常微分方程 基本概念
常微分方程基本概念
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 高阶(n)微分方程的一般形式：
F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
线性与非线性微分方程： 若方程中未知函数及其导数都是一次的，
y
x
x0
y0
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
解的图象: 微分方程的特解的几何图形是一条 平面曲线，通常称为积分曲线，而通解表示一 族曲线，称为积分曲线族。
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
未知函数是一元的，称为常微分方程， 未知函数是多元的，称为偏微分方程，
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的
最高阶数称为微分方程的阶数；
y xy,
一阶
y 2 y 3 y e x , 二阶 y(n) y 2 y e x 0, n阶
一阶微分方程的一般形式：
(2)特解: 依所给条件确定通解中任意常数
以后的解称为方程的特解.
见例一
定解条件: 用来确定通解中任意常数的条件.
常见的定解条件为初值条件
如一阶 如二阶
x x0时, y y0 x x0时, y |x x0 y0 , y |x x0 y( x0 )
一阶:
y f (x, y)
方程d 2 dt
x
2
k
2
x
0的解.
并求满足初始条件
常微分方程的基本概念
齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程初步
常微分方程初步常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是单变量函数的导数与自变量的关系。
在实际生活和科学研究中，很多问题都可以用常微分方程来描述和解决。
本文将介绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶常微分方程的求解方法。
一、基本概念1.1 导数导数是函数在某个点处的变化率，它表示的是函数曲线在这个点的斜率。
如果在某点处的导数存在，则该点为函数的可导点。
设函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(△x→0) (f(x0+△x) - f(x0))/△x如果导数存在，则称函数在该点可导；反之，则称函数在该点不可导。
1.2 常微分方程常微分方程是一个未知函数在其自变量上的导数的关系式，其中该未知函数是自变量的函数。
通俗地讲，就是描述未知函数在自变量上的变化的一种数学方程。
常微分方程通常用y表示未知函数，x表示自变量。
一般形式为：F(x, y, y', y'', …, yⁿ）= 0其中，y'、y''、…、yⁿ分别表示y对于x的一阶、二阶、…、n 阶导数。
1.3 初值问题初值问题是求解常微分方程的一种方法，其本质是通过确定函数在某一个特定点的值，从而确定未知常数的值。
一个初值问题包括一阶常微分方程和一个初始点，形式为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，f(x, y)为已知函数，通常称为方程的右端，y0和x0分别是给定的初值。
二、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x, y)这是一个仅含未知函数y及其一阶导数y'的方程。
2.1 可分离变量方程如果该一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中，g(x)和h(y)都是已知函数，那么称其为可分离变量方程。
对上式两边同时积分，得到：∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx + C0其中C0为常数。
常微分方程的基本概念及其求解方法
常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。
在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。
本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。
通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。
例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。
1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。
1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。
初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。
例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。
二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。
它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。
例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。
通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。
2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。
变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。
例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。
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y
又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得
C
3.
2
所以，求此曲线的方程为 x 3 1 .
2y
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11
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元 函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的 一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
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.
7
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得
y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2y2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为
未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
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3
(4) y1 1y2; a
(5) dd2tq2 glsin q0 (g,l为 常 ).数
x
又因为该函数含有一个任意常数，所以 y = Cx2 是一
阶微分方程 y 2y 的通解.
x
将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，得 C = 2，故所
求特解为 y = 2x2 .
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.
8
例 3 设一个物体从 A 点出发作直线运动， 在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍. 求物体 运动规律 (或称运动方程)
y|x x 0 y 0 ,即 y (x 0 ) y 0 . 二阶微分方程的初始条件是
y|x x 0 y 0及 y |x x 0 y 0 ,即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0， 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
2020/6/15
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.
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
解 首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点， 物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)， 并设物体
在时刻 t 到达 M 点，其坐标为 s(t). 显然，s(t) 是时 间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待 求的未知函数，s(t) 的导数 s(t) 就是物体运动的速度
v(t). 由题意，知
v(t) = 2t ， ①
以及
A
M
S
s(0) = 0.
②
O
s(t)
202) = s(t)，因此，求物体的运动方程已化 成了求解初值问题
s(t ) 2t,
s
|t
0
0,
积分后，得通解 s(t) = t2 + C . 再将初始条件 ② 代入通解中，得 C = 0，故初值问题的解为 s(t) = t2， 也是本题所求的物体的运动方程.
需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，
因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物
体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过 程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到
这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结
果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其
运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分
方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
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2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
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例 4 已知直角坐标系中的一条曲线通过点
(1, 2)，且在该曲线上任一点 P(x, y) 处的切线斜率
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，根据导数的
几何意义及本题所给出的条件， 得
y = y2，
即
dx dy
1 y2
,
积分得
x 1 C.
.
6
例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意 常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的 通解；如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.
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5
用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称 为初始条件. 通常一阶微分方程的初始条件是
第六章 微 分 方 程
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
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1
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹 (Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学 史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又
与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生 的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).