微分方程的基本概念

2x dy y 2 dy 1 dx
dx
yx
y
S1 S2
o
y f (x)
P(x, y)
x
积分得: y2 Cx,
因为曲线 y f ( x)过点(2,3) C 9
y2 9 x, 2
2
因为 f ( x)为单调函数
所以所求曲线为:
y 3 2x. 2
25
思考题
或 y Ce x x 1
注意：形如 y f (ax by)(b 0) 的方程可用u ax by
代换，将其化为可分离变量的方程.
20
例4 已知曲线积分L F (x, y) [ y sin xdx cos x dy]
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0

2x
y x1 2
引例2
y x2 C
y x2 1
d2y dx2

0.4
s t0 0 ,
ds dt
t 0
20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
8
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数) 的解, 并求满足初始条件
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
22
3.齐次方程 形如 dy ( y )的微分方程
dx x 解法：作变量代换 u y , 即 y xu.
x
若 d x ( x ) 令u x .
dy y
y
23
备用题 设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
即
(ex C)ey 1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y,
故有
u 1 eu

du 1 eu

dx
两边积分
(1 eu ) eu
1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
分类 常微分方程：所含未知函数是一元函数. 偏微分方程
注：本章只讨论常微分方程 2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的阶.
如：d y 2x dx
5
三、微分方程的主要问题-----求方程的解
1.微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0.
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
4
二、微分方程的基本概念
1.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子 . 区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含 未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式 .
y 1 , cos x
即y sec x
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法:
例如 dy 2x2dx dy 2x2 y
y
dx
两边积分, 得
ln y 2 x3 C

y

eC

e
2 x3 3
3
10
(2)解法：1.分离变量: g( y)dy f ( x)dx
2.两边积分 g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程
的阶数相同. 特解 — 通解中的任意常数被确定后的解.
引例1
dy dx

2x
y x1 2
引例2
d2y dx2

0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
通解: y x2 C
特解: y x2 1
s 0.2t 2 C1t C2
15
2.齐次微分方程
(1)定义：形如 d y ( y )的方程叫做齐次方程 .
如：y2
x2 d y dx
dx
xy d y dx
x
dd dd
yy xx

( xyy)22 xyy1x
2
d x x ( x )2 dy y y
x
(2)解法: -----变量代换法
(1)令 u y x
若连续函数f ( x)满足，f ( x) 2x f ( t )dt ln 2求f ( x).
02
分析：这类方程叫积分方程，其解法是化为微分方程.
解: 如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).
则点 P(x, y) 处的法线方程为
y
Y y (X x)
P
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Qo xx
x y y x , 即 y y 2 x 0
14
练习:
解法 1 分离变量
两边积分得 e y ex C
利用初始条件易得:
x C1k sin kt C2k cos kt
故所求特解为 x Acos k t
问：x C cos kt是方程的解吗？是什么解？(C为常数)
9
第二节 一阶微分方程
1.可分离变量的微分方程
(1)定义：形如 d y f ( x)g( y)的方程叫可分离变量的方程. dx
17
例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
另解 原方程可变为：d x x ( x )2 dy y y
令u x ，则 x uy, y
dx y du u， dy dy
y du u u u2 即 y du u2
dy
dy


1 u2
第十章 微分方程
1
第十章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
2
一、引例
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
s 0.2t 2 20t
6
2.定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
y0
,
y( x0 )
y0 , L
,
y(n1) ( x0 )
y (n1) 0
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
函数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
这种解法叫分离变量法
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
11
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即 y xu, 则 d y u x du , dx dx
(2)代入原方程得：u x d u (u), 即 d u (u) u .
dx
dx x
(3)求此可分离变量方程的解，并回代 u y . x
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例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y .
解
x
dx t0 A , d t
0 的特解 . t0
解: [C1k sin kt C2k cos kt ]t k2( C1 sin kt C2 cos kt )
这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1 .
3
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
由已知得
s t0 0 ,
解: 分离变量得
dy
x
y 1 x2 dx
两边积分得 ln y ln 1 lnC x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x2 1 1
13
例3. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .

y
x
x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)

y
x
x0

y0 ,
yx x0

y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
7
3.解的几何意义 解: 积分曲线. 特解: 微分方程的一条积分曲线. 通解: 积分曲线族.
引例1
通解: 特解:
dy dx
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任
取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与 x 轴和曲线 y f ( x) 围成的面积是另一条平
行线与y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两
倍，求曲线方程.
备用题解答：如图 S2 2S1
x
Q S2 0 f ( x)dx x
S1 xy S2 xy 0 f ( x)dx
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例3 求解微分方程 d y x y.
解
令 x y u,
dx 则y

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x,
d
y

d
u

1，于是
d u 1 u, dx
即
dx du u1 dx
dx
分离变量得
1 du u1
d
x
积分得 ln(u 1) x ln C.
将 u x y 代入上面式子得：ln(x y 1) x lnC


dx x
即 1 1 du dx
u1 u
x
积分得 ln(u 1) ln u ln x lnC
即 x(u1) C
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
即
令C eC1
ln y x3 lnC
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
12
注意: 1. y 0也是原方程的解,叫“奇解”.以后不要求找. 2.ln y 写为 ln y, 但结果的形式不变. 3.C1也可以写成ln C (C为任意常数).
例2. 解初值问题 x ydx ( x2 1) d y 0 y(0) 1
y
S1 S2
o
y f (x)
P(x, y)
x
x
x
x
0 f ( x)dx 2[xy 0 f ( x)dx] 30 f ( x)dx 2xy,
24
x
30 f ( x)dx 2xy,
两边同时对 x求导
3 f ( x) 2 y 2xy 2xy y
d
u

dy y
1 ln y ln C u
即 1 ln Cy u
微分方程的解为
y

ln Cy 即 Cy

y
ex.
x
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例2. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y 2 ,
dx x x
令 u y 则有 u x u 2 u u2
x
分离变量
du u2 u
原方程可变为：d
y

(
y )2 x
d
x
dx
dx y 1
令u y，则
x
y ux,
y
xu u，
x
xu u
u2
即 xu u
u1
u1
(1 1 )d u d x u ln u ln x lnC
u
x
即 u lnCux
y
ln Cy
xy
故微分方程的解为 Cy e x .
确定的隐函数 y f (x).
解: 因积分与路径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1