上海市闵行区2020届高三二模数学试卷

上海市闵行区2020届高三二模数学试卷
2020.5
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设集合{}1,3,5,7A =，47{|}B x x =≤≤，则A B ⋂=__________． 2．已知复数z 满足1i i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Imz =__________．
3．若直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为__________． 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =__________． 5．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为__________． 6．在8
31()x x
-
的二项展开式中，常数项的值为__________． 7．若x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，则3x y +的最大值为__________．
8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示）
9．已知直线1:l y x =，斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，…，这样依次得线段01B A 、11A B 、21B A 、22A B 、…、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则
lim n n x →∞
=__________．
10．已知()2f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有
12
120()()
x x f x f x -<-，则
不等式(
)1
3
1(12)x f f +-+<的解集为__________．
11．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅u u u r u u u r
的取值范围为__________．
12．已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零
点，则实数k 的所有取值之和为__________． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300
个村编上1到300的号码，求得间隔数300
2015
k =
=，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）
A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
15．已知抛物线的方程为2
4y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若
1EM MF λ=u u u u r u u u u r ，2EN NF λ=u u u r u u u r
，则12λλ+==（ ）
A ．2-
B ．12
-
C ．1
D ．1-
16．关于x 的实系数方程2
450x x -+=和2
20x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对
应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．{}5
B ．{}1-
C ．()0,1
D ．(){}0,11-U
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，123AA =，M 是侧棱1
C C 上一点，设MC h =．
（1）若3h =
111ABM A B C -的体积；
（2）若异面直线BM 与11AC 所成的角为60︒，求h 的值．
18．已知函2
()3cos 3sin cos (0)f x x x x
ωωωω=+>．
（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;
（2）当1ω=时，设ABC V 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32
A f =，且27a =，
6b =，求ABC V 的面积．
19．如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备
仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米()0100x <<，A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为()0.5100x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．
（1）求函数()f x 的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为*
()n n ∈N ，()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实
际意义．
20．在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆2
2:12
x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．
（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值;
（2）若3b =，且32
PD PC =u u u r u u u r
，求点Q 的横坐标；
（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为
1
3
？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知数列{}n x ，若对任意*
n ∈N ，都有
2
12
n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”． （1）试判断数列2
*
()n a n n =∈N 是否为“差增数列”，并说明理由；
（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*
n a ∈N ，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k
的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；
（3）若数列{}lg n x 为“差增数列”，*
2),00(2n n ≤∈N ，且122020lg lg lg 0x x x +++=L ，证
明:10101011 1x x <．
参考答案
一、填空题 1．{}5,7
2．1-
3．
4
π
4．6
5．50π 6．28
7．5 8．128
9．
1a q
-
10．(1,)+∞
11．1
,24⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
12．1（12-2之和）
二、选择题 13．B
14．C 15．D 16．D
三、解答题
17．（1（2）2
18．（1）3())32f x x πω=++，1
2
ω=；
（2）3
A π
=
，2c =或4，面积为
19．（1）当050x <≤，100000
()f x x
=
； 当50100x <<，100000
()100f x x
=-；
（2）50n + 20．（1）
2
π
（2）:1AD y x =-+，:21BC y x =-，2
3
Q x =； （3）)(0,3P 21．（1）是；
（2）*
,17{2|}190m m m ∈≤≤N ； （3）略．。