微分方程的基本概念
微分方程
du u( u − 2)( u − 1) x = dx −1 + u − u 2
1 1 3 1 dx 1 ⇒ − ⋅ − ⋅ du = x u−1 2 u 2 u− 2 3 1 ⇒ ln u − 1 − ln u − 2 − ln u = ln x + ln C 2 2
2
故方程的特解为：
例3 若函数 y=y(x) 连续，且满足
x ∫ y ( t )dt =
x 0
( x + 1) ∫0 ty ( t )dt ,
5/88
求函数 y(x).
x ∫ y ( t )dt =
x 0
( x + 1) ∫0 ty ( t )dt ,
x
解 两端对x求导可得
+ xy ∫ ty ( t )dt + ( x + 1) xy ∫ y ( t )dt=
C y = 3 e , ( C为任意常数 ) . x
−
1 x
6/88
例4 求方程 f ( xy ) ydx + g ( xy ) xdy = 0 通解 .
解
令u = xy ,
则= du xdy + ydx ,
du − ydx 与定积分换 f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, 元的区别？ x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x dx g ( u) + du = 0, x u[ f ( u) − g ( u)] g ( u) 通解为 ln | x | + ∫ du = C . u[ f ( u) − g ( u)]
x x 0 0
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
微分方程的概念,可分离变量,齐次
5 3
,
所求曲线方程为y 1 x3 5 . 33
例 2 一物体以初速 v 0 垂直上抛，设此物体只受重 力的影响．试求该物体运动的速度和时间 t 的关系．
解 设所求函数为v v(t) , 则 dv g dt
v gt C
代入条件后知 C v0
故 v gt v0 ,
二、微分方程的基本概念
例 dy 2x 的特解为 y x 2 1,
dx
d 2s dt 2
0.4
的特解为s 0.2t 2 20t,
特解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
这就是微分方程的几何意义.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
两端积分
dy
1 y2 (sin x cos x)dx
得：arcsin y (cos x sin x) C
这就是所给方程的通解.
隐式通解
例3
解 微 分 方 程y
y .
x
解 这是可分离变量方程，分离变量得： dy 1 dx
两端积分
dy y
所给方程
1 x
dx
ln y
的通解为: y
C
F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0. 微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 dy 2x
dx
d 2s dt 2
0.4
的通解为 y x2 C,
的通解为s 0.2t 2 C1t C2
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
注意:
微分方程
例2 设某次实验的测量数据如表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
1
2.3 2.1 2
4.6 4.7 4.3 8.1
9.2
9.8
10.3
请给出实验数据的曲线拟合
0.267x3 1.55x2 2.583x 1 0 x3 3 y 0.3333x 5.25x2 27.0167x 40.8 3 x6 4 3 2 - 0.075x 2 . 6167x 34 . 175x 198.6333x- 425.2 6 x 10
F ( x , ( x ), ( x ), ( n ) ( x )) 0
那么，函数 ( x ) 就叫做微分方程在区间 I 上的解 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
引例1
dy dx
2x
x 1
d2y
y2引例2来自dx2 0.4
四、MATLAB介绍 1、 求解方程 2、曲线拟合
例1 设某次实验的测量数据如表 x 1 2 3 4 4 6 7 8 9 y 0 0.33 0.50 0.62 0.75 0.8 0.82 0.93 1.00 问题
（1）绘制测量数据的散点 图，并观察散点的走向， 预测一下应用什么样的数 学模型描述之；
y2 sin x 且 tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
故方程的通解为
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解
微分方程基本概念
differential equation).
例如：
dy 1, dx y xy ( y ),
(1.1) (1.2) (1.3)
( x y)dx ( x y)dy 0,
dx dt f 1 (t , x, y ) , dy f 2 (t , x, y ) dt
注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及 其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响
5. 微分方程的解：
如果把已知函数
或函数矢量
及其导函数代
入相应的微分方程, 使得该微分方程在函数 的定义区间 I 上成为恒等式, 则称这种函数 为微分方程在区间 I 上的(显式)解. 这个区间 I 称为微分方程的解的定义区间.
I 上有恒等式 ( x) f ( x, ( x))
, 在它上面任一点
反之, 如果对于 D 中的任一条光滑曲线
处的切线斜率
刚好就是函数f (x, y) 在该点处的值
则此曲线就是方程的积分曲线.
2. 方向场
在 D 中每一点 ( x, y ) 处画上斜率为 f ( x, y) 的一个“小直线段”,
为该微分方程的阶数;
一般 阶常微分方程可写成如下隐方程形式
( n) F ( x, y, y ,, y ) 0
其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式
y ( n) f ( x, y, y ,, y ( n1) ).
即方程的左边是未知函数的最高阶导数 (n 阶导数), 而方程的右边 为自变量、未知函数和未知函数低于 n 阶的导数的已知函数.
初值条件是指当自变量在某一给定点时, 未知函数以及它的
微分方程基本概念
微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。
一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。
二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。
常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。
根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。
将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。
通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。
4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中重要的一部分，它描述了一个或多个变量之间的关系以及变量的变化率。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有导数或微分的数学方程。
它包含未知函数及其导数，通常用“y”表示未知函数，如y(x)。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
1. 常微分方程常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
（1）一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，f(x, y) 表示未知函数 y 关于自变量 x 和 y 自身的函数关系。
（2）高阶常微分方程高阶常微分方程涉及到多个导数。
例如：d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = g(x)其中，d²y/dx²表示 y 的二阶导数，p(x)、q(x)、g(x) 是与自变量 x 有关的一阶函数。
2. 偏微分方程偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程，它包含未知函数及其偏导数。
例如，二维空间中的波动方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = c²∂²u/∂t²其中，u(x, y, t) 表示未知函数，c 是常量，x、y、t 分别表示空间坐标和时间。
二、微分方程的解法微分方程的解法主要包括解析解和数值解。
解析解是通过对微分方程进行变量分离、变量替换、积分等数学处理得到的解，而数值解则是借助计算机等工具使用数值方法进行近似计算得到的解。
1. 解析解对于一阶常微分方程，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、常数变易法等。
通过适当的变量变换和数学操作，可以将微分方程转化为可直接求解的形式，得到解析解。
对于高阶常微分方程和偏微分方程，解法更加复杂。
常用的解法包括变量分离法、齐次方程法、常数变易法、特征方程法、叠加原理法等。
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解: 如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).
则点 P(x, y) 处的法线方程为
y
Y y (X x)
P
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Qo xx
x y y x , 即 y y 2 x 0
14
练习:
解法 1 分离变量
两边积分得 e y ex C
或 y Ce x x 1
注意：形如 y f (ax by)(b 0) 的方程可用u ax by
代换，将其化为可分离变量的方程.
20
例4 已知曲线积分L F (x, y) [ y sin xdx cos x dy]
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解.
22
3.齐次方程 形如 dy ( y )的微分方程
dx x 解法：作变量代换 u y , 即 y xu.
x
若 d x ( x ) 令u x .
dy y
y
23
备用题 设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任
取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与 x 轴和曲线 y f ( x) 围成的面积是另一条平
行线与y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两
倍，求曲线方程.
备用题解答：如图 S2 2S1
x
Q S2 0 f ( x)dx x
S1 xy S2 xy 0 f ( x)dx
s 0.2t 2 20t
6
2.定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
y0
,
y( x0 )
y0 , L
,
y(n1) ( x0 )
y (n1) 0
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
第十章 微分方程
1
第十章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
2
一、引例
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,yx x0 Nhomakorabeay0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
7
3.解的几何意义 解: 积分曲线. 特解: 微分方程的一条积分曲线. 通解: 积分曲线族.
引例1
通解: 特解:
dy dx
确定的隐函数 y f (x).
解: 因积分与路径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
4
二、微分方程的基本概念
1.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子 . 区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含 未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式 .
15
2.齐次微分方程
(1)定义：形如 d y ( y )的方程叫做齐次方程 .
如：y2
x2 d y dx
dx
xy d y dx
x
dd dd
yy xx
( xyy)22 xyy1x
2
d x x ( x )2 dy y y
x
(2)解法: -----变量代换法
(1)令 u y x
y
S1 S2
o
y f (x)
P(x, y)
x
x
x
x
0 f ( x)dx 2[xy 0 f ( x)dx] 30 f ( x)dx 2xy,
24
x
30 f ( x)dx 2xy,
两边同时对 x求导
3 f ( x) 2 y 2xy 2xy y
d
u
dy y
1 ln y ln C u
即 1 ln Cy u
微分方程的解为
y
ln Cy 即 Cy
y
ex.
x
18
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y 2 ,
dx x x
令 u y 则有 u x u 2 u u2
x
分离变量
du u2 u
例如 dy 2x2dx dy 2x2 y
y
dx
两边积分, 得
ln y 2 x3 C
y
eC
e
2 x3 3
3
10
(2)解法：1.分离变量: g( y)dy f ( x)dx
2.两边积分 g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原
利用初始条件易得:
x C1k sin kt C2k cos kt
故所求特解为 x Acos k t
问：x C cos kt是方程的解吗？是什么解？(C为常数)
9
第二节 一阶微分方程
1.可分离变量的微分方程
(1)定义：形如 d y f ( x)g( y)的方程叫可分离变量的方程. dx
解: 分离变量得
dy
x
y 1 x2 dx
两边积分得 ln y ln 1 lnC x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x2 1 1
13
例3. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
dx x
即 1 1 du dx
u1 u
x
积分得 ln(u 1) ln u ln x lnC
即 x(u1) C
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
y 1 , cos x
即y sec x
21
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法:
分类 常微分方程：所含未知函数是一元函数. 偏微分方程
注：本章只讨论常微分方程 2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的阶.
如：d y 2x dx
5
三、微分方程的主要问题-----求方程的解
1.微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0.
即
(ex C)ey 1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y,
故有
u 1 eu
du 1 eu
dx
两边积分
(1 eu ) eu
1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1 .
3
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
由已知得
s t0 0 ,
即
令C eC1
ln y x3 lnC
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
12
注意: 1. y 0也是原方程的解,叫“奇解”.以后不要求找. 2.ln y 写为 ln y, 但结果的形式不变. 3.C1也可以写成ln C (C为任意常数).
例2. 解初值问题 x ydx ( x2 1) d y 0 y(0) 1
原方程可变为：d
y
(
y )2 x
d
x
dx
dx y 1
令u y，则
x
y ux,
y
xu u，
x