§7.1 微分方程的基本概念

初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f (x, y)
一阶:
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
是过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3 验证:函数xc1cosktc2sinkt是微分 方程dd2t2xk2x0的解. 并求满足初始条件
故 xC 1co k stC 2sikn 是 t 原方 . 程
x A, dx 0,
t0
dtt0
C 1 A , C 2 0 .
所求特解为 xA ck o.ts
补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
例 4 、 已 知 函 数 yaxe b x ex 1 , 其 中 a,b 为 任 意 常 数 , 试 求 函 数 所 满 足 的 微 分 方 程 .
d d 2 2 tg ls i n 0 , 其 (解 t) A s为 ig ln t ( )
是一简谐运动。
由于摆动周期与重力加速度有关，则在技术上可通过 测量地球的不同地点的单摆周期，来计算该点处的重力加 速度，从而推测地球表面的形状。
跳伞问题是微分方程中的常见例子。运动员在跳塔上以
初速度v0=0下落，所受空气阻力与速度v成正比。设重力 加速度为常数，则由牛顿第二定律：
第十二章 常微分方程
本章仅研究一元函数的常微分方程. 一般形式为:
F(x,y,y,…...,y(k) )=0
单摆运动是数学、力学常引用的动力学系统的典型例子。 伽利略早已注意到一个单摆完成一个往复运动所需时间是常数 （当摆幅很小时）。他认为这一点对设计新型时钟很有用。 惠更斯（1629-1675）的研究给出了无阻尼自由单摆运动的 微分方程：
解 y ： ax eb x e 1
yax eb ex yyx1
例1、xy 2y x2y 0是______阶微分方程；
2、Ldd2tQ 2
RdQQ0是______阶微分方程； dt c
3、(d)3 sin2是______阶微分方程； d
分类1:
一阶微分方程 F (x ,y,y)0 , yf(x,y);
高阶(n)微分方程 F (x ,y ,y , ,y (n )) 0 , y (n ) f(x ,y ,y , ,y (n 1 )).
s 0 .2 t2 C 1 t C 2 通解
பைடு நூலகம்
代入初始条件知:
C 1 2,0 C 2 0
则vds0.4t2,0 dt
故 s0.2t22t0 , 特解
开始制动到列车完全停住共需 t 2050(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了 s 0 .2 5 2 0 2 5 0 0 5( 米 0 )0 .
二、微分方程的定义
x t0
A,
dx dtt0
0的特解.
解 d d x tk1C sikn tk2 C co k,st
d d22 xtk2C 1co k stk2C 2sikn ,t 将dd2t2x和x的表达式代入,原方程
k 2 ( C 1 c k C o 2 s t k ) s i k 2 ( C n t 1 c k C o 2 s t k ) s i 0 .
§12.1 微分方程的基本概念
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 y为 (x)
dy 2 x dx
其x 中 1 时 ,y2
y 2xdx 即yx2C, 求C 得 1,
所求曲线方y程x2为 1.
例 2 列 车 在 平 直 的 线 路 上 以 2 0米 / 秒 的 速 度 行 驶 , 当 制 动 时 列
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 yxy, y2y3yex,
(t2x)d txd 0 x ,
z x y, x
常微分方程
偏常微分方程.
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数. 本章仅研究一元函数的常微分方程.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例yy,
通解 ycex;
yy0, 通 y c 1 解 sx i n c 2 cx o ; s
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线.
通解的图象: 积分曲线族.
车 获 得 加 速 度 0 .4米 / 秒 2, 问 开 始 制 动 后 多 少 时 间 列 车 才 能 停
住 ？ 以 及 列 车 在 这 段 时 间 内 行 驶 了 多 少 路 程 ？
初解t始 条设 0 件时 ,s 制 0 t,秒 v动 d d st钟 2s后 米 ,0,行 sv s(tdd)驶 stddt22s0.4t0.4C1
分类2: 线性与非线性微分方程.
y P (x )y Q (x ), x (y )2 2 y y x 0 ;
分类3: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3 y 2z,
dz
2 y z,
dx
三、中心问题----求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设 y (x )在I 区 上 n 阶 间 有,导数 F ( x , ( x ) ( ,x ) , ( n ) ( x ) ) 0 .
m d v m k g ,其 v v (t) 解 m (1 g e m kt)
dt
k
设 s(0 ) 0 ,则 s(t) m kt g (v 0 m k)e g m kt
（*）
（*）是给出了当 s=常数 时，下降到达时间与v0的关系。 若提出到地面的时间，则可以从（*）求出相应的初速度v0。