 对两端积分； g( y)d y f (x)d x
(3) 求积分；G( y) F(x) C 即为微分方程的隐式解.
10
例1 求微分方程 d y 2xy 的通解. dx
解 分离变量 d y 2x d x,
则所求曲线方程为 y x2 3 .
1
例2 列车在平直的轨道上以20米/秒的速度行驶， 当制动时列车获得的加速度为a = -0.4米/秒，2 求制动后
列车的运动规律.
解
设制动后t秒钟行驶s米，s
s(t)，d2 s dt2
0.4
当t=0时，s=0，v
ds dt
20
,而v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2 代入条件后知 C1 20, C2 0，
解 原方程变形为 y y 1 ( y )2 ,这是齐次型微分方程.
令u
y ，则
x
y ux,
x
y xu u，
x 则方程变为 u x du u
1 u2 , 即 x du
1 u2 ,
dx
dx
分离变量得 du dx , 两边积分得 arcsin u= ln x+C,
将u
y
1 u2 x
故 s 0.2t 2 20t,
于是制动后列车的运动规律为
s 0.2t 2 20t. 2
二、微分方程的定义
1.微分方程定义：
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y 2 y 3 y e x , (t2 x)d t x d x 0,
y xy,
d y 2x, dx
d2 dt
s
2
0.4，均为微分方程.
3 y3 sin x tan y 4x 0 不是微分方程.
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数
(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
3
2.微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的导数
的最高阶的阶数称为微分方程的阶.
如：d d
y x
分离变量得
u u
1
d
u
d
x,
积分得 u ln(u 1) x C.
将 u x y代入上面式子得：y ln(x y 1) C,
或 x C1e y y 1, (C1 eC )
注意：形如 y f (ax by)(b 0)的方程可用 u ax by
代换，将其化为可分离变量的方程. 21
两边积分 d y d x ,
1 y2 1 x2
求积分得 arcsin y arcsin x C.
即为通解.
13
例4
求方程
2x sin
yd
x
(x2
3) cos
yd
y
0
满足
y
x 1
π 6
的特解.
解 原方程变形为
x
2x 2
3
d
x
cos sin
y y
d
y
0,
积分得
2x
cos y
x2 3 d x sin y d y 0d x,
回代得原方程的通解为
arcsin
x
y = ln x+C, x
由
y
x1
1得
CFra Baidu bibliotek
π 2
. 则特解为
arcsin
y x
= ln
x+
2
.
20
例5 解
求解微分方程 d y 1 dx xy
令 x y u, 则y u
. x,
d
y
d
u
1，于是
du 1 1, dx u
dx dx 即du 1 1 u1.
dx u u
x
(u xu)cos u 1 ucos u
即 xucos u 1, x d u cos u 1 , cos ud u d x ,
dx
x
sinu ln x C, 微分方程的解为 sin y ln x C.
x 18
利用其它变量代换求微分方程的解
例3 求 d y (x y)2 2(x y) 的通解.
. x
16
例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
解 原方程可变为：( y )2 d y y d y
x dx x dx
令u y，则 y ux, y xu u，
x
u2 (u xu) u(u xu)
即 xu u , (1 1 )d u d x ,
于是
ln( x2 3) ln(sin y) lnC,
则得通解为 ( x2 3)sin y C,
又
y
x 1
6
,
得 C 2,
故所求特解为 ( x2 3)sin y 2.
14
例5 求方程
ycos y
y
满足 y x0
1 2
的特解.
解 原方程变形为 d y d x ,
y cos x
积分
dy y
d y ( y ) 的方程，则称它为齐次型微分方程.
dx x
d
2.齐次型微分方程的解法：
y
(
y
).
dx x
(1)令 u y x
(或
v
x y
)
即
y
xu,
则
d d
y x
u
x
d d
u x
,
(2)代入原方程得：u x d u (u), 即 d u (u) u .
dx
dx x
y
(3)求此可分离变量方程的解，并回代 u