高中数学必修5第二章数列题组训练
高一数学必修五第二章试题——数列(带答案)
高一数学必修五第二章试题——数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于()A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．记等差数列的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝() A．2 B．3 C．6 D．73．在数列{a n}中，a1＝2，2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．524．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝()A．45 B．50 C．75 D．605．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18 B．24 C．60 D．906．等比数列{a n}的通项为a n＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n}，那么162是新数列{b n}的()A．第5项B．第12项C．第13项D．第6项7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为()A．54钱B．43钱C．32钱D．53钱8．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{b n}的前n项和S n＝3n，若a m＝b1＋b4，则正整数m等于()A．29 B．28 C．27 D．269．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2且a2，a4＋2，a5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．8110．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．7611．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝n －2(n ∈N *)12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( )A ．3690B ．1830C ．1845D ．3660二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，求a c ＋c a 的值．18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算．21．(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2，数列{b n}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．(本小题满分12分)已知a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n)}是等比数列；(2)设T n＝(1＋a1)·(1＋a2)…(1＋a n)，求T n；(3)记b n＝1a n＋1a n＋2，求数列{b n}的前n项和S n，并证明S n<1．一、选择题1．答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12．∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列．∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ①又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3．所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．7．答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ． 8．答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n ，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4，∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4，∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2，∴S 5＝2(1－25)1－2＝62．故选B ． 10．答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，∴S 14＝7×(1－5)＝－28，a 15＝60－3＝57，S 22＝11×(1－5)＝－44，S 30＝15×(1－5)＝－60，a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61．∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．答案 C解析 令2x －1＝x (x ≤0)，易得x ＝0．当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ，即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1．当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ，即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ，故2x －2＋1＝x ，则x ＝2．因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60) ＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58)＝30＋4×450＝1830．故选B ．二、填空题13．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12，又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)．∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)．∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1．又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2．15．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ，则T n ＝n (2＋3n －1)2＝32n 2＋12n ． 设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9． 由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题17．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ． ②由①，得4b 2·15ac ＝64． ③将②代入③，得1a ＋1c 2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415．∴c a ＋a c ＝3415．18．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ①∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12．又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n＝12， 故数列{c n }是等比数列．(2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1． 故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ． 又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2． ∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1． 20．解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98，∴a n ＝a 1×q n －1＝1000×0．98n －1．∵离火山口1225米处的位置在第25区， ∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ．依题意得⎩⎨⎧ b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *，∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大． 21．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， ∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列．设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1． 即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1． (2)∵c n ＝a n b n＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1， 4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．22．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )，∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·322·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1．(3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)．∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1， ∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎝ ⎛ 1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋ ⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n －1，∴S n ＝1－232n －1． 32n －1>32－1＝8>2，∴0<232n －1<1．∴S n <1．。
人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)
②指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由． 解：① S12 6(a1 a12 ) 6(a3 a10 ) 6(2 a3 7 d ) 0
24 7d 0 24 8d 0
d
24
又 S13 13( a1 a13 )
13
Hale Waihona Puke 13(a3 a11)(2 a3 8d ) 0
7
2
2
2
d3
从而 24 d 3 7
三、等比数列
知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
q，q 0 ．
2. 递推关系与通项公式
递推关系： an 1 qan 通项公式： an a1 q n 1 推广： an am q n m
3. 等比中项： 若三个数 a, b,c 成等比数列， 则称 b 为 a 与 c 的等比中项， 且 b
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟
28(舍去）
1 10．已知数列 an 中， a1 3，前 n 和 Sn (n 1)( an 1) 1．
2
①求证：数列 an 是等差数列；
②求数列 an 的通项公式；
③设数列
1 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn
an an 1
M 对一切正整数 n 都成立 ?
② Q S12 6( a6 a7) 0 S13 13a7 0 a7 0， a6 0
S6 最大。
1． 已知等差数列 an 中， a7 a9 16， a 4 1，则 a12 等于 ( )
A ． 15
B． 30
C． 31
D ． 64
(完整版)人教版高中数学必修5第二章__数列练习题
第二章数列1．{ a } 是首 a ＝ 1，公差 d＝ 3 的等差数列，假如 a ＝ 2 005，序号 n 等于 () ．n1nA． 667B．668C．669D．6702．在各都正数的等比数列{ a } 中，首 a ＝ 3，前三和21， a ＋ a ＋ a ＝n1345 () ．A． 33B．72C．84D．1893．假如 a ， a ，⋯， a各都大于零的等差数列，公差d≠ 0， () ．128A． a1a8＞ a4a5 B ． a1a8＜ a4a5C．a1＋ a8＜ a4＋ a5 D ． a1a8＝ a4a54．已知方程 ( x2－2x＋ m)( x2－ 2x＋ n) ＝0 的四个根成一个首1 的等差数列，4｜ m－n｜等于 () ．A． 1 B ．3C．1D ．3 4285．等比数列 { a } 中， a ＝ 9， a ＝243， { a } 的前 4和 ().n25nA． 81 B ．120C． 168D．1926．若数列 { a n} 是等差数列，首a1＞ 0，a2 003＋ a2 004＞ 0，a2 003·a2 004＜ 0，使前 n 和 S n＞ 0建立的最大自然数n 是() ．A． 4 005B．4 006C．4 007D．4 0087．已知等差数列 { a } 的公差2，若 a ， a， a 成等比数列 ,a ＝ () ．n1342A．－ 4B．－ 6C．－ 8D．－108． S n是等差数列 { a n} 的前 n 和，若a5＝5，S9＝() ．a39S5A． 1B．－ 1C．2 D ．12 9．已知数列－12123a2a1a a ，－ 4成等差数列，－ 1b b b ，－ 4 成等比数列b2的是 () ．A．1B．－1C．－1或1D ．122224n n n－1－a n2＋ an＋12n－1＝38， n＝ () ．10．在等差数列 { a } 中，a ≠ 0，a＝ 0( n≥ 2)，若 SA． 38B．20C．10 D ． 9二、填空11． f( x) ＝1，利用本中推等差数列前n 和公式的方法，可求得f( － 5) 2x2＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0)＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6)的.12．已知等比数列 { a n} 中，( 1) 若 a3· a4· a5＝ 8， a2· a3· a4· a5· a6＝．( 2) 若 a1＋ a2＝ 324，a3＋a4＝ 36， a5＋a6＝．( 3) 若 S4＝ 2， S8＝ 6， a17＋ a18＋ a19＋a20＝.13．在8和27之插入三个数，使五个数成等比数列，插入的三个数的乘．3214．在等差数列 { a n} 中，3( a3＋ a5) ＋ 2( a7＋ a10＋ a13) ＝ 24，此数列前13 之和.15．在等差数列 { a } 中， a ＝ 3， a ＝－ 2， a ＋ a ＋⋯＋ a ＝.n56451016．平面内有 n 条直 ( n≥ 3) ，此中有且有两条直相互平行，随意三条直不同一点．若用f( n) 表示n 条直交点的个数，f( 4) ＝；当 n＞ 4 ， f( n)＝．三、解答17． ( 1)已知数列 { a n} 的前 n 和 S n＝ 3n 2－2n，求数列 { an}成等差数列.( 2)已知1，1，1成等差数列，求b c ， c a ， ab也成等差数列 .a b c a b c18． { a n} 是公比q的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列．( 1) 求 q 的；( 2) { b n首 ， q 公差的等差数列，其前n ，当 n ≥ 2n}是以 2 n 和 S，比 S与 b n 的大小，并 明原因．19．数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝1， a n ＋ 1＝n2S n ( n ＝ 1， 2，3⋯ ) ．n求 ：数列 {S n} 是等比数列． n20．已知数列 { a n } 是首 a 且公比不等于 1 的等比数列， S n 其前 n 和， a 1， 2a 7，3a 4 成等差数列，求 ：12S 3， S 6 ，S 12－S 6 成等比数列 .第二章数列参照答案一、选择题1． C分析：由题设，代入通项公式a n＝ a1＋ ( n－ 1) d，即 2 005＝1＋ 3( n－1) ，∴ n＝ 699．2． C分析：此题考察等比数列的有关观点，及其有关计算能力．设等比数列 { a n} 的公比为q( q＞ 0) ，由题意得a1＋a2＋ a3＝ 21，即 a1( 1＋ q＋ q2) ＝ 21，又 a1＝ 3，∴ 1＋ q＋q2＝ 7．解得 q＝ 2 或 q＝－ 3( 不合题意，舍去 ) ，∴ a3＋ a4＋a5＝a1q2( 1＋ q＋ q2) ＝ 3× 22× 7＝ 84．3． B．分析：由 a1＋ a8＝ a4＋ a5，∴清除C．又 a1· a8＝a1( a1＋ 7d) ＝ a12＋ 7a1d，∴a4· a5＝( a1＋3d)( a1＋ 4d) ＝ a12＋ 7a1d ＋ 12d2＞a1· a8．4． C分析：解法 1：设 a1＝1， a2＝1＋ d， a3＝1＋ 2d， a4＝1＋ 3d，而方程 x2－ 2x＋ m＝ 0 中两4444根之和为 2， x2－ 2x＋ n＝0 中两根之和也为2，∴a1＋ a2＋a3＋a4＝ 1＋ 6d＝4，∴ d＝1，a1，a7是一个方程的两个根， a1＝3，a3＝5是另一个方程的两个根．1＝4＝44424∴7，15分别为 m 或 n，16 16∴｜ m－ n｜＝1，应选 C．2解法 2：设方程的四个根为x1， x2， x3， x4，且x1＋ x2＝ x3＋ x4＝ 2，x1·x2＝m， x3· x4＝ n．由等差数列的性质：若＋ s＝ p＋q，则 a ＋ a s＝ a p＋ a q，若设 x1为第一项， x2必为第四项，则 x2＝7，于是可得等差数列为 1 ， 3，5，7，∴ m ＝ 7 ， n ＝15，1616∴｜ m － n ｜＝ 1．2 5． B分析：∵ a 2＝ 9，a 5＝243，a 5＝q 3＝243＝ 27，a 29∴ q ＝ 3，a 1q ＝ 9， a 1＝ 3，5∴ S 4＝ 3－3 ＝ 240＝ 120．1－326． B分析：解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004＞0， a 2 003· a 2 004＜0，知 a 2 003 和 a 2 004 两项中有一正数一负数，又 a 1＞ 0，则公差为负数，不然各项总为正数，故a 2 003＞ a 2 004，即 a 2 003＞ 0， a 2 004＜ 0.∴ S 4 006＝4 006( a 1＋a4 006 ) ＝4 006( a2 003＋a2 004 )＞0，22∴ S 4 007＝4 007· ( a 1＋ a 4 007) ＝4 007· 2a 2 004＜ 0，22故 4 006 为 S n ＞ 0 的最大自然数 . 选 B ．解法 2：由 a 1＞ 0，a 2 003＋a 2 004＞ 0，a 2 003·a 2 004＜ 0，同解法 1 的剖析得 a 2 003＞ 0， a 2 004＜ 0，∴ S 2 003为 S 中的最大值．n∵ S n 是对于 n 的二次函数，如草图所示，∴ 2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小，∴4 007在对称轴的右边．(第6题)2依据已知条件及图象的对称性可得4 006 在图象中右边零点 B 的左边， 4 007， 4 008 都在其右边， S n ＞0 的最大自然数是 4 006．7． B分析：∵ { a n } 是等差数列，∴ a 3＝ a 1＋ 4， a 4＝a 1＋6，又由 a 1， a 3， a 4 成等比数列，∴ ( a 1＋4) 2＝ a 1( a 1＋ 6) ，解得 a 1＝－ 8，∴ a 2＝－ 8＋ 2＝－ 6．8．A分析：∵S 99(a 1 a 9 )＝9a 5＝9·5＝1，∴ A ．＝ 5(a 1 2S 5a 5) 5 a59239．A分析： d 和 q 分 公差和公比， － 4＝－ 1＋ 3d 且－ 4＝( － 1) q 4，∴ d ＝－ 1， q 2＝ 2，∴ a 2 a 1 ＝ d ＝ 1．b 2q 2210．C分析：∵ { a n } 等差数列，∴a n 2 ＝ a n － 1 ＋ a n ＋1，∴ a n 2 ＝ 2a n ，又 a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，{ a n } 常数数列，而 a n ＝ S 2 n 1，即 2n 1∴ n ＝10．二、填空 11．3 2．分析：∵ f( x) ＝2x1∴ f( 1－ x) ＝21 x∴ f( x) ＋ f( 1－ x) ＝2n －1＝ 38＝ 19，21，21 x＝2x＝ 2 22 x，2222 2 x1(2 2)1 21 12xxx1＋2＝2＝2＝2 ． 2 2x 2 2x 2 2 x2 2x2S ＝f( － 5) ＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6) ，S ＝f( 6) ＋ f( 5) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( － 4) ＋ f( － 5) ，∴ 2S ＝[ f( 6) ＋ f( － 5)] ＋[ f( 5) ＋ f( － 4)] ＋⋯＋ [ f( － 5) ＋ f( 6)] ＝ 6 2 ， ∴ S ＝f( －5) ＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6) ＝3 2．12．（1） 32；（2） 4；（ 3） 32．分析：（ 1）由 a 3· a 5＝ a 42 ，得 a 4＝ 2， ∴ a 2· a 3·a 4 ·a 5· a 6＝ a 45 ＝32．a1a2324q 2 1 ，（ 2）221369(a a )q∴a5＋ a6＝( a1＋a2) q4＝ 4．S4＝ a1＋a 2＋ a3＋ a4＝2q4＝2 ，（ 3）＋ S q 4S ＝a ＋ a ＋＋ a ＝ S812844∴a17＋ a18＋ a19＋ a20＝S4q16＝ 32．13． 216．分析：本考等比数列的性及算，由插入三个数后成等比数列，因此中数必与8 ，27同号，由等比中的中数827＝ 6，插入的三个数之8×27×6＝216．323232 14． 26．分析：∵ a3＋ a5＝ 2a4， a7＋a13＝ 2a10，∴6( a4＋ a10) ＝24， a4＋ a10＝ 4，∴ S13( a1＋a13 )＝ 13( a4＋ a10 ) ＝ 134＝26．13＝222 15．－ 49．分析：∵ d＝ a6－a5＝－ 5，∴a4＋ a5＋⋯＋ a10＝7( a4＋a10)2＝7( a5－ d＋ a5＋5d )2＝7( a5＋ 2d)＝－ 49．116． 5，( n＋ 1)( n－ 2) ．分析：同一平面内两条直若不平行必定订交，故每增添一条直必定与前方已有的每条直都订交，∴ f( k) ＝ f( k－ 1) ＋ ( k－ 1) ．由 f( 3) ＝2，f( 4) ＝ f( 3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝5，f( 5) ＝ f( 4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋4＝ 9，⋯⋯f( n) ＝ f( n － 1) ＋ ( n － 1) ，相加得 f( n) ＝ 2＋ 3＋ 4＋⋯＋ ( n － 1) ＝ 1( n ＋1)( n － 2) ．2 三、解答17．剖析： 判断 定数列能否 等差数列关 看能否 足从第2 开始每 与其前一差 常数．明：（ 1） n ＝1 ， a 1＝ S 1＝3－ 2＝ 1，当 n ≥2 ， a n ＝S n －S n － 1＝ 3n 2－2n － [ 3( n － 1) 2－ 2( n －1)] ＝ 6n －5，n ＝ 1 ，亦 足，∴a n ＝ 6n － 5( n ∈N* ) ．首 a 1＝ 1， a n － a n － 1＝ 6n － 5－[ 6( n － 1) － 5] ＝ 6( 常数 )( n ∈ N* ) ，∴数列 { a n } 成等差数列且 a 1＝1，公差 6．111（ 2）∵， ， 成等差数列，∴ 2 ＝ 1 ＋ 1化 得 2ac ＝b( a ＋ c) ． b a cb ＋c ＋ a ＋b ＝ bc ＋ c 2＋ a 2＋ ab ＝ b( a ＋ c)＋a 2＋ c 2＝( a ＋ c) 2＝( a ＋ c)2＝ a c ac ac acb( a ＋c)2a ＋ c2·，∴b ＋ c， c ＋ a ， a ＋ b也成等差数列．abc18．解：（ 1）由2a 3＝a 1 ＋a 2，即 2a 1q 2＝ a 1＋ a 1q ，∵ a 1≠ 0，∴ 2q 2－ q －1＝ 0，∴ q ＝1 或－1． 22（ 2）若 q ＝ 1， S n ＝ 2n ＋n( n －1)＝ n＋3n．2 2当 n ≥2 ， S n －b n ＝S n － 1＝( n －1)( n ＋2)＞ 0，故 S n ＞b n ． 2若 q ＝－ 1 ， S n ＝ 2n ＋n( n －1) ( － 1 ) ＝ － n 2＋9n ． 2 2 2 4当 n ≥2 ， S n －b n ＝S n － 1＝( n －1)( 10－n)， 4故 于 n ∈ N +，当nnn n ；当 n ≥ 11n n．2≤ n ≤ 9 ， S ＞ b ；当 n ＝ 10 ， S＝b ， S＜ b 19． 明：∵ a＝ S －S a n ＋2 ，＝Sn ＋1n ＋1n ， n ＋1nn∴ ( n ＋2) S ＋＋因此Sn ＋1＝ 2S n ．n ＋1n故 {S n} 是以 2 为公比的等比数列． n20．证明：由 a 1， 2a 7， 3a 4 成等差数列，得 4a 7＝ a 1＋3a 4 ，即 4 a 1q 6＝ a 1＋ 3a 1q 3，变形得 ( 4q 3＋ 1)( q 3 －1) ＝ 0，∴ q 3＝－ 1或 q 3＝1( 舍 ) ． 4a 1 (1 q 6 )3S 6＝1 q＝1 q 1；由12a 1 (1 q 3 ) 12＝1612S 31 qa 1 (1 q 12 )S12S 6 ＝S12－ 1＝1 q － 1＝ 1＋ q 6－ 1＝ 1 ； S 6S 6a 1 (1 q 6 ) 161 q得 S6 ＝ S 12 S 6 ． 12S 3 S 6 ∴ 12S ，S ，S － S 成等比数列．36126。
高一数学必修5练习：第二章数列复习课Word版含解析
S3＝a1 1－q3 ＝3 1－ q
解析 易知 q≠ 1，∴
6
，
a1 1－q
S6＝ 1－ q ＝9
∴ SS63＝ 1＋ q3 ＝3，∴ q3＝ 2. ∴ a13＋ a14＋ a15＝ ( a1 ＋ a2＋ a3)q12 ＝ S3·q12＝ 3× 24＝ 48.
三、解答题
11．设 { an} 是等差数列，
85，偶数项之和为 170，
A．4
B． 6
答案 C
C． 8
D． 10
解析 设项数为 2n，公比为 q.
由已知 S 奇＝ a1＋ a3＋ … ＋a2n －1.
①
S 偶＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2n.
②
② ÷①得， q＝ 170＝ 2， 85
∴ S2n＝ S 奇＋ S 偶＝ 255＝ a1
1－ q2n 1－ q
)
A ． 33
B ．72
C． 84
D ． 189
答案 C
解析 由题意可设公比为 q，则 4a2＝ 4a1 ＋ a3，
又 a1＝ 3，∴ q＝ 2.
∴
a3＋
a4＋
a
5＝
a
1q
2
(1
＋
q＋
2
q)
＝ 3× 4× (1＋ 2＋ 4)＝ 84.
3．已知一个等比数列首项为 则这个数列的项数为 ( )
1，项数为偶数，其奇数项和为
3
A. 16
B. 8
C.4
D. 8
答案 C
解析 由已知得 a2＝ 1＋ (－ 1)2＝2，
∴
a3·a2＝
a2＋
(
－
1)3，∴
a3＝
1， 2
高中数学必修5第二章数列题组训练-新人教
高中数学必修5第二章数列题组训练[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2973．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．－1C ．1±D ．21 5．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列 的前8项之和为（ ）A ．513B ．512C ．510D ．8225 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。
2．数列{n a }是等差数列，4a =7，则7s =_________3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则74a a ⋅=___________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
【优质文档】必修五第二章数列全章练习题(含答案)
a
1＝
1，
a
n＋
1＝
3
an an＋
，则给出的数列 1
{ an} 的第 7 项是
()
1 A. 16
1 B.17
1 C.19
1 D.25
4．由 1,3,5 ， , ， 2n－ 1， , 构成数列 { an} ，数列 { bn} 满足 b1＝ 2，当 n≥ 2 时， bn ＝abn－1，则
b6 的值是
()
a1 ＝1，且满足
a
n＋
1＝
1 2an
＋
1 2n，则此数列的第
4 项是
()
1
3
5
A ．1
B.2
C.4
D.8
2．数列 { an} 中， a1 ＝1，对所有的 n≥ 2，都有 a1·a2·a3·, ·an＝ n2，则 a3＋ a5 等于 (
)
25 A. 9
25 B.16
61 C.16
31 D.15
3．若
5 个图形中的花盆数为 ________．
12．在数列 { an} 中， a1＝ 2， a17＝ 66，通项公式 an 是 n 的一次函数．
(1)求 { an} 的通项公式；
(2)88 是否是数列 { an} 中的项？
三、探究与拓展
9n2－ 9n＋ 2
13．已知数列
9n2－ 1 ：
(1)求这个数列的第 10 项； (2)19081是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1) 内；
(4)在区间
1， 2 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 33
答案
1． C 2.C 3.C 4.C 5. 66．an＝2n＋ 1 7． 解 (1) an＝ 2n＋ 1.
高一数学必修5第二章数列测 试题
高中一年级第二学期新课标数学必修5第2章数列单元测试题一一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1．等差数列项等于（ ）A．9 B．10 C．11 D．122．等比数列中, 则的第项为（ ）A． B．243 C．27 D．3．与，两数的等比中项是（ ）A． B． C． D．4．已知一等差数列的前三项依次为，那么21是此数列的第（ ）项A． B． C． D．5．在公比为整数的等比数列中，若则该数列的第3项为（ ）A． B． C． D．6. 数列的通项公式，则该数列的前9项之和等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．47. 设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a3=24，则a1a2a3a4a5等于( )A.210B.220C.215D.216 8．已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）A． B． C． D．9．设是等差数列的前n项和，若等于（ ）A．12 B．18 C．24 D．4210．已知等差数列{a n}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（ ）A．180 B．－180 C．90 D．－9011．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A．9 B．10 C．19 D．29二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12．在等比数列中, 若则=___________.13在等比数列中,若是方程的两根则=___________.14．在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______．15.已知数列的前项和，求=_______。
16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），则是这个数列的第_________项．三、解答题（本大题共6小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（13分）成等差数列的三个数的和为12，第二数与第三数之积为24，求这三个数。
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611a a 等于（ ） A ．6B ．23C ．16D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65B ．65-C ．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．11SD ．10S9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．12D ．12-10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ）A ．15B ．30C ．45D ．6011．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大．16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?答 案一、选择题 1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=，∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ． 5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ． 6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q-==-，231aa q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q--⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-．∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ．8．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=， 所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ．10．【答案】A【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =， ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ． 12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项， 由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题 13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-． 又451a a q =，∴121168a -==-， ∴()()666111212181128S a q q⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．② 联立①②两式得11a =-，2d =， 故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >，∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=． （2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=， 又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根． 又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，∴43n a n =-．（2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=，∴22n n S n c n cn nb ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c=+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －，∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nnn a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=． 又因为0q >，解得2q =，2d =． 所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－， 设{}n c 的前n 项和为n S ， 则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++， 123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==，令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{}n a 中，12=a ，1=221n n a a ＋＋，则101a 的值为（ ） A ．49B ．50C ．51D ．522．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．31D ．643．等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81B ．120C ．168D ．1924．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2205．数列{}n a 中，37 ()n a n n +=∈N －，数列{}n b 满足113b =，1(72)2n n b b n n +≥=∈N －且，若log n k n a b +为常数，则满足条件的k 值（ ） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ）A ．8B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2B ．1或2-C ．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（ ） A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C ．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X =-- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 1311的等比中项是________．14．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．18．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列，且13a =，39a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．21．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11,2,1(,)23n n a S n +==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．22．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ，它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋，∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ．2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==，44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++ 120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭， ∵log n k n a b +是常数，∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=，∴2464a =， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-，即24442a a q a q =-，而40a ≠， ∴220q q --=，1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ． 8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅，所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =． 所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时，n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =，2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列，∴n S ，2n n S S －，32n n S S －为等比数列， 即X ，Y X -，Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个， 即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭，123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫⎪-⎝⎭，则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个， 其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题 13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±．14．【答案】4-【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ，3a ，…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中，29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误． ④中，()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =，∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-，18b =-，∴824q -=-，3q =． ∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-． 【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-，或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】（1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =，39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+，则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2）证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----． 20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+． 【解析】（1）证明由已知122nn n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =，12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得：()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩；（2）见解析．【解析】（1）解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=． ∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；（2）22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，①∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．②①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=． 当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时，23=(3=11)n a n n +--，此时2249=a a a 不成立，舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋ 21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=--242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-。
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高中数学必修5第二章数列题组训练
一、选择题
1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ． 81 B ．120 C ．168 D ．192 3．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2
113-是此数列的第（ ）项
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列
的前8项之和为（ ）
A ．513
B ．512
C ．510
D ．
8
225
5．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）
A ． – 4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
6．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
93
5,95S S a a 则
（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．
2
1
7．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）
A ．1
B ．0或32
C ．32
D ．5log 2 8．数列{}n a 的通项公式1
1++
=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。
A ．98 B ．99
C ．96
D ．97
9．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A ．9 B ．12
C ．16
D ．17
10．已知等差数列n a n 的前}{项和为m
S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,122
11==-+>-+-
等于 （ ） A ．38 B ．20
C ．10
D ．9
二、填空题
1．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.
2．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232
=--x x 的两根，则74a a ⋅=___________.
3. 已知数列{}n a 中，a 1＝－1，a 1+n ·a n ＝a 1+n －a n ，则数列通项a n ＝___________ 4．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________。
三、解答题
1．已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a .
2． 已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=， 求数列{}n b 的前n 项和。
3．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列， 那么原三数为什么？
4．设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。
5.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
6.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。