非线性Volterra积分方程(学习资料)
Volterra积分微分方程的概周期解的存在和稳定性(英文)
Volterra积分微分方程的概周期解的存在和稳定性(英文)吴中华
【期刊名称】《兰州文理学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2013(000)004
【摘要】对于具有无界时滞的非线性Volterra积分微分方程,通过有界解的完全稳定性刻划了解的概周期和渐近概周期性的存在.
【总页数】5页(P13-17)
【作者】吴中华
【作者单位】广州南洋理工职业学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】N
【相关文献】
1.中立型Volterra积分微分方程概周期解的存在唯一性 [J], 方聪娜
2.一类中立型积分微分方程概周期解的存在唯一性与稳定性 [J], 贺艳飞
3.非线性Volterra积分微分方程概周期解的存在性 [J], 冯春华
4.Volterra积分微分方程概周期解的存在性 [J], 杨喜陶
5.非线性Volterra积分微分方程的稳定性与有界性(英文) [J], 唐贤瑛
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桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨
桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨作者：冉晴等来源：《建筑科技与经济》2014年第01期摘要：强震下桥梁的破坏和倒塌，造成的人员伤亡和经济社会效益是不容忽视的；另一方面，随着桥梁结构体系越来越复杂和延性抗震设计理念的转变，都使得桥梁非线性抗震验算越来越受到工程师的重视。
本文回顾了桥梁非线性动力学问题的发展，总结了目前桥梁非线性抗震验算方法的优、缺点，着眼于非线性系统理论及最新成果，通过volterra级数在非线性系统理论中的成果，探讨了volterra级数在桥梁工程的运用的可行性及优越性，并提出了volterra 级数运用于桥梁结构的关键性问题。
关键词：桥梁；非线性动力学；volterra级数；非线性频率响应函数1.引言我国广阔、复杂的地貌，造就了多山多河的地形，为了方便人们的出行，桥梁作为可以跨谷跨河的工程结构物得到了广阔的发展。
其中桥梁动力学问题分析作为桥梁分析中重要的一环，关系到桥梁功能的正常使用和生命财产安全，被研究学者和设计工程师重点关注着。
在2008年我国汶川8.0级地震，有24条高速公路、6140座桥梁受损，导致了69225人遇难，4600多万人受灾[1]，造成难以估计的损失。
只进行桥梁线性动力分析已经不满足需求，因此破坏性地震下桥梁的非线性动力验算愈来愈得到工程人员的重视。
另一方面，现代桥梁体系延性设计的理念的转变、减隔震支座的采用和大量大跨桥梁复杂新体系的出现，都决定着桥梁非线性动力响应分析的必要性。
2.桥梁非线性动力响应发展经过了各界研究学者的1个多世纪的探索，从1900年日本提出的采用静力等效力来模拟地震力，到现代能够比较完整的考虑地震三大主要效应（峰值、频率、持时）的时域分析方法和频域分析方法，对结构地震动力的线性响应考虑也愈趋细致。
非线性动力响应不再满足叠加原理，表现为非常复杂的力学行为，如分叉、混沌现象。
这些理论和计算远远不理想，本文并不探讨。
Volterra型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析
第３６卷第４期２０２２年７月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３６N o ．４J u l ．２０２２收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ１３基金项目:国家自然科学基金(１１８６１０６８);新疆维吾尔自治区自然科学基金杰出青年基金项目(２０２２D ０１E １３)作者简介:罗紫洋(１９９６Ｇ),男,新疆昌吉人,在读硕士,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :４６６９４９８４１＠q q ．c o m．∗通讯作者:张新东(１９８１Ｇ),男,江苏徐州人,教授,硕士生导师,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :L i Ｇa o yu a n １１２６＠１６３．c o m ㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２２)０４Ｇ００１０Ｇ０５V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析罗紫洋,安文静,张新东(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐８３００１７)摘要:本文研究了一类V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及其理论分析．格式构造方面,利用有限差分方法进行时间和空间离散,对于积分项采用复合梯形求积公式进行处理．最后,给出了数值格式的稳定性分析和误差估计,其误差的收敛阶为Ο(τ＋h ４),其中τ为时间步长,h 为空间步长．关键词:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程;有限差分;复合梯形求积公式;稳定性;误差分析中图分类号:O ２４１．８２㊀㊀㊀文献标志码:AN u m e r i c a l S c h e m eC o n s t r u c t i o na n dT h e o r e t i c a lA n a l y s i s f o r I n t e g r a l ＧD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o fV o l t e r r aT y pe L U OZ i Ｇy a n g ,A N W e n Ｇj i n g ,Z HA N G X i n Ｇd o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,an u m e r i c a l s c h e m ec o n s t r u c t i o na n dt h e o r e t i c a l a n a l y s i sw a sm a i n l yd e v e l o p e d f o rs o l v i n g t h e V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ．I nt e r m so fs c h e m ec o n Ｇs t r u c t i o n ,t h e f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o ni s s u e df o rt i m ea n ds pa c ed e r i v a t i v e ,a n dt h e c o m p o u n d t r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a i s s u e d f o r i n t e g r a l t e r m．F i n a l l y,t h eu n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c ew e r e g i v e n ．I na d d i t i o n ,t h ee r r o r a n a l y s i sw a s c a r r i e do u t ,w h i c h s h o w e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e o r d e rw a s O (ι＋h ４),w h e r e ιw a s t h e t i m e s t e p ,a n d h w a s t h e s p a c e s t e p．K e y wo r d s :V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f i n i t ed i f f e r e n c e ;c o m p o u n dt r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a ;s t a b i l i t y ;e r r o r a n a l ys i s 0㊀引言V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E s )源于１９世纪末２０世纪初,是在竞争或人口增长模型中所引入的一类具有积分内核的方程．V I D E s 中的积分项具有记忆性质[１],这一性质是其在物理领域有着广泛应用的重要原因．例如:粘弹性方程[２]㊁具有记忆性的热传导方程[３Ｇ４],以及核反应堆中的热交换过程等．由于求解此类方程的解析解较为困难,因此研究此类方程的数值解具有重要的理论价值和实际意义．处理微分Ｇ积分方程的主要方法为差分法．１８９７年,V o l t e r r a [５]在其著作中对该类方程的数值解法已有所研究．１９７４年,B r u n n e r [６]采用隐式R u n g e ＧK u t t a 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并分析了此类方程数值解的稳定性．１９９２年,陈传淼等[７]利用内积近似一类微分Ｇ积分方程的积分项,并对空间项采用有限元方法,得到了相应的误差估计．１９９３年,汤涛[８]运用梯形求积技巧构造了一类微分Ｇ积分方程中积分项的数值格式,使其时间误差收敛阶可以达到Ο(τ３/２),并给出具体的理论分析．２００５年,S h a h m o r a d [９]基于T a u方法分析了线性F r e d h o l m ＧV o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的有效误差．２００６年,A m i r a l i ye v 等[１０]在均匀网格中构建V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并证明该格式的时间收敛阶为一阶均匀收敛．２００８年,徐大[１１]在希尔伯特空间中分析验证了有限差分方法求解线性V o l t e r r a 型方程的稳定性;同年,T a r i 和S h a h m o r a d [１２]基于勒让德多项式研究二维线性F r e d h o l m 积分方程,并给出了数值格式的误差边界．２０１０年,W a z w a z [１３]提出结合L a p l a c e 变换和A d o m i a n 分解法,构造非线性V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并通过实验证明该方法的有效性;与此同时,Z a r e b Ｇn i a [１４]利用S i n c 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并验证该方法所具有的优良性,不仅收敛速度较快,且不存在当使用其他数值方法时常见的不稳定问题．２０２１年,C i m e n 和C a k i r [１５]基于正交规则和积分恒等式构造了一类F r e d h o l m 型微分Ｇ积分方程一种新的差分格式,并分析证明该格式的稳定性和收敛性．２０２２年,S a n t r a 和M o h a Ｇpa t r a [１６]利用复合梯形公式逼近V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程中的积分项,使其误差时间收敛阶为Ο(τ)．本文考虑如下V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E ):∂u (x ,t )∂t －∂２u (x ,t )∂x ２＝ʏt０K (x ,t －s )u (x ,s )d s ＋f (x ,t ),(x ,t )ɪΩ;u (x ,０)＝φ(x ),∀x ɪ[０,L ];u (０,t )＝g １(t ),u (L ,t )＝g ２(t ),∀t ɪ(０,T ],ìîíïïïïïïïïïï(１)其中:Ω＝[０,L ]ˑ(０,T ],空间L ＞０,且时间T ＞０;积分核K (x ,t －s )在Ω上光滑且有界;f ,φ,g １和g ２为给定的光滑函数．1㊀紧致差分格式推导为方便起见,本文中不同地方的常数C 可以代表不同的数值．给定两个正整数M 和N ,定义h＝L/M 为空间变量x 的步长,τ＝T /N 为时间变量t 的步长,所以x j ＝j h ,j ＝０,１, ,M ,t n ＝n τ,n ＝０,１, ,N ．用u n j 和U nj 分别表示函数u 在点(x j ,t n )处的精确解和数值解．为了方便表达及书写,给出如下算子定义,δ２xU j ＝U j －１－２U j ＋U j ＋１h ２,H U j ＝１１２(U j －１＋１０U j ＋U j ＋１)＝(１＋h ２１２δ２x )U j ,㊀㊀j ＝１,２, ,M －１;U j ,j ＝０,M ．ìîíïïïï(２)由复合梯形求积公式可得ʏbag (t )d t ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t ig (t )d t ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]＋R ,(３)其中:R 为整个区间的截断误差．由T n ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]和中值定理可得R ＝ʏbag (t )d t －T n ＝－b －a １２τ２g ᵡ(ξ),ξɪ[a ,b ]．(４)引理１[１７]㊀假设s (x )ɪC ６[a ,b ],则有１１２(s x x (x j ＋１)＋１０s x x (x j )＋s x x (x j －１))－１h２(s (x j ＋１)－２s (x j )＋s (x j －１))＝h ４２４０s (６)(ξj ),其中:ξj ɪ(x j －１,x j ＋１),j ＝１,２, ,M －１．接下来对方程(１)进行逐项分析．对于方程(１)的时间项来说,利用T a y l o r 展开,可得∂u (x j ,t n )∂t n＝u (x j ,t n ＋１)－u (x j ,t n )τ＋O (τ)．(５)对于方程(１)的空间项来说,H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j＝δ２x u (x j ,t n ＋１)＋O (h ４)．(６)对于方程(１)的积分项而言,由式(３)和(４)可得１１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析ʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t iK (x j,t n－s )u (x j,s )d s ＝τ２ðn －１i ＝０[K (x j ,t n －t i )u (x j ,t i )＋K (x j ,t n －t i ＋１)u (x j ,t i ＋１)]＋O (τ２)．(７)如果对方程(１)作用H 算子,可得H ∂u (x j ,t n )∂t n－H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j ＝Hʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＋H f (x j ,t n ),进而由式(５)㊁(６)和式(７)可得H u n ＋１j－τδ２x u n ＋１j ＝H u nj＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j u i ＋１j ＋K n －i j u i j )éëêêùûúú＋H τf n j ＋R nj ,(８)其中:f nj ＝f (x j ,t n ),R n j ɤC (τ＋h ４)．省去式(８)中的截断误差,当j ＝１,２, ,M－１且n ＝１,２, ,N 时得到方程(１)的离散格式如下:H U n ＋１j －τδ２x U n ＋１j ＝H U nj ＋㊀H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j U i ＋１j ＋K n －i j U i j )éëêêùûúú＋H τf n j ,U ０j ＝φ(x ),U n ＋１０＝g １(t n ＋１),U n ＋１M ＝g ２(t n ＋１)．ìîíïïïïïï(９)2㊀稳定性分析本节将利用能量不等式的方法讨论数值格式的稳定性,并证明数值格式为无条件稳定．首先给出一些符号说明和引理．定义V h 为空间网格函数,V h ＝{V |V ＝(V ０,V １, ,V M ),V ０＝g １(t n ＋１),V M ＝g ２(t n ＋１)}．以下内积和范数在证明中将用到,(U ,V )＝h ðM －１j ＝１U jV j , U ２＝(U ,U )．引理１[１８]㊀假设U ɪV h ,则有－(δ２xU n H U n )ȡ２３δx U n ２．定理１㊀紧致差分格式(９)是无条件稳定的,并且满足如下不等式:H U n ＋１ ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p (),其中:C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．由式(９)可得H U n ＋１－τδ２xU n ＋１＝H U n ＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１U i ＋１＋K n －i U i )éëêêùûúú＋H τf n ,(１０)对式(１０)两边同乘H U n ＋１,并在Ω上积分可得(H U n ＋１,H U n ＋１)－τ(δ２xU n ＋１,H U n ＋１)＝(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１１)由引理１可知－(δ２xU n H U n )ȡ０．由式(１１)可得如下不等式,(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ,H U n ＋１))＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１２)接下来将用归纳法证明．由式(１２)可知,当n ＝０时,(H U １,H U １)ɤ(H U ０,H U １)＋τ(H f ０,H U １)．再由柯西Ｇ施瓦茨不等式可得H U １ ɤ H U ０ ＋τ H f ０ ɤC H U ０ ＋ H f ０ ()．假设对任意k ,k ɤn 时结论成立,即 H U k ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p ()．(１３)由式(１２),当k ＝n ＋１时,有(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．由上述不等式,结合式(１３)可得 H U n ＋１ ɤ２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷H U n＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋１ ＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋τ H f n ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p()＋τK x tT C H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p ()＋τ H f nɤ(C ＋τK x tT C ) H U ０ ＋(C ＋τK x tT C ＋τ)m a x ０ɤp ɤnH f p ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤnH f p(),其中,C 为常数．定理１证明完毕．3㊀误差估计本节将讨论数值格式的收敛性,并推导出数值格式的误差收敛阶为O (τ＋h ４)．记e nj ＝u n j －U n j ,j ＝０,１, ,M 且n ＝０,１, ,N ．定理２㊀假设u nj 为方程(１)的精确解,U n j 为离散格式(９)的数值解,则如下不等式成立, H e n ＋１jɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．用式(８)减去式(９),再由e nj 的定义可得H e n ＋１j －τδ２x e n ＋１j＝H e n j＋H [τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j e i ＋１j ＋K n －i j e i j )]＋R n j ．(１４)将式(１４)两边同乘H e n ＋１j,并在Ω上积分可得(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )－τ(δ２x e n ＋１j ,H e n ＋１j)＝(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１５)由引理１和式(１５),有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１６)类似定理１的证明,将采用归纳法．由式(１６)可知,当n ＝０时,可得(H e １j ,H e １j )ɤ(H e ０j ,H e １j )＋(R ０j ,H e １j ),再由柯西Ｇ施瓦茨不等式及R ０j ɤC (τ＋h ４)可得 H e １j ɤ H e ０j ＋R ０j ɤC (τ＋h ４)．假设对任意k ,k ɤn 时,结论成立,即 H e kj ɤC (τ＋h ４)．(１７)由式(１６),当k ＝n ＋１时,有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．由上述不等式,结合式(１７)可得 H e n ＋１jɤ H e nj＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e i ＋１j ＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e ij ＋ R n j ɤC (τ＋h ４)＋τK x tT (C (τ＋h ４))＋C (τ＋h ４)ɤm a x {C ,τK x tT C ,C }(τ＋h ４)ɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．定理２证明完毕．4㊀结论本文通过有限差分方法构造了一类V o l t e r r a型微分Ｇ积分方程的数值格式,分析了格式的稳定性和误差估计,得到其误差收敛阶为O (τ＋h ４)．相较于解决该问题原有的数值格式,在空间收敛阶上有进一步的提升．在今后的研究工作中,将以构建收敛速度更快,误差更低的数值格式为目标,并将此方法应用到分数阶微分Ｇ积分方程的数值求解．参考文献:[１]MO L F E R S D O R F L V．O ni d e n t i f i c a t i o no fm e m o r yk e r n e l s i n l i n e r t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o n [J ]．M a t h e Ｇm a t i c a lM e t h o d s i n A p pl i e dS c i e n c e s ,１９９４,１７:９１９Ｇ９３２．[２]R C N A R D Y M．M a t h m e a t i c a l a n a l ys i so fv i s c o e l a s t i c f l o w s [J ]．A n n u a lR e v i e w o fF l u i d M e c h a n i c ,１９８９,２１:２１Ｇ３６．[３]G U R T I N M E ,P I P K I N AC ．A g e n e r a l t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o nw i t h f i n i t ew a v e s pe e d [J ]．A r c h i v ef o rR a Ｇt i o n a lM e c h a n i c s a n dA n a l y s i s ,１９６８,３１:１１３Ｇ１２６．[４]M I L L E R R K．A ni n t eg r o Ｇd i f f e r e n t i a le qu a t i o nf o r g i r dh e a tc o n d u c t o r s w i t h m e m o r y [J ]．J o u r n a lo f ３１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析M a t h e m a t i c a l A n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,１９７８,６６:３１３Ｇ３３２．[５]V O L T E R R A V．S o p r aa l c u n e q u e s t i o n i d i i n v e r s i o n e d i i n t e g r a l i d e f i n i t i[J]．A n n a l i d iM a t e m a t i c aP u r ae d A p p l i c a t a,１８９７,２５:１３９Ｇ１７８．[６]B R U N N E R H．I m p l i c i t R u n g eＧK u t t am e t h o d s o f o p t iＧm a lo r d e rf o r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J]．M a t h e m a t i c s o fC o m p u t a t i o n,１９８４,４２:９５Ｇ１０９．[７]C H E NC M,T HOM E E V,WA H L B I NLB．F i n t e e lＧe m e n t a p p r o x i m a t i o n o f a p a r a b o l i c i n t e g r oＧd i f f e r e n t iＧa l e q u a t i o nw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h eＧm a t i c a l o fC o m p u t a t i o n,１９９２,５８:５８７Ｇ６０２．[８]T A N G T．Af i n i t ed i f f e r e n c es h e m ef o r p a r t i a l i n t eＧg r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e rＧn e l[J]．A p p l i e d N u m b e r i c a l M a t h e m a t i c s,１９９３,１１:３０９Ｇ３１９．[９]S HA HMO R A DS．N u m e r i c a l s o l u t i o no f t h e g e n e r a l f o r ml i n e a rF r e d h o l mＧV o l t e r r a i n t e g r oＧd i f f e r e n t i a l eＧq u a t i o n sb y t h eT a um e t h o dw i t ha ne r r o r e s t i m a t i o n [J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d C o m p u t a t i o n,２００５,１６７:１４１８Ｇ１４２９．[１０]AM I R A L I Y E V G M,S E V G I N S．U n i f o r m d i f f e rＧe n c em e t h o df o r s i ng u l a r l yp e r t u r b e dV o l t e r r a i n t eＧg r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２００６,１７９:７３１Ｇ７４１．[１１]X U D．S t a b i l i t y o f t h ed i f f e r e n c et y p e m e t h o d sf o r l i n e a rV o l t e r r ae q u a t i o ni n H i l b e r ts p a c e s[J]．N uＧm e r i s c h eM a t h e m a t i k,２００８,１０９:５７１Ｇ５９５．[１２]T A R IA,S HA HMO R A DS．Ac o m p u t a t i o n a lm e t hＧo d f o r s o l v i n g t w oＧd i m e n s i o n a l l i n e a rF r e d h o l mi nＧt e g r a le q u a t i o n so fs e c o n d k i n d[J]．T h e A n z i a mJ o u r n a l,２００８,４９:５４３Ｇ５４９．[１３]WA Z WA Z A M．T h ec o m b i n e dL a p l a c et r a n s f o r mＧA d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o df o rh a n d l i n g n o nＧl i n e a r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２０１０,２１６:１３０４Ｇ１３０９．[１４]Z A R E B N I A M．S i n c n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h eV o l tＧe r r ai n t e g r oＧd if f e r e n t i a le q u a t i o n[J]．C o mm u n i c aＧt i o n s i n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l aＧt i o n,２０１０,１５:７００Ｇ７０６．[１５]C I M E N E,C A K I R M．Au n i f o r m n u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i ng s i n g u l a r l yp e r t u r b e d F r e dh o l mi n t e g r oＧd i f fe r e n t i a l p r o b l e m[J]．C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２１,４２:１Ｇ１４．[１６]S A N T R AS,MOHA P A T R AJ．An o v e l f i n i t e d i f f e rＧe n c e t e c h n i q u ew i t h e r r o r e s t i m a t ef o r t i m e f r a c t i o nＧa l p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o f V o l t e r r at y p e[J]．J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a la n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２２,４００:１１３７４６．[１７]L U O M,X U D,L I L M．A c o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m ef o r a p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．A p p l i e d M a t h eＧm a t i c a lM o d e l l i n g,２０１５,３９:９４７Ｇ９５４．[１８]A K B A R M．C o m p a c t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e s o l u t i o n f o r a t i m e f a r a c t i o n a l p a r t i a l i n t e g r oＧd i f f e rＧe n t i a l e q u a t i o n w i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h e m a t i c a l M e t h o d si n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,２０１７,４０:７６２７Ｇ７６３９．[责任编辑:赵慧霞]４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷。
SISO非线性系统H∞控制:Volterra级数法
SISO非线性系统H∞控制：Volterra级数法
方洋旺;韩崇昭
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2000(017)004
【摘要】首先基于Volterra级数理论,将一般的SISO离散系统非线性算子表示为n阶Volterra线性算子级数.其次,将线性系统H∞控制的插值理论与斜Toeplitz优化算法应用到每阶Volterra线性算子中,并利用算子论中交换提升理论的结果,求出相应的n阶Volterra算子的最优补偿参数,这些最优补偿参数的级数是局部稳定的非线性算子.通过此算子即求出最优H∞控制器.最后给出具体设计步骤,并进行了仿真研究.
【总页数】4页(P561-564)
【作者】方洋旺;韩崇昭
【作者单位】西安交通大学系统工程研究所,西安,710049;西安交通大学系统工程研究所,西安,710049
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.不确定非线性系统SISO的综合终端滑模跟踪控制器及扩展状态观测器 [J], 钟晓珠;马跃超;刘金宪;邢海龙;王知力
2.具有未知死区的SISO非仿射非线性系统间接自适应模糊控制 [J], 周卫东;廖成
毅;郑兰;程华
3.SISO仿射非线性系统自适应变结构BPNN控制 [J], 邹劲松;唐旭
4.基于Volterra级数模型的非线性系统自适应控制稳定性研究 [J], 党映农;韩崇昭
5.一类SISO非严格反馈非线性系统的自适应模糊有限时间容错控制 [J], 许鹏;李永明
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一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式
一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式黄春妙;王五生【摘要】建立一类新的含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式,式中非线性函数没有要求单调性.为了给出未知函数的估计,采用单调化技巧,构造单调化序列,使得后一项比前一项具有更强的单调性.利用分析技巧,给出不等式中未知函数的估计.其结果可以用来研究相应类型的微分积分方程.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)003【总页数】6页(P382-387)【关键词】Volterra-Fredholm型积分不等式;求最大运算;迭代积分;分析技巧【作者】黄春妙;王五生【作者单位】河池学院数学与统计学院,广西宜州546300;河池学院数学与统计学院,广西宜州546300【正文语种】中文【中图分类】O175.5Gronwall－Bellman不等式［1－2］是研究微分方程、积分方程解的存在性、有界性、稳定性、唯一性和不变流型等定性性质的重要工具.在过去几十年，数学工作者出于各种研究目的建立了大量既有用又有趣的积分不等式(参见文献［3－16］及其参考文献).B.G.Pachpatte［3］为了研究Volterra－Fredholm型积分方程解的性质，建立了具有时滞的线性Volterra－Fredholm型积分不等式Q.Ma等［5］研究了具有时滞的非线性Volterra－Fredholm型积分不等式A.Golev等［6］讨论了具有最大运算的初值问题为了研究这个问题解的性质，需要建立一种具有最大运算的积分不等式作为研究它的工具.最近，J.Henderson等［7］研究了下面的具有最大运算的积分不等式Y.Yan［8］进一步研究了下面的较为复杂的具有最大运算的积分不等式本文受文献［5，8］的启发，讨论了一个新的具有最大运算的时滞非线性多重积分不等式式中k、h是正常数.(4)式没有要求φi(i=1，2，3)具有单调性，为了给出未知函数的估计，文中首先采用了单调化技巧，构造单调化序列，使得后一项比前一项具有更强的单调性.即利用非单调函数φi(z)构造出单调函数wi(z)，并且w2(z)/w1(z)，w3(z)/ w1(z)，w3(z)/w2(z)也都是单调函数.然后利用变量替换技巧、不等式放大技巧、微分积分技巧、逆函数技巧、常量与变量的辩证关系，给出了不等式中未知函数的估计.最后利用不等式的研究结果给出了具有最大运算的Volterra－Fredholm时滞积分方程解的估计.约定R表示实数集合，R+=［0，+∞)，I=［t0，T］;C(M，S)和C1(M，S)分别表示定义于集合M，取值于集合S的所有连续函数的集合和所有连续可微函数的集合.α'(t)表示函数α(t)的导函数.定理1假设fi(t)，hi(t)∈C(I，R+)，i=1，2，3.假设α∈C1(I，I)是不减函数，且满足对任意t∈I有α(t)≤t;φ、φi都是R+上的函数，φ是严格增函数，且满足φ(t)=∞，对任意t＞0，φi(t)＞0.如果是严格增函数.假设H2(u)=0在［k，∞)上有一个解c.如果u(t)满足不等式(4)，那么u(t)有估计式其中－(i=1，2，3)和分别是Wi和H2的逆函数.证明令u(t):=φ(v(t))，则v(t)=φ－1(u (t)).由(4)式推出根据(10)～(12)式，可以看出wi(i=1，2，3)是连续、非负、单调不减函数，且满足关系式还满足wi+1(s)/wi(s)，i=1，2也是单调不减函数，即文献［14］中定义的比较单调性从(7)～(9)式看出函数Wi(i=1，2，3)是严格增函数，它们的逆函数存在，也是连续的增函数.由(10)～(12)和(13)式推出令z1(t)表示不等式(15)的右端，则它是区间I上正的不减函数.由不等式(15)得到求函数z1(t)的导函数，利用(16)式得不等式(18)两边同除w1(z1(t))得到先把不等式(19)中的t替换成τ，然后不等式(19)两边从t0到t进行积分，得到T1是任意选取的，W1由(7)式定义.令z2(t)表示不等式(20)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(20)式推出求函数z2(t)的导函数，利用(21)式和函数z2、W－11、w2/w1、w3/w1的单调性以及函数α的性质得到不等式(23)两边同除得到由(24)式推出令z3(t)表示不等式(25)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(25)式看出求z3(t)的导数，利用(26)式得对任意t∈［t0，T1］都有不等式(28)两边同除w3(W－11(W－12(z3(t))))/ w2(W－11(W－12(z3(t))))得积分不等式(29)两边得综合(21)、(26)和(30)式得到把(22)和(27)式代入(31)式得到由于T1是任意选择的，故由(32)式可以得到另一方面，由(17)式和z1的定义有由(33)和(34)式推出即根据H2的定义和定理1的假设，由(35)式得到由于定理假设H2是增函数，从上式看出z1(t0)＜c.把z1(t0)＜c代入(32)式，利用关系式(16)得到所求的估计式(6).现在考虑时滞Volterra－Fredholm型积分方程推论1假设β(t)∈C1(I，I)是严格增加的函数，且满足β(t)≤t.假设|x0|，h是正常数，x∈C(I，R).假设F1∈C(I×R2，R)，F2∈C(I×R，R)满足下列条件其中，f1(s)、h1(s)、h2(s)、φ1(s)和φ2(s)满足定理1的要求.假设函数是严格增函数，H3(t)=0有解c＞|x0|.如果x(t)是方程(36)和(37)在I上的解，那么有方程解的模的估计式其中，W1、W2、和与1中的定义相同.证明利用条件(38)和(39)，由方程(36)和(37)推出由于(42)式具有不等式(4)的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(41).【相关文献】［1］GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations［J］.Ann Math，1919，20:292－296.［2］BELLMAN R.The stability of solutions of linear differential equations［J］.Duke Math J，1943，10:643－647.［3］PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality［J］.Math Inequal Appl，2004，7:7－11.［4］AGARWAL R P，DENG S，ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall－like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput，2005，165:599－612.［5］MA Q，PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra－Fredholm type integral inequalities［J］.Nonlinear Anal，2008，69:393－407.［6］GOLEV A，HRISTOVA S G，RAHNEV A.An algorithm for approximate solving of differential equations with maxima［J］.Comput Math Appl，2010，60(10):2771－2778. ［7］HENDERSON J，HRISTOVA S G.Nonlinear integral inequalities involving maxima of unknown scalar functions［J］.Math Comput Model，2011，53:871－882.［8］YAN Y.Nonlinear Gronwall－Bellman type integral inequalities with maxima［J］.Math Inequal Appl，2013，16(3):911－928.［9］吴宇，邓圣福.一类弱奇性Volterra积分不等式的推广［J］.四川大学学报(自然科学版)，2004，41(3):472－479.［10］吴宇.关于一类弱奇性Volterra积分不等式的注记［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2008，31(5):534－537.［11］周俊.关于一个积分不等式组的讨论［J］.四川大学学报(自然科学版)，2009，46(1):21－25. ［12］王五生，李自尊.一类新的非线性时滞积分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(2): 180－183.［13］侯宗毅，王五生.非线性三变量差分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(4):514－517.［14］PINTO M.Integral inequalities of Bihari－type and applications［J］.Funkcial Ekvac，1990，33:387－430.［15］王胜军，窦井波.Greiner算子在R2n+1上的Poin caré不等式及Hardy－Sobolev不等式［J］.广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(1):29－34.［16］黄裕建.Pachpatte离散不等式的一个推广［J］.重庆师范大学学报(自然科学版)，2013，30(4):99－103.。
volterra积分方程和积分微分方程
文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。
这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。
在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。
1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。
它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。
这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。
2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。
一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。
3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。
通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。
对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。
4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。
通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。
非线性Volterra积分方程
一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。
所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。
后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力积分不等式
含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力积分不等式宋小平;孟凡伟【摘要】研究了含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式,得到解的渐近估计及有界性,进而这些不等式可用于研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力方程解的定性性质.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(045)001【总页数】10页(P33-42)【关键词】Volterra-Fredholm型积分不等式;非线性;渐近估计;有界性【作者】宋小平;孟凡伟【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.121 引言近年来，关于Volterra积分方程和时间尺度上的动态积分不等式的研究已经有很多,许多作者把研究领域拓展到应用积分不等式来研究时间尺度上动力方程解的性质,并且可以作为方便的工具.据我们所知,许多学者致力于各类积分不等式的研究,已建立了时间尺度上线性Volterra-Fredhlom型积分不等式，各种连续和离散的Volterra-Fredholm型不等式，连续和离散的线性Volterra型积分不等式，一些连续和离散的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式，一些新的广义Volterra-Fredholm型离散分数不等式等.然而,时间尺度上非线性Volterra-Fredholm型积分不等式却很少被人关注,特别是含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式.本文主要研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式,得到这些不等式解的渐近估计及有界性,进而研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力方程解的定性性质.2 主要结果及其证明令T表示一个时间尺度,Crd表示一组在T上的右连续函数,R表示所有回归的集合,R+={P∈R,1+μ(t)P(t)>0,t∈T}.R表示实数集,R+=[0,+∞),Z表示整数集.为了方便表示,假设I=[t,s]∩T,其中t,s∈T,s>t .引理2.1[16] 假设u,b∈Crd(I),a∈R+,如果uΔ(t,s)≤a(t,s)u(t,s)+b(t,s), t,s∈I,则引理2.2[17] 若a≥0,p≥q>0,则对任意的k>0,有定理2.3 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数，u0是非负常数，若u(t,s)满足(2.1)其中p,q,r,m为常数,且满足p≥q>0,p≥r>0,p≥m>0.进一步,若(2.2)则对于任意k>0,有(2.3)其中(2.4)(2.5)(2.6)证明定义一个函数z(t,s)如下(2.7)我们有up(t,s)≤a(t,s)+z(t,s),(2.8)即(2.9)由引理2.2和式(2.9)可得,对于任意的k>0,有(2.10)(2.11)(2.12)将式(2.10),(2.11),(2.12)代入式(2.7)中得(2.13)即(2.14)固定由于Apqr(t,s)关于t,s∈I是单调不减的,所以对于任意的其中有(2.15)令(2.16)则式(2.15)可化为(2.17)由于z(t,s)是单调不减的,则(2.18)令(2.19)从而(2.20)记(2.21)由引理2.1可得(2.22)根据式(2.18),(2.19)和式(2.22)得(2.23)将式(2.23)代入式(2.16)右端,由式(2.2)可得(2.24)再根据式(2.23),(2.24)有(2.25)由于是任意的,从而(2.26)故由式(2.26)和(2.8)即得结论(2.3).在定理2.3中,当p=2,q=r=m=1时,可以得到以下推论.推论2.4 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.27)且(2.28)则有(2.29)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.30)(2.31)(2.32)在定理2.3中,当p=1时,可以得到以下推论.推论2.5 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.33)其中q,r,m为常数,且满足q>0,r>0,m>0.进一步,若(2.34)则(2.35)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.36)(2.37)(2.38)在定理2.3中,当p=q=r=m=1时,可以得到以下推论.推论2.6 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.39)且(2.40)则(2.41)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.42)(2.43)(2.44)定理2.7 假设u(t,s),a(t,s),fi(t,s),gi(t,s),hi(t,s)∈Crd(I)均为非负函数,i=1,2,…,n.j=1,2,…,l.(n,l为正整数).若u(t,s)满足(2.45)其中p,q,r,m为常数,且满足p≥qi>0,p≥ri>0,p≥mj>0,k>0为常数,(2.46)则(2.47)其中(2.48)(2.49)(2.50)定理2.8 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.51)其中p,q,r为常数,且满足p≥1,p≥q>0,p≥r>0.进一步,假设0≤H(t,s,u)-H(t,s,v)≤L(t,s)(u-v),u≥v≥0,且(2.52)则(2.53)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.54)(2.55)(2.56)证明定义函数如下(2.57)于是(2.58)根据引理2.2,对于任意的k>0有, (2.59)(2.60)(2.61)把式(2.59),(2.60),(2.61)代入式(2.57)且由式(2.52)可知,即这里C*和A*(t,s)分别在式(2.54)和(2.55)中给出了定义.在式(2.61)中应用与定理2.3相似的推理过程,即可得到式(2.53).3 应用我们研究以下Volterra-Fredholm型动力积分方程解的有界性、唯一性、解的连续依赖性.(3.1)其中t,s∈I,u,a:I→R,F:I×R×R→R,G,H:I×R→R且p>0为常数.首先证明方程(3.1)解的有界性.定理3.1 假设方程(3.1)中的函数F,G和H满足如下条件|F(t,s,u,v)|≤f(t,s)(|u|q+|v|),(3.2)|G(t,s,u)|≤g(t,s)(|u|r),(3.3)|H(t,s,u)|≤h(t,s)(|u|m),(3.4)其中t,s∈I,u,v∈R,f(t,s),g(t,s),h(t,s)和q,r,m如定理2.3所述,若(3.5)则(3.6)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(3.7)(3.8)(3.9)证明将式(3.2),(3.3),(3.4)代入式(3.1)中得(3.10)根据定理2.3可得式(3.6)成立.下面再证明式(3.1)解的唯一性.定理3.2 假设式(3.1)中F,G,H满足以下条件:|F(t,s,u1,v1)-F(t,s,u2,v2)|≤f(t,s)(|u1p-u2p|+|v1-v2|),(3.11)|G(t,s,u)-G(t,s,v)|≤g(t,s)(|up-vp|),(3.12)|H(t,s,u)-H(t,s,v)|≤h(t,s)(|up-vp|),(3.13)f(t,s),g(t,s),h(t,s)如定理2.3所述,若(3.14)其中(3.15)则当时,式(3.1)在I上有唯一解.证明设u(t,s),w(t,s)为式(3.1)在I上有两个解,由式(3.1)和式(3.6),(3.7),(3.8),有(3.16)(3.17)故由式(3.16),(3.17),(3.11),(3.12),(3.13)可知(3.18)对式(3.18)应用推论2.4,a(t,s)=0,故|up(t,s)-wp(t,s)|≤0,对于任意的t,s∈I均成立.因此在I上有up(t,s)=wp(t,s).最后讨论式(3.1)的解对函数F,G,H的连续依赖性,考虑式(3.1)的变形.(3.19)其中且p>0为常数.定理3.3 对于式(3.1)和(3.14)若满足(ⅰ) |F(t,s,u1,v1)-F(t,s,u2,v2)|≤f(t,s)(|u1p-u2p|+|v1-v2|),|G(t,s,u)-G(t,s,v)|≤g(t,s)(|up-vp|),|H(t,s,u)-H(t,s,v)|≤h(t,s)(|up-vp|),(ⅱ)其中(ⅲ) 对于式(3.19)的所有解有且其中t,s∈I,u1,u2,v1,v2∈R,且ε>0为任意常数.那么其中则方程(3.1)的解u(t,s)连续依赖于F,G,H.特别地,若u符号不变,则它连续依赖于F,G,H.证明设分别为式(3.1)和(3.19)的解,那么由式(3.1)和(3.19)可知,且即对于上式应用推论2.4(其中a(t,s)=ε,即得到式(3.15).显然,若函数A(t,s)和eB(t,s,t0,s0)在I上有界,那么对于M>0和t,s∈I有成立,因此up(t,s)连续依赖于F,G,H.参考文献：【相关文献】[1] Hilger S. 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一类第二种非线性Volterra 积分方程
积分数值解方法
1前言
微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.
积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-b a a x f dt t x t )()()
(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt t
x x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。
随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。
在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分方程论》，该书选择2L 空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题。
最近出版的比较适
合一般读者阅览的积分方程的书有李星出版的《积分方程》，该书从最简单的方法分析研究积分方程的理论问题，并给日后打算研究泛函的读者提供了基本的实例。
由于现代的计算机技术高速发展，对于一些比较复杂，难以求解的非线性积分方程逐渐采用了比较有效的数值解，常用的方法有逐次逼近法、Adomian 分解法、配置法、haar 小波方法、小波-Galerkin 方法、泰勒展开等等一些方法.
现在积分方程的应用广泛，很多问题都可以引出积分方程，并可用积分方程来解决.像弹性弦问题、线性系统响应问题、人口增长问题、等时曲线问题等等.还有在空气动力学中研究分子运动，对于非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类非线性积分方程.在确定飞机机翼方面的研究中，对于气流、升力等问题的计算中也引出了积分方程的研究.现在很多积分方程方面的研究都取得了不错的进展.
2、预备知识
积分方程是一个在积分号下出现待求的函数的方程，称作积分方程。
含一个未知函数的线性积分方程的一般形式为：⎰=-b
a x f dy y y x k x )()(),()(ϕλϕ []
b a x ,∈ [1]
我们把积分号中的上下限为常数的积分方程称为Fredholm 方程。
其中)(x f 、),(y x k 是已知函数，)(y ϕ是未知所要求的函数。
一般称)(x f 为自由项 ，),(y x k 称为积分方程的核，而λ是积分方程的一个参数，方程的解与λ相关
而与Fredholm 对应的是V olterra 积分方程，与Fredholm 的一个不同点是V olterra 积分号下的上下限中的上限是一个变量而不是一个常数。
本论文我们主要研究的是非线性的V olterra 积分方程。
非线性 V olterra 积分方程的形式为⎰=-x
a x f dy y F y x k x )()((),()(）ϕλϕ []
b a x ,∈ 。
同样，)(y ϕ为所求。
积分方程的解法：
一、 Fredholm 积分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、
泛函修正平均法、Fredholm 积分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系数法。
二、 V olterra 积分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、转化为常
微分方程的初值问题、第二类V olterra 积分方程的数值积分解法。
第二类线性volterra 积分方程与第二类线性Fredholm 积分方程的一个很大的差别是volterra 方程的解不依赖于参数λ的值，即对于任何的参数λ该方程都有解，而且解具有唯一性。
具体的证明过程参见[]，所以得出定理：如果核),(y x k 与自由函数 ()x f 在V olterra 积分方程的定域是连续函数，那么无论参数λ取何值该方程都有解，而且解具有唯一性。
3、Volterra 积分方程。