辽宁省沈阳市五校协作体2020-2021学年高三上学期期中数学(理)试题
2020-2021沈阳市高三数学上期中模拟试卷含答案
2020-2021沈阳市高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．5．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．86．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．98．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．29．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 412．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．15．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 20．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.23．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =，∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．D解析：D【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.8．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.11．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.12．B解析：B【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发解析：20462047-【解析】【分析】对于()()11132n nn na a-+-+=⋅，当n=1，代入得2a=-4,依次得345a=10a=-22a=46...，，发现规律，利用()()112121nn n nab++=--，求出10S.【详解】由()()11132n nn na a-+-+=⋅，当n=1，代入得2a=-4,依次得23456 34567a=32-2a=-32+2a=32-2a=-32+2a=32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律，利用()()112121nn n nab++=--，得b1=-43，234510224694b=b=-b=b=-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，，，求出1020462047S=-.故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=15．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；16．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13- 【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果.【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.17．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题解析：-4 【解析】 【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4 【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.18．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的解析：5【解析】试题分析：5cos2C=，21cos2cos129CC=-=，45sin C=，cos cos2a Bb A c+==，外接圆直径为952sincRC==，由图可知，当C在AB垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x=，则由相交弦定理有951x x⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，解得5x=，故最大面积为15522S=⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos2a Bb A+=我们结合图像，很容易知道这就是2c=.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.19．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题解析：1941【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式1111ST=，代值计算可得．【详解】∵{a n}，{b n}为等差数列，∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．20．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．三、解答题21．（1）1665；（2）83. 【解析】 【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【详解】(1)在ABC V 中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． 所以()16sin sin sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=； (2)由正弦定理sin sin AC BCB A=， 解得：sin 13sin 3BC B AC A ⋅==，所以ABC V 的面积：1113168sin 5223653S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．【点睛】本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。
2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若集合 A ＝{x |0＜x ＜6}，B ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜6} B ．{x |x ＜﹣2或x ＞0} C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |x ＜﹣2或x＞1} 【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】∵B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，A ＝{x |0＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞0}． 故选：B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题 2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．函数2cos y x x =部分图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题选项A 、B 中的图像关于y 轴对称，选项C 、D 中的图像关于原点对称，故可以从函数的奇偶性角度排除C 、D ，然后再根据函数值在x 接近于0时的符号不一样，进行筛选。
【详解】解：函数定义域为R因为，函数()()cos()cos ()22f x x x x x f x -=--== 所以，函数为偶函数，故C 、D 不符合 当(0,)2x π∈时，函数()cos 2f x x x 0=>，故选A 【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选。
2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={1,2}，则满足条件M∪N={1,2,3,4,5}的集合N的个数是()A. 3B. 4C. 7D. 82.已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4xx2+1的图象大致为()A. B.C. D.4.关于x的方程x2+6x+4=0的根为x1，x2，则代数式x1√x2x1+x2√x1x2的值为()A. 2B. −4C. 4D. −25.函数f(|x|+1)的定义域为[−1,2]，则函数f(2x)的定义域为()A. [−12,1] B. [12,1] C. [1,32] D. [12,32]6.若不等式2x2+x+12x+1>a在区间[0,1]上有解，则实数a的取值范围是()A. a<√2−12B. a<1 C. a<43D. a<2√2−127.函数y=x2−x+√x−1−2√3−x的值域为()A. [−2√2,6+√2]B. [−2√2−14,6+√2]C. [−2√2,6+√3]D. [−2√2−14,6+√3]8.y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+1x−2a+6，若f(x)≥a−2对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,23]B. [−2,2]C. [−2,+∞)D. (−∞,2]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列说法中正确的是( )A. |f(x)|⋅g(x)是偶函数B. f(|x|)⋅g(x)是偶函数C. f[g(x)]是奇函数D. f[f(x)]是奇函数10. 使得函数f(x)=3x−a−7x−(a+1)在区间(−∞,0)上单调递增的实数a 可能的取值是( )A. 2B. 1C. 0D. −111. 下列命题中说法正确的是( )A. 若x ∈R ，则√x 2+2+√x 2+2的最小值为2B. 若a +b =1，b >0，则1|a|+|a|b 的最小值为3C. 若a ，b >0，且a +b =1，则1a+1+12b+1的最小值为3+2√25D. 若a >b >0，则a 2+1(a−b)a +1ab 的最小值为412. 已知函数f(x)={|1|x−1|−1|,(x ≠1)12,(x =1)，若关于x 的方程2f 2(x)−(2a +1)f(x)+a =0有且仅有9个不同的根，则实数a 可能的取值是( )A. 12B. 13C. 14D. 1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 当x ∈[0,85)∪(85,+∞)时，则函数y =28−5x 的值域为______．14. 若函数f(x)={a−1x,x ≤−1(a +3)x +2a +3,x >−1在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是______．15. 函数f(x)=|20x|−51+4x 2，则关于x 的不等式f(x +1)>f(2x −1)的解集是______． 16. 已知函数g(x)满足g(x)=−g(1x )，又函数F(x)=ax 2021+bx 2019+2018，若F[g(√2+1)]=2022，则F[g(√2−1)]的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合P={x|3<x≤18}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a−5}．(Ⅰ)当a=8时，求P∩Q；(Ⅱ)求使得Q⊆P成立的实数a的取值范围．18.已知命题p：“∀x∈R，函数f(x)=mx2+mx+1无零点”，命题q：“方程x2−(m+3)x+m+3=0有两个不相等的正实数根”，若命题p与命题q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)=x2+(m−2)x+5−m．(Ⅰ)方程f(x)=0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，求实数m的取值范围；(Ⅱ)方程f(x)=0的两个不等根都在区间(1,+∞)上，求实数m的取值范围．20.已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(0)，且当x>0时，f(x)<0．(Ⅰ)证明函数f(x)在定义域上的单调性；(Ⅱ)证明函数f(x)在定义域上奇偶性；(Ⅲ)求关于x不等式f(x2+x)+f(x−3)>0的解集．21.已知偶函数f(x)，奇函数g(x)，若满足f(x)+g(x)=x2−x+1．(Ⅰ)当12<x<3时，求函数y=1−2g(x)−1+44+x2−x−f(x)的最小值；(Ⅱ)当0<x≤2时，求函数y=f(x)−1x+√2+g(x)的值域．22.已知函数f(x)为R上的一次函数，满足f[f(x)]=4x−1，且f(x1)−f(x2)x1−x2<0，又函数g(x)满足g(x−1x )=x2+1x2．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)≤m2−2am+1对所有的a∈[−1,1]，以及所有的x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围；(Ⅲ)ℎ(x)=2[g(x)−2]+4mx+4m−12(m>0)，对任意x1，x2∈[1,3]，恒有|ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤24，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合M={1,2}，因为M∪N={1,2,3,4,5}，所以N中必含有3，4，5三个元素，又{1,2}的子集个数为22=4，所以满足条件的集合N的个数为4个．故选：B．利用集合并集的定义分析求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】因为“|a+b|=|a|+|b|”，说明ab同号，但是有时a=b=0也可以，从而进行判断；此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题；【解答】解：若ab>0，说明a与b全大于0或者全部小于0，∴可得“|a+b|=|a|+|b|”，若“|a+b|=|a|+|b|”，可以取a=b=0，此时也满足“|a+b|=|a|+|b|”，∴“ab>0”⇒“|a+b|=|a|+|b|”；∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”必要不充分条件，故选B；3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题．根据函数的奇偶性和x>0时函数值的正负即可判断．解：函数y=f(x)=4xx2+1，定义域为R，则f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，则函数y=f(x)为奇函数，故排除C，D，当x>0时，y=f(x)>0，故排除B，故选：A．4.【答案】B【解析】解：因为关于x的方程x2+6x+4=0的根为x1，x2，所以x1+x2=−6<0，x1x2=4>0，则x1<0，x2<0，所以代数式x1√x2x1+x2√x1x2=−√x1x2−√x1x2=−2√x1x2=−2×2=−4．故选：B．利用一元二次方程根与系数的关系，代入代数式中化简求解即可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为函数f(|x|+1)的定义域为[−1,2]，所以x∈[−1,2]，则|x|+1∈[1,3]，故2x∈[1,3]，解得x∈[12,3 2 ]所以函数f(2x)的定义域为[12,32 ]．故选：D．由函数定义域的定义结合抽象函数的定义域的求法，求解即可．本题考查了函数定义域的求解，抽象函数定义域的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．【解析】解：令t =2x +1，因为x ∈[0,1]， 所以t ∈[1,3]， 则2x 2+x+12x+1=12t +1t −12，令f(t)=12t +1t −12=12(t +2t )−12，t ∈[1,3]，所以函数f(t)在(1,√2)上单调递减，在(√2,3)上单调递增， 因为f(1)=1，f(3)=43， 则函数f(t)在[1,3]上的最大值为43， 又不等式2x 2+x+12x+1>a 在区间[0,1]上有解，则(2x 2+x+12x+1)max >a ，所以a <43，则实数a 的取值范围为(−∞,43)． 故选：C ．利用换元法，构造新函数，利用新函数的最值求解即可．本题考查了不等式的应用，函数单调性求解最值的应用，不等式存在性问题的求解，要掌握不等式恒成立问题以及存在性问题的的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意，可知{x −1≥03−x ≥0，解得1≤x ≤3，所以函数的定义域为[1,3]，因为y =x 2−x 在[1,3]上单调递增，y =√x −1和y =−2√3−x 在[1,3]上单调递增， 则函数y =x 2−x +√x −1−2√3−x 在[1,3]上单调递增， 所以当x =1时，函数有最小值为−2√2， 当x =3时，函数有最大值6+√2， 所以函数的值域为[−2√2,6+√2]． 故选：A ．先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，由单调性求解函数的值域即可．本题考查了函数值域的求解，主要考查了利用函数单调性求解值域，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，此时0≥a−2，解得a≤2，当x<0时，f(x)=9x+1x−2a+6，令x>0时，则−x<0，所以f(x)=−f(−x)=9x+1x +2a−6≥2√9x⋅1x+2a−6=2a，当且仅当9x=1x ，即x=13时取等号，因为f(x)≥a−2对一切x>0成立，则2a≥a−2，解得a≥−2．综上所述，实数a的取值范围为[−2,2]．故选：B．利用奇函数的性质，结合基本不等式求解最值，即可得到答案．本题考查了奇函数性质的应用，不等式恒成立问题，利用基本不等式求解最值的应用，函数解析式的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，对于A，因为|f(−x)|⋅g(−x)=|−f(x)|⋅g(x)=|f(x)|⋅g(x)，所以函数|f(x)|⋅g(x)为偶函数，故选项A正确；对于B，因为f(|−x|)⋅g(−x)=f(|x|)⋅g(x)，所以函数f(|x|)⋅g(x)为偶函数，故选项B正确；对于C ，因为f[g(−x)]=f[g(x)]， 所以函数f[g(x)]为偶函数， 故选项C 错误；对于D ，因为f[f(−x)]=f[−f(x)]=−f[f(x)]， 所以函数f[f(x)]为奇函数， 故选项D 正确． 故选：ABD ．利用奇函数与偶函数的定义依次判断四个选项即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数奇偶性的判断，解题的关键是掌握函数奇偶性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=3x−a−7x−(a+1)=3[x−(a+1)]+2a−4x−(a+1)=3+2a−4x−(a+1)，因为f(x)在区间(−∞,0)上单调递增， 所以{2a −4<0a +1≥0，解得−1≤a <2．故选：BCD ．先将函数解析式分离常数，再利用反比例函数的性质，列式求解即可．本题考查了函数单调性的理解与应用，反比例函数性质的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】CD【解析】解：令t =√x 2+2(t ≥√2)，则y =t +1t 在[√2,+∞)递增，可得y min =√2+√22=3√22，故A 错误；若a +b =1，b >0，则1|a|+|a|b=a+b |a|+|a|b=a |a|+(b |a|+|a|b)，当a >0时，a|a|+(b|a|+|a|b )≥1+2=3，当且仅当a =b =12时，取得等号，即取得最小值3；当a <0时，a|a|+(b|a|+|a|b)=−1+(b |a|+|a|b)≥−1+2=1，当且仅当b =|a|=−a ，此时a +b =0不成立，所以等号不成立，所以1|a|+|a|b 的取值范围是(1,+∞)，故B 错误； 由a ，b >0，且a +b =1，可得(2a +2)+(2b +1)=5，则1a+1+12b+1=22a+2+12b+1=15[(2a +2)+(2b +1)](22a+2+12b+1)=15[2+1+2(2b+1)2a+2+2a+22b+1]≥3+2√25， 当且仅当2a +2=√2(2b +1)，即a =8−5√22，b =5√2−62时，取得等号，即取得最小值3+2√25，故C 正确； 若a >b >0，则a −b >0，a 2+1(a−b)a +1ab =[a(a −b)+ab]+1a(a−b)+1ab =[a(a −b)+1a(a−b)]+(ab +1ab )≥2+2=4，当且仅当a(a −b)=1且ab =1，即a =√2，b =√22时，取得等号，即取得最小值4，故D 正确．故选：CD ．由基本不等式和乘“1”法、换元法，结合对勾函数的单调性，注意等号成立的条件，可得结论．本题考查基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：当x >1时，f(x)=|1x−1−1|，函数在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，且函数关于直线x =1对称，作出函数图象，如图所示，由图象可知，f(x)=m 可能有0个，2个，4个，5个解，方程2f 2(x)−(2a +1)f(x)+a =0有且仅有9个不同的根，则2x 2−(2a +1)x +a =0有两个根满足x 1=12，x 2∈(0,12)∪(12,1)，x =12时恒成立，所以Δ=(2a +1)2−8a =(2a −1)2>0，则a ≠12，令g(x)=2x 2−(2a +1)x +a ，当x =0时，g(0)=a >0，当x =1时，g(1)=2−(2a +1)+a >0，解得0<a <1．综上所述，实数a 的取值范围为(0,12)∪(12,1)．故选：BC ．先分析函数f(x)的性质，作出函数f(x)的图象，将问题转化为2x 2−(2a +1)x +a =0有两个根满足x 1=12，x 2∈(0,12)∪(12,1)，结合图象分析求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，函数与方程的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．13.【答案】(−∞,0)∪[14，+∞)【解析】解：函数y =28−5x 在[0,85)和(85,+∞)上单调递增，所以y <0或y ≥14，则函数的值域为(−∞,0)∪[14，+∞)．故答案为：(−∞,0)∪[14，+∞)．利用函数的单调性求解即可．本题考查了函数值域的求解，主要考查了利用函数单调性求解值域，属于基础题．14.【答案】[12,1)【解析】解：函数f(x)={a−1x ,x ≤−1(a +3)x +2a +3,x >−1在R 上为增函数， 所以{a −1<0a +3>0a−1−1≤(a +3)⋅(−1)+2a +3，解得12≤a <1， 所以实数a 的取值范围为[12,1)．故答案为：[12,1)．根据增函数的定义，结合一次函数和反比例函数的单调性求解即可．本题考查了函数单调性的应用，分段函数单调性的理解与应用，一次函数和反比例函数的单调性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(0,2)【解析】解：函数f(x)=|20x|−51+4x 2，所以f(−x)=|−20x|−51+4x 2=|20x|−51+4x 2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x +1)>f(2x −1)可变形为f(|x +1|)>f(|2x −1|)，因为y =|20x|和y =−51+4x 2在[0,+∞)上为单调递增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为单调递增函数，故|x −1|>|2x −1|，即(x +1)2>(2x −1)2，解得0<x <2，所以不等式的解集为(0,2)．故答案为：(0,2)．先判断函数f(x)的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性将不等式进行变形，然后由函数的单调性去掉“f ”，求解不等式即可．本题考查了函数性质的综合应用，函数与不等式的应用，主要考查了函数奇偶性以及单调性的运用，解题的关键是利用单调性去掉“f ”，考查了逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】2014【解析】解：因为函数g(x)满足g(x)=−g(1x )，所以g(√2+1)=g(√2+1)=−g(√2−1)，设ℎ(x)=ax2021+bx2019，则函数ℎ(x)为奇函数，所以F(x)=ℎ(x)+2018，故F[g(√2+1)]=ℎ(g(√2+1))+2018=2022，所以ℎ(g(√2+1))=4，所以F(g(√2−1))=F[−(g(√2+1))]=ℎ(−g(√2+1))+2018=−ℎ(g(√2+1))+ 2018=−4+2018=2014．故答案为：2014．设ℎ(x)=ax2021+bx2019，判断出函数ℎ(x)的奇偶性，则F(x)=ℎ(x)+2018，利用奇偶性以及g(x)=−g(1x)，求解即可．本题考查了函数性质的应用，主要考查了奇函数定义和性质的运用，整体代换思想的运用，构造法的运用，属于中档题．17.【答案】解：(I)当a=8时，P={x|3<x≤18}，Q={x|2a+1≤x<3a−5}= {x|17≤x≤19}，P∩Q={x|17≤x≤18}；(Ⅱ)因为Q⊆P，当Q=⌀时，2a+1≥3a−5，解得a≤6，当Q≠⌀时，{2a+1<3a−52a+1>33a−5≤18，解得6<a≤233，故a≤233，所以a的范围(−∞,233].【解析】(I)把a=8代入，先求出集合Q，然后结合集合的交集运算即可求解；(II)结合集合的包含关系对Q是否为空集进行分类讨论，即可求解．本题主要考查了集合的交集的求解及集合保护关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：根据题意，若p为真命题，当m=0时，f(x)=1，没有零点，当m≠0时，必有Δ=m2−4m<0，解可得0<m<4，综合可得：若p 为真，m 的取值范围为[0,4)；若命题q 为真，即方程x 2−(m +3)x +m +3=0有两个不相等的正实数根， 则有Δ=(m +3)2−4(m +3)>0且m +3>0，解得m >1，即p 为真时，实数m 的取值范围是(1,+∞)，若命题p 与命题q 有且只有一个真命题，则有{0≤m <4m ≤1或{m <0或m ≥4m >1， 解可得：0≤m ≤1或m ≥4，故实数m 的取值范围为[0,1]∪[4,+∞)．【解析】根据题意，分析命题p 、q 为真时m 的取值范围，又由命题p 与命题q 有且只有一个真命题，可得关于m 的不等式，解可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x 2+(m −2)x +5−m ，因为方程f(x)=0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则由零点的存在性定理可得，f(2)f(3)<0且f(3)f(4)<0，即(m +5)(2m +8)<0且(3m +13)(2m +8)<0，解得−133<m <−4，故实数m 的取值范围为(−133,−4)；(Ⅱ)因为方程f(x)=0的两个不等根都在区间(1,+∞)上，所以{Δ=(m −2)2−4(5−m)>02−m 2>1f(1)=4>0，解得m <−4，故实数m 的取值范围为(−∞,−4)．【解析】(Ⅰ)利用函数零点的存在性定理，列出不等式组，求解即可；(Ⅱ)由题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，二次函数图象与性质的运用，函数零点的存在性定理的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】证明：(I)取x =y =0得到f(0)=3f(0)，故f(x +y)=f(x)+f(y)， 设设x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=f(x 2−x 1+x 1)−f(x 1)=f(x 2−x 1)+f(x 1)−f(x 1)=f(x 2−x 1)，x 2−x 1>0，故f(x 2−x 1)<0，函数单调递减；证明：(II)f(x +y)=f(x)+f(y)，取y =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(x)=−f(−x)，所以函数为奇函数，解：(III)f(x 2+x)+f(x −3)>0，即f(x 2+x)>−f(x −3)，函数单调递减，故x 2+x <3−x ，解得−3<x <1，故不等式的解集为{x|−3<x <1}．【解析】(I)计算f(0)=0，设x 1<x 2，计算f(x 2−x 1)=f(x 2−x 1)<0得到证明， (II)取y =−x ，得到f(x)+f(−x)=0得到证明，(III)根据函数的单调性和奇偶性得到x 2+x <3−x ，解得答案．本题考查函数的奇偶性及单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)偶函数f(x)，奇函数g(x)，且满足f(x)+g(x)=x 2−x +1， 则f(−x)+g(−x)=x 2+x +1，即f(x)−g(−x)=x 2+x +1，解得f(x)=x 2+1，g(x)=−x ，当12<x <3时，则2x −1>0，3−x >0，所以y =1−2g(x)−1+44+x 2−x−f(x)=12x−1+43−x=15(12x−1+86−2x )(2x −1+6−2x)=15(6−2x 2x−1+8(2x−1)6−2x +9) ≥15(2√8+9)=4√25+95， 当且仅当6−2x 2x−1=8(2x−1)6−2x ，即x =5√2+17时取等号， 所以函数的最小值为4√25+95； (Ⅱ)当0<x ≤2时，函数y =f(x)−1x +√2+g(x)=x +√2−x ，令t =√2−x ，则t ∈[0,√2), 所以y =−t 2+t +2=−(t −12)2+94，故当t =12时，函数有最大值94，当t =√2时，函数有最小值√2，所以函数的值域为[√2,94]．【解析】(Ⅰ)先利用函数奇偶性的定义求出f(x)和g(x)的解析式，然后代入化简函数，利用基本不等式求解最值即可；(Ⅱ)先化简函数，然后利用换元法，将函数转化为二次函数，再求解值域即可．本题考查了函数性质，奇函数与偶函数的定义，利用基本不等式求解最值，二次函数图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)为R 上的一次函数，所以设f(x)=kx +b(k ≠0)，又f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则f(x)为单调递减函数，所以k <0，因为f(x)满足f[f(x)]=4x −1，则k(kx +b)+b =4x −1，所以{k 2=4kb +b =−1，解得k =−2，b =1， 所以f(x)=−2x +1；(Ⅱ)由(1)可知，f(x)=−2x +1，则−2x +1≤m 2−2am +1所有的x ∈[0,1]恒成立，因为x ∈[0,1]，则−2x +1∈[−1,1]，所以m 2−2am +1≥1对所有的a ∈[−1,1]恒成立，即m 2−2am ≥0对所有的a ∈[−1,1]恒成立，设m(a)=−2ma +m 2，则{m(1)≥0m(−1)≥0，即{−2m +m 2≥02m +m 2≥0，解得m ≤−2或m ≥2， 故实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞)；(Ⅲ)因为函数g(x)满足g(x −1x )=x 2+1x 2=(x −1x )2+2，所以g(x)=x 2+2，则ℎ(x)=2[g(x)−2]+4mx +4m−12=2x 2+4mx +4m−12，因为ℎ(x)的对称轴方程为x =−m <0，所以ℎ(x)在[1,3]上单调递增，所以ℎ(x)max =ℎ(3)，ℎ(x)min =ℎ(1)，因为对任意x 1，x 2∈[1,3]，恒有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤24，则ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤24，故(2×32+12m +4m−12)−(2×12+4m +4m−12)≤24，解得m ≤1，故实数m 的取值范围为(−∞,1]．【解析】(Ⅰ)利用待定系数法求解即可；(Ⅱ)利用函数的最值，结合函数的单调性求解即可；(Ⅲ)根据函数的单调性，结合绝对值的性质求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，函数与不等式的综合应用，函数解析式的求解，函数单调性的判断与应用，函数最值的求解，二次函数图象与性质的应用，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。
辽宁省重点六校协作体2020-2021学年高三上学期期中考试数学(理)试题
辽宁省重点六校协作体2020-2021学年高三上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合,M N I ⊂，若M N N ⋂=，则（ ） A ．I I C M C N ⊇ B ．I M C N ⊆C ．I I C M C N ⊆D ．I M C N ⊇2．不等式1021x x +≤-的解集为（ ） A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．ππππcossin cos sin 12121212⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12D ．24．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C ．4-D 5．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“ln ln x y >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知在等差数列{}n a 中，918,S =240,n S =()4309,n a n -=>则项数n 为()A ．10B ．14C ．17D ．157．若函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数2()4sin()sin cos(22)3f x x x x πωωπω=-+-在区间3[,]22ππ-上单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A ．18B ．16C ．14D ．139．已知函数()()()3,0,{2,0,log x x f x f x x -<=--≥则()2017f =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．32log10．已知实数x 、y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为A ．94B ．272C ．9D ．27411．已知过点(0,1)-与曲线323()6(0)2a f x x x x x =-+->相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,0)-∞12．定义在R 上的奇函数f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝()f x －a e －在区间2018,[]2018-上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(e ，e 3) C ．(e ，e 2) D ．(1，e 3)二、填空题13．已知ABC 中，c =1a =，cos cos a B b A =，则ABC 面积为______14．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．15．已知2x >，求()122f x x x =+-的最小值__________． 16．已知数列223211,12,122,1222,,1222n -++++++++++，其前n 项和1024n S >，则n 的最小值是________.三、解答题17．已知()2sin(2)cos26f x x a x π=++（a R ∈），其图象在3x π=取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当(0,)3πα∈，且6()5f α=，求sin 2α值．18．设函数()344f x ax x =-+过点()3,1P（1）求函数() f x 的单调区间和极值；（2）求函数() f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.19．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20．已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：111a b ==，22a b =，3321a b -=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23．已知函数()21f x x x a =---，a R ∈. (1)当1a =时，解不等式()1f x <；(2)当()1,0x ∈-时，()1f x >有解，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】作出韦恩图，根据图形判断结论． 【详解】∵M ∩N=N ，∴N ⊆M ，若把I 看作全集，作出韦恩图如图所示： ∴N 的补集包含M 的补集， 故选C ．【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查韦恩图的应用，属于基础题． 2．A 【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集． 【详解】 不等式1021x x +≤-可化简为()()1210x x +-≤ 且12x ≠根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为112x -≤<所以选A 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题． 3．D 【分析】利用余弦差的公式进行合并即可． 【详解】22πππππππcos sin cos sin cos sin cos 12121212121262⎛⎫⎛⎫-+=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算． 4．D 【分析】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解. 【详解】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0，所以20,12cos 40,44a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=. 故答案为D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 5．B 【分析】ln ln x y >等价于0x y >>,与0x >且x y >比较，根据两种条件下对应的集合关系，利用“谁的范围小谁充分，谁的范围大谁必要”原则，可得答案. 【详解】ln ln x y >等价于0x y >>，其所构成的集合{}(,)0A x y x y =>0x >，y R ∈且x y >所构成的集合{}(,),0B x y x y x =>，A B ⊆且BA∴“x y >”是“ln ln x y >”的必要而不充分条件故选B. 【点睛】本题考查充要条件的判断，运用集合关系判断充要条件的方法是解题关键.6．D 【分析】由等差数列的性质和题意可得a 5＝2，故a 5+a n ﹣4＝32，而S n ()()15422n n n a a n a a -++===240，代入可得答案． 【详解】由等差数列的性质可得S 9()19599222a a a +⨯===18， 解得a 5＝2，故a 5+a n ﹣4＝32， 而S n ()()15422n n n a a n a a -++===16n ＝240，解得n ＝15，故选D ． 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，利用性质整体代入是解决问题的关键，属于基础题． 7．C 【分析】由函数()xxf x a a-=-在R 上为减函数，可知01a << ，判断函数log (||1)a y x =-的定义域和单调性即可得解 【详解】由函数()xxf x a a-=-在R 上为减函数，可知01a <<函数log (||1)a y x =-的定义域为{|1x x >或1}x <-，故排除A ，B又log (1),1log (1)log (1),1a aa x x y x x x ->⎧=-=⎨--<-⎩，可知log (||1)a y x =-在(1,)+∞单调递减，故排除D 故选：C 【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档题. 8．B【分析】由()()24sin sin cos 223f x x x x πωωπω⎛⎫=-+-⎪⎝⎭21x ω=+在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，利用正弦函数的单调性能求出正数ω的最大值． 【详解】因为22()4sin cos cos sin sin cos 233f x x x x x ππωωωω⎛⎫=-+⎪⎝⎭2cos 2sin cos 2x x x x ωωωω=++1cos 222cos 22xx x ωωω-=+⋅+21x ω=+.由函数()y f x =在区间33,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增知，所以332222Tπππω⎛⎫--≤= ⎪⎝⎭，即32ππω≤，结合0>ω，可得106ω<≤.所以正数ω的最大值为16，故选B. 【点睛】本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正弦公式、正弦函数单调性的合理运用． 9．B 【分析】本题可以对分段函数进行分开讨论，0x ≥时，函数是一个周期函数，0x <时，函数是对数函数． 【详解】当0x ≥时，()()2f x f x =--，即有()()24f x f x -=--， 两式合并，可得()()()4f x f x f x =-，是周期为4的函数， 既()()()2017120161f f f =+=，()()()1121f f f =--=-- 当0x <时，()()3f x log x =-，既()()3110f log -== 综上所述，()()201710f f =--=． 【点睛】若函数满足()()f x f x a =--，则函数为周期函数，周期为2a ． 10．D 【分析】首先画出不等式所表示的平面区域，其面积转化为三角形面积的计算． 【详解】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩表示的可行域如图所示：可知其平面区域表示一个三角形（阴影部分），其面积为132733224S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.故选D ． 【点睛】在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定界，点定域”的方法来表示平面区域，即先作直线Ax By C 0++=，再在它将平面分成的两个区域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入直线Ax By C 0++=，确定它的符号，从而确定一元二次不等式所示的平面区域，在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线经过原点，则取（1，0）即可，这样能简化运算过程． 11．A 【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，得到切线方程，代入(0,-1) ,利用方程.由两个不相同的实数解，构造函数通过函数的导数，利用函数的极值转化求解即可. 【详解】由曲线323()6(0)2a f x x x x x =-+->，可设切点坐标为()323,602a t t t t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，且2()336f x x ax '=-+-，即切线的斜率2336k t at =-+-可得切线方程为()()322363362a y t t t t at x t =-+-+-+--， 又因为切线过点(0,1)-，即()()3223163362a t t t t at t -=-+-+-+--，整理得324320t at -+=题中相切的直线有且仅有两条等价于方程324320t at -+=由两个不相同的正实数解； 令()32432h t t at =-+，即函数有两个正的零点因()21260h t t at '=-=，可解得0,2a t t ==又()3102;2024a h h a ⎛⎫==-+<⎪⎝⎭，可得2a > 所以实数a 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A 【点睛】本题考查由转化思想将曲线的切线条数转化为方程的根进而转化为函数的零点问题处理，还考查了利用导数求曲线的切线方程，属于较难题. 12．B 【分析】根据满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数，可周期为4，当[0,1]x ∈时，()f x x =，根据()()m x f x =与()xn x ae -=图像，判断在一个周期内的焦点情况即可求解．【详解】因为()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-且为奇函数， 函数()(2)()f x f x f x =-=--，∴()f x 周期为4， ∵当[0,1]x ∈时，()f x x =，作()()m x f x =与()xn x ae -=图像，函数()()xg x f x ae-=-在区间2018,[]2018-上有4032个零点，即()()m x f x =与()xn x ae -=在[0,4]且仅有两个交点，∴(1)(1)(3)(3)m n m n <⎧⎨>⎩即3e a e <<.点睛：本题主要考查了函数的基本性质的应用及不等式的求解，周期的求解等知识点应用，其中正确合理运用函数的基本性质是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．13【分析】由已知及正弦定理可得sin （A ﹣B ）=0，结合A ，B 的范围，可求﹣π＜A ﹣B ＜π，进而求得A ﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA ，同角三角函数基本关系式可求sinA ，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】 ∵acosB=bcosA ，∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA ，可得：sin （A ﹣B ）=0， ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，可得：﹣π＜A ﹣B ＜π， ∴A ﹣B=0，可得：a=b=1，∴cosA=2222b c a bc+-sinA=12，∴S △ABC =12bcsinA=11122⨯【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 14．12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 15．4+【分析】 化简()()11222422f x x x x x =+=-++--，利用基本不等式可得结果. 【详解】2,20x x >∴->，()()11222422f x x x x x ∴=+=-++--44≥=，当且仅当()1222x x -=-，即22x =+时取等号， ∴函数()f x 的最小值为4+,故答案为4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．10 【分析】依题意数列每一项都是一个等比数列的和，进而得出数列的通项公式和前n 项和公式，进而求出n S ,根据1024n S >求出n 的范围. 【详解】由题可知，数列的每一项都是一个等比数列的和 所以数列的通项公式是()1122112n n na -==--则()23121222222212n n n nS n n n +-=+++⋅⋅⋅+-=-=---因为1024n S >，1021024=，且当9n =时，10922910111024S =--=<故10n ≥ 故答案为：10 【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，还考查了由前n 项和的大小求项数的最小值，属于简单题. 17．（1）()2sin(2)6f x x π=-；（2. 【分析】（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据最值取法得a ，最后根据配角公式化为基本三角函数，（2）先根据条件()65f α=得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和正弦公式求sin2α值. 【详解】（1）()2sin 2cos26f x x a x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2sin2cos 2cos2sin cos266x x a x ππ=++()1cos2x a x ++由在3x π=取得最大值，()221cos 333f a πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∴ ()220a +=，即2a =-，经检验符合题意∴ ()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．（2）由0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 2,662πππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()62sin 265f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴ 3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20,62ππα⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ sin2sin 2+sin 22sin 666666cos cos ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯=． 【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．18．（1）增区间(,2)-∞-，(2,)+∞，减区间(2,2)-，极大值28(2)3f -=，极小值4(2)3f =-．（2）最大值233，最小值43-．【分析】（1）将点代入函数解析式即可求得a ，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值. 【详解】（1）∵点()3,1P 在函数()f x 的图象上,∴()3271242781f a a =-+=-=,解得13a =,∴()31443f x x x =-+,∴()()()2'422f x x x x =-=+-,当2x <-或2x >时,()'0f x >,()f x 单调递增;当22x -<<时, 0fx,()f x 单调递减.∴当2x =-时,()f x 有极大值,且极大值为()()128288433f -=⨯-++=,当2x =时, ()f x 有极小值,且极小值为()14288433f =⨯-+=-（2）由1可得:函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减,在区间[]2,3上单调递增.∴()min f x()423f ==-,又()12314433f -=-++=,()391241f =-+=,∴()max f x()2313f =-=【点睛】本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断. 19．(1)60°；(2)6. 【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得1cos 2C =，即可求解角C 的大小； 法二：由题意，利用余弦定理化简得到2cos c c C =，即1cos 2C =，即可求解角C 的大小； （2）法一：由余弦定理及基本不等式，得4a b +≤，进而得ABC 周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得4sin(30)2a b c A ++=++，进而求解ABC 周长的最大值.详解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =． 法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==， 解得1cos 2C =，所以3C π=． （2）法一：由余弦定理及基本不等式，()222243c a b ab a b ab ==+-=+- ()()222324a b a b a b ++⎛⎫≥+-=⎪⎝⎭， 得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故ABC 周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ===故周长)sin sin 2a b c A B ++=++ ()sin sin 602A A ⎤=+++⎦3sin 22A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭()4sin 302A =++ ∵()0,120A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6．法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030CAD ADC ∠=∠=，于是，在ABD 中，由正弦定理：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，即()24sin30sin 30a b A +==+，故周长()4sin 302a b c A ++==++，∵()0,120A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20．（1）1n n a b ==或21n a n =-，13n n b -=（2）n S n =或(1)31nn S n =-⨯+【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式将所有已知化为首项与公差和公比的方程，解方程组求得基本量，即可求得答案； （2）由错位相减法求数列的前n 项和.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 由已知可得212(12)1d qd q +=⎧⎨+-=⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩或23d q =⎧⎨=⎩. 从而1n n a b ==或21n a n =-，13n n b -=.（2）①当1n n a b ==时，1n c =，所以n S n =；②当21n a n =-，13n n b -=时，1(21)3n n c n -=-⨯，2311335373(21)3n n S n -=+⨯+⨯+⨯++-⨯， 23433335373(21)3n n S n =+⨯+⨯+⨯++-⨯，从而有231(13)123232323(21)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯2112(333(21)3n n n -=++++--⨯13(13)12(21)32(1)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，故(1)31nn S n =-⨯+.综合①②，得n S n =或(1)31nn S n =-⨯+.【点睛】本题考查等差数列等比数列的基本量求通项公式，还考查了错位相减法求和，属于简单题. 21．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞-【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围．（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e eφφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142e e a e e e >>=>-, 此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e e x x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭,即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）2(2x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩是参数）. （2）11,(3,4). 【解析】试题分析：（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到圆C 的直角坐标方程，从而可得圆C 的一个参数方程；（2）由（1）可设点(2,2)P ϕϕ++，借助辅助角公式即可得2x y +，从而可得2x y +的最大值及点P 的直角坐标.试题解析：(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以22+4430x y x y --+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由(1)可知点P的坐标可设为(2,2)ϕϕ，则224x y ϕϕ+=+++65sin()6ϕϕϕα=++=++其中cos ,sin 55αα==，当2x y +取最大值时，sin()1ϕα+=，2,2k k Z πϕαπ+=+∈，此时cos cos()sin 25πϕαα=-==，sin sin()cos 2πϕαα=-==所以2x y +的最大值为11，此时点P 的直角坐标为()3,4.23．（1）()1f x <的解集为{}11x x -<< （2）a 的取值范围为[]3,1-【详解】分析：(1)将1a =代入函数解析式，里用零点分段法，将函数解析式中的绝对值符号去掉，分段讨论，求得结果；（2）问题转化为min (3)a x >且max ()a x <-，根据函数的单调性求出a 的范围即可.详解：（1）当1a =时，()211f x x x =--- 1,2132,12,1x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩，当12x ≤时，11x x -<⇔>-，∴112x -<≤； 当112x <≤时，3211x x -<⇔<，∴112x <<； 当1x >时，1x <，无解； 综上，不等式()1f x <的解集为{|11}x x -<<.（2）当()1,0x ∈-时，()1f x >有解2x a x ⇔-<-有解22x x a x ⇔<-<-有解3x a x ⇔<<-有解，∵33x >-，1x -<，∴31a -<<.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，第一问应用零点分段法，将其转化为多个不等式组求得结果；第二问将不等式有解问题向最值靠拢，即可求得结果.。
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期期中考试试题
D
本题先对 求导，然后设曲线C上任意一点P坐标为 ，则曲线C在点 处 切线斜率为 ，代入 ，计算出 的取值范围，即可得到 的取值范围，从而可得倾斜角 的取值范围，得到正确选项．
解：由题意可知， ，
曲线C在点 处的切线斜率为 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
∴ ，即 ，∴ ．故选：D．
设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
因此 ，
所以 ，
所以数列 的前50项的和为
.
故答案为： .
15.已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，又当 时， ，则 的值等于______.
由题可知函数的周期为2，结合奇函数性质可得 ，代入解析式即可求解.
， 是周期为2的函数，
， ，
是定义在 上的奇函数，
不等式 恒成立的条件是 ， ，故A不正确；
当a为负数时，不等式 成立.故B正确；
由基本不等式可知C正确；
对于 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故D正确.故选：BCD.
10.函数 在一个周期内的图象如图所示,则( )
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的对称中心为
C. 该函数的单调递增区间是
D. 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得到该函数图象
（1） ； （2）
（1）利用 求得数列 的通项公式.由 求得 ，由此求出数列 的公比，进而求得数列 的通项公式.
（2）先判断出 ，结合等差数列前 项和公式以及等比数列前 项和公式，求得 的前20项和.
（1）∵ ，
∴当 且 时 .
又 也符合上式，∴ .
∵ ， ，
∴等比数列 的公比为2，
2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中数学(理) 试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中数学（理） 试题一、单选题1．已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{|0}x x e <<B ．{123}，，C ．{012}，， D ．{12}，【答案】D【解析】由图像可知阴影部分对应的集合为A B I ,然后根据集合的基本运算求解即可. 【详解】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为A B I ,Q {|3}A x Z x =∈≤, {|ln 1}B x x =<={|0}x x e <<,∴A B I ={}12，,故选D. 【点睛】本题考查考查集合的基本运算，利用图像先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础. 2．i 为虚数单位，复数2i 1z =+在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()11-， B ．()11， C ．()11-，D ．()11--，【答案】C【解析】化简复数为a+bi 的形式，即可得到其在复平面内对应的点的坐标. 【详解】解：在复数平面内，复数21z i =+=2(i-1)2(1)1(1)(1)2i i i i -==-+--， 故对应的点的坐标为()11，-， 故选C. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算，复数对应的点的几何意义，属于基本知识的考查.3．已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则圆心(),a b 到直线0x y +=2，22a b +=，化简得2a b +=，即2a b +=±.充分性：若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则2a b +=±，充分性不成立； 必要性：若2a b +=，则直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，必要性成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 故选B.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据幂函数的单调性性，得到1b a >>，再根据对数的运算性质，得到1c >，即可得到答案. 【详解】由题意，幂函数23y x =在(0,)+∞上为单调递增函数，所以232311132⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由对数的运算性质，可得3log 1c π=>， 所以c b a >>，故选D. 【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 3456784.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-A ．0a >，B ．0a >，C ．0a <，D ．0a <，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由表格数据,x y 的变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a > 【考点】回归方程 7．已知43(,0),cos()sin 365ππααα∈-+-=，则sin()12πα+的值是（ ）A ．23B ．210-C 23D ．45-【答案】B【解析】由43cos sin 6παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，335sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭变形1234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】 由43cos sin 6παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 可得3343cos 2sin αα-=， 134cos 25sin αα-=， 4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,0,0,333πππαα⎛⎫⎛⎫∈-∴+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，335sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22cos 2323sin ππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 234225510⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8．函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解. 【详解】解：由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(,m -∞-为减函数，在(),0m -为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意； 当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在(m -为减函数，在),m -+∞为增函数，即选项B 满足题意，即函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 ( ) A ．336 B ．340 C ．352 D ．472【答案】A【解析】分行政部门选一人和行政部门选二人分别计算选取方法的种数，相加可得答案. 【详解】解：由题意可得，①行政部门选一人，若其他两人为同一部门有112434C C C =72种， 若其他人不为同一部门有111114342412C C C C C =192种， ②行政部门选二人，有211434C C C =72种， 综上共有72+192+72=336种，故选A. 【点睛】本题考查了分类计数原理与排列组合，关键是如何分类，属于中档题. 10．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．4a b +> B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +<【答案】D【解析】由3412a b ==可得341212a log b log ==，，从而可得121211341log log a b+=+=， 故()a b ab a b +=≠，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论． 【详解】 ∵3412a b ==，∴341212a log b log ==，， ∴121211341log log a b+=+=， 整理得()a b ab a b +=≠．对于A ，由于22a b a b ab +⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，解得4a b +>，所以A 成立． 对于B ，由于2ab a b ab =+>4ab >，所以B 成立． 对于C ，()()()222222112222a b a b a b a b ab -+-=+-++=+-+()222a b =-+>，所以C 成立．对于D ，由于()22224222a ba b a b +<+<=+228a b +>，因此D 不成立．故选D ． 【点睛】ab2222a b a b ++≤的应用，同时也要注意不等式所需的条件，即“一正、二定、三相等”． 11．已知向量,OA OB u u u r u u u r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30AOC ︒∠=，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，若||12||OA OB =u u u ru u ur ，则m n =（ ）A ．36B ．4C ．23D ．14【答案】C【解析】根据题意由0OA OB ⋅=u u u r u u u r 得OA OB ⊥，建立如图所示的直角坐标系，由||12||OA OB =u u u ru u ur ，不妨设 (1,0)A ，(0,2)B ，则(,2)C m n ，再利用正切的定义结合30AOC ︒∠=建立关于,m n 的等式，即可解出mn的值。
2020-2021沈阳市高三数学上期中一模试卷(附答案)
2020-2021沈阳市高三数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．36．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．10．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．14．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 16．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．17．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________.19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+，则其前15项的和等于_______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知函数()3sin cos f x x x =-.（1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
辽宁省沈阳市五校协作体2020届高三数学上学期期中联考试题文
辽宁省沈阳市五校协作体2020届高三数学上学期期中联考试题 文试卷说明：本试卷分第I 卷选择题（1-12共60分）和第II 卷（非选择题13-23题共90分）。
答卷前考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
考试时间：120分钟 考试分数：150分 第I 卷（选择题 共60分）一．选择题： （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若集合2{06},{20}A x x B x x x =<<=+->，则A B =U （ ） A. {16}x x << B.{2,0}x x x <->或 C.{26}x x << D.{2,1}x x x <->或2、设1i2i 1iz -=++，则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．23、函数部分图象可以为（ ）A.B.C. D.4、A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ） A ． B ． C ． D ．5、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥； ②若//,,m αββ⊂则//m α； ③若,//,//m m n ααβ⊥，则n β⊥； ④若//,//,//m n m n αβ，则//αβ. 其中正确命题的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.③④6、朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。
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11．已知向量 满足 ，点 在 内，且 ，设 ，若 ，则 （）
A． B．4C． D．
12．设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若实数 ， 满足条件 ，则 的最大值是__________．
14．由曲线 （x≥0）与它在 处切线以及x轴所围成的图形的面积为___________．
A． B．
C． D．
9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 ( )
A．336B．340C．352D．472
10．已知 ，则 不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 都是实数， ：直线 与圆 相切； ： ，则 是 的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
故选：D.
【点睛】
本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.
6．A
【分析】
通过样本数据表，容易判断回归方程中， 、 的符号．
【详解】
解：样本平均数 ， ，
， ， ，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
7．B
【分析】
由 可得 ， 变形 ，利用两角差的余弦公式可得结果.
辽宁省沈阳市五校协作体2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A． B．
C． D．
2． 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
解:由图像可知阴影部分对
故选D.
【点睛】
本题考查考查集合的基本运算，利用图像先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.
2．C
【分析】
化简复数为a+bi的形式，即可得到其在复平面内对应的点的坐标.
【详解】
解：在复数平面内，复数 = ，
故对应的点的坐标为 ，
故选C.
【点睛】
【分析】
由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
5．D
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】
解：因为 ，
，
所以 ， ， 的大小关系为 .
(1)求证： ；
(2)设 为线段 上的动点，若线段 长的最小值为 ，求二面角 的余弦值.
21．已知 ， .
（1）当 时，求证： ；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
15．三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是 边上的一个动点，且直线 与面 所成角的最大值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
16．对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有性质P.
（1）下列函数中具有性质P的有
①
②
③ ，
（2）若函数 具有性质P，则实数 的取值范围是.
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）射线 ： 与曲线 交于点 ，射线 ： 与曲线 交于点 ，求 的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]
设函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）求证： ．
参考答案
1．D
【分析】
由图像可知阴影部分对应的集合为 ,然后根据集合的基本运算求解即可.
【详解】
【详解】
由
可得 ，
，
，
，
，
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
6．根据如下样本数据，得到回归方程 ，则
3
4
5
6
7
8
4.0
2.5
0.5
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的图象不可能是( )
时间 （分）
频数
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分．（1）写出王先生一次租车费用 （元）与用车时间 （分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过 分为“路段畅通”，设 表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求 的分布列和期望.
20．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
本题主要考查复数代数形式的运算，复数对应的点的几何意义，属于基本知识的考查.
3．B
【解析】
若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 的距离等于半径 ，即 ，化简得 ，即 .
充分性：若直线 与圆 相切，则 ，充分性不成立；
必要性：若 ，则直线 与圆 相切，必要性成立.
故 是 的必要不充分条件.
故选B.
4．A
三、解答题
17．已知数列{an}满足 ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18．如图，在四边形 中， ， ， 的面积为 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
19．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过 分时，按 元/分计费；超过 分时，超出部分按 元/分计费．已知王先生家离上班地点 公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：