重庆市人教新课标A版高中数学必修5第二章数列2.4等比数列同步测试

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(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》

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(6)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk 1.
＋
(7)在等比数列{an}中，连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列． (8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是等比数列． (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等差数列．
[ 错解] 设这个等比数列为{an}，其中 a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为 a2，a3，a4. 由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a2 3＝a1a5＝1×4 ＝4，故 a3＝± 2，∴a2a3a4＝a3 8. 3＝±
[ 错因分析]
[ 正解]
该解法没有正确判断 a3 的符号，在求等比数
有关等比数列的开放探究题
已知数列 {an} 是各项为正数的等比数列，数列 1 {bn}定义为 bn＝n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)] ，是否存在实数 k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
[ 分析]
先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项
公式，再求 bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
a3＝4 解得 a7＝16 a3＝16 或 a7＝4
.
①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. 1 ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q 得，q ＝4，
[ 方法总结]
除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2，且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

高中数学第二章数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习新人教A版必修5-新人教A版高一必

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第二课时等比数列的性质

第二课时等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2，则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)．所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137，而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，，两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2.4等比数列测试题知识点一：等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。

人教A版高中数学必修五同步练测：2.4等比数列同步练测(含答案解析).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 等比数列(人教A 版必修5)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如果数列{}n a 是等比数列，那么( )A.数列2{}na 是等比数列 B.数列{}2n a 是等比数列 C.数列{}lg n a 是等比数列 D.数列{}n na 是等比数列2.在等比数列{}n a 中，45a a ＋＝10，67a a ＋＝20，则89a a ＋=( )A.90B.30C.70D.40 3.已知等比数列{}n a 的各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210a a a ＝( )A.39B.310C.311D.3124.在等比数列{}n a 中，若357911a a a a a ＝243，则2911a a 的值为( )A.9B.1C.2D.35.已知在等比数列{}n a 中，有31174a a a ＝，数列{}n b 是等差数列，且77b a ＝，则59b b ＋=( )A.2B.4C.8D.16 6.在等比数列{}n a 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =( ) A.32 B.23 C.16D.6 7.已知在等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++＝( ) A.1＋ 2 B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2 8.已知公差不为零的等差数列的第k n p ,,项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )A.n p k n --B.n p p k --C. n k n p --D.k p n p--9.已知在等比数列{}n a 中，595,a a 为方程210x x ＋＋ 160＝的两根，则205080a a a 的值为( )A.256B.±256C.64D.±6410.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝120.550.57(log log )a a ＋，Q ＝390.5log 2a a+，则P 与Q 的大小关系是( )A.P ≥QB.P ＜QC.P ≤QD.P ＞Q二、填空题（每小题4分，共16分） 11.等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a ＝－，439a a ＝－，则45a a ＋= ．12.已知等比数列{}n a 的公比q ＝－13，则13572468a a a a a a a a ++++++= ．13.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是．14.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为 2 KB ，它每3 s 自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64 MB(1 MB ＝210KB)的计算机开机后经过 s ，内存被占完．三、解答题（共54分）15.(8分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，34a a ＋＝323411a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．求{}n a 的通项公式.16.（8分）在等比数列{}n a 中，已知47a a ＝－512，38a a ＋＝124，且公比为整数，求10a .17.（9分）在等差数列{}n a 中，4a ＝10，且3610,,a a a成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S .18.（9分）设正整数数列{}n a 为一个等比数列，且2a ＝4，4a ＝16，求122lg lg lg n n n a a a ＋＋＋＋＋.19.（10分）已知1a ＝2，点1(,)n n a a ＋在函数2()f x x ＝＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．20.（10分）容积为a L(a >1)的容器盛满酒精后倒出1 L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.4 等比数列(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.20.2.4 等比数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.A 解析：设n b ＝2n a ，则1n n b b +＝212n n a a +＝21n n a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2q ，∴ {}n b 为等比数列；11222n n n n a a a a ++-=≠常数；当0n a <时，lg n a 无意义；设n n c na ＝，则1n n c c +＝1(1)n n n a na ++＝1n q n+⋅≠常数．2.D 解析：∵ 2q ＝6745a a a a ++＝2，∴ 228967()2040a a a a q q ＋＝＋＝＝. 3.B 解析：由题意得569a a ＝，∴ 110293847569a a a a a a a a a a ＝＝＝＝＝，∴ 510121093a a a ＝＝.4.D 解析：∵ 5303579111243a a a a a a q ＝＝，∴ 2911a a ＝2161101a q a q ＝61a q ＝5243＝3. 5.C 解析：∵ 2311774a a a a ＝＝，又7a ≠0，∴ 7a ＝4，∴ 7b ＝4.∵ 数列{}n b 为等差数列，∴ 59728b b b ＋＝＝.6.A 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得4143,2a a =⎧⎨=⎩或4142,3.a a =⎧⎨=⎩又∵ 1n n a a >＋，∴ 43a ＝，142a ＝.∴64161432a a a a ==. 7.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，∵ 1a ，312a ，22a 成等差数列，∴ 3122a a a ＝＋，∴ 21112a q a a q ＝＋，∴ q 2－2q －1＝0，∴ q ＝1± 2.∵ 各项都是正数，∴ 0q >，∴ q ＝1＋2， ∴91078a a a a ++＝2q ＝(1＋2)2＝3＋2 2.8.A 解析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则q =[][][][]1111(1)(1)(1)(1)p p n n k n n k a a a a p d a n d a a a a a a n d a k d -+--+-====-+--+-p n n k --=n p k n--. 9.D 解析：由根与系数的关系，得595a a ＝16，由等比中项可得595a a ＝250()a ＝16，故50a ＝±4，则205080a a a ＝350()a ＝(±4)3＝±64.10.D 解析：P ＝0.557log a a ＝0.539log a a ，Q ＝390.5log 2a a +. ∵ 1q ≠，∴ 39a a ≠，∴392a a +＞39a a . 又∵ 0.5log y x ＝在(0，＋∞)上单调递减， ∴ 390.5log 2a a +＜0.539log a a ，即Q P <.故选D.二、填空题11.27 解析：由题意，得12a a ＋＝1，34a a ＋＝212()a a q ＋＝9，∴ 2q ＝9. 又0n a >，∴ 3q ＝.故4534()9327a a a a q ⨯＋＝＋＝＝. 12.－3 解析：13572468a a a a a a a a ++++++＝13571357a a a a a q a q a q a q ++++++＝1q＝－3.13.3或27 解析：设三数分别为3,,a b ，则223,(6)3.a b a b =+⎧⎨-=⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或15,27.a b =⎧⎨=⎩ ∴ 这个未知数为3或27.14.45 解析：设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{}n a ，且1a ＝2×2＝4，q ＝2，则n a ＝4·12n －.令4·12n -＝64×210，得n ＝15，即复制15次，共用45 s. 三、解答题15.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q －＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2311a q a q ＋＝32231111a q a q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a q q q ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩即212512,32.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩又∵ 10a >，0q >，∴ 11,2.a q =⎧⎨=⎩∴ 2n n a －1＝.16.解：∵ 3847512a a a a ＝＝－，联立 3838124,512.a a a a +=⎧⎨=-⎩解得384,128a a =-⎧⎨=⎩或38128,4.a a =⎧⎨=-⎩又公比为整数，∴ 3841282a a q ＝－，＝，＝－.∴ 77103(4)(2)512a a q ⨯＝＝－－＝. 17.解：设数列{}n a 的公差为d ，则34641041021026106a a d d a a d d a a d d ＝－＝－，＝＋＝＋，＝＋＝＋.由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a ＝，即2(10)(106)(102)d d d －＋＝＋.整理，得210100d d －＝.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，20420200S a ＝＝；当d ＝1时，14310317a a d ⨯＝－＝－＝，于是20S ＝120a ＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 18.解：由2a ＝4，4a ＝16，得1a ＝2，q ＝2，∴ 2n n a ＝. ∴ 23(1)(2)22122122lg lg lg lg()lg 2lg 2n n n n nn n n n n n a a a a a a + ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝＝＝232n n +lg 2.19.(1)证明：由已知得212n nn a a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋. ∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋.∴ 1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1lg(1)lg 3a ＋＝.∴ {lg(1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，-112lg(1)2lg 3lg 3⋅n n n a －＋＝＝，∴ -1213n n a ＋＝，∴ -1231n n a ＝－. 20.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a. 设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a ＋＝11n a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－．所以数列{}n a 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列．所以1111nn n a a q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝＝，即第n 次操作后溶液的浓度是11na ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当a ＝2时，由n a ＝11210n⎛⎫< ⎪⎝⎭，得n ≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。

人教A版高二数学必修五同步测试：第二章等比数列.doc

等比数列测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在等比数列｛a 」中,+a 2 =29a 3+a 4 =50,则公比g 的值为等比数列｛%｝中，a n > 0, a 3a 4 = 4,则 log 2 Oj 4- log 2 a 2 + • + log 2 a 6 值为5.等比数列｛咳｝中勺=9,侏=243,则｛色｝的前4项和为1.A. 25B. 5C. -5D. 土52.3.4. C. 7 =10,為+兔=则数列｛a n ｝的通项公式为 ~=2心 C.讣2 已知等差数列｛①｝的公差为2,若％,成等比数列，则色=A. 5B. D. 8 A. a fl = 24~nB. D. 3, A. -4 B. -6C. -8D. -10A. 81B. 120C. 140D. 192 6.设等比数列｛色｝的前料项和为若 S 6:53=l:2,则 S 9:S 3 = C. 3:4 D. A. 1:2 B. 2:3 7.已知等比数列｛ %｝的首项为8, S “是其前〃项的和，某同学经计算得52=20, 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 A. $ B. S 2 C. S3 1:353=36, ( 54=65，)D. S4 8.已知/（Q 二加+ 1为兀的一次函数，b 为不等于1 的常量，且g （n ）= <（心0）,设 a n =^(n)-g(n-l)(«e N )则数列他｝为A.等差数列B.等比数列C.递增数列 9.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10 H 到银行存入。

元定期储蓄，若年利率为"且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将D.递减数列所有的存款及利息全部取冋，则可取冋的钱的总数（元）为 ( )A ・a(\ + p)1 B. «(1 + /?)8c. —［（1+卩）7 -（1+P ）］ D . —r （1+p ）8 -（1+p ）~|P 」10.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a + b + c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知等比数列｛aj,a 2>a 3=l,则使不等式 (山--) + (d ・ ---- ) + •• ・ + (a 〃 -—) n 0A. 4B. 5C. 6D. 712.在等比数列｛陽｝中,公比gHl,设前〃项和为S”,则x = S； + Sj, y = S2（54 + S6）的大小关系是（）A. x> yB. x= yC. x< yD.不确定第II卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.等比数列仏”｝的前斤项和S〃二a・2"+d — 2,则色二 ______ :14.已知数列前斤项和必=2"—1,则此数列的奇数项的前刃项的和是____________15.已知等比数列｛%｝及等差数列｛$｝,其中/,.=（）,公差〃工（）.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1, 1, 2,…，则这个新数列的前10项之和为____________________ .16.如果b是a与C的等差中项，y是兀与Z的等比中项，月？,x,z都是正数，则0 一c） log w:兀 + （c 一a） log,” y + （a一b） log w z 二（m>0,m^L）三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知数歹ij ｛a…｝, ｛b n｝满足a】=2, a2 =4, h n = a n+i - a n, b n+｛ = 2b n +2.（12 分）（1）求证:数列｛久+2｝是公比为2的等比数列;（2）求给.18.已知数列仏｝的前n项和为S〃,S” =丄（色一1）（必M）. （12分）（1）求（2）求证数列仏｝是等比数列.+ 219.数列｛禺｝的前n项和记为S”己知G = l, a n+i= -----------S n5=1, 2, 3,…）•证明：（12分）nS（1）数列｛」｝是等比数列；（2）盼1=4如n20.已知数列｛a“｝满足：a x,且a” - a n_x =厶.（12分）2 2（1）求a2,a3f©；（2）求数列｛%｝的通项色.21.已知数列｛a“｝是等差数列,且% =2,%+偽+偽=12・（12分）（1）求数列｛色｝的通项公式;（2）令b n=a n x n（xe /?）・求数列｛仇｝前n项和的公式.22.甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球.（14分）（1）若经过5次传球后，球仍冋到甲手小，则不同的传球方式有多少种？（2）设第n次传球后，球回到甲手小不同的传球方式有如种，求％答案一、选择题1. B2. D 3・ A 4. B 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. A ll.B 12.B二、填空题三、解答题17. (1)由处=级+2得如出=如兰=2, A ｛b n + 2)是公比为2的等比数列.久+ 2 b n +2(2)由(1)可知 b“+2 = 4・2”T =2"+1 . :.b n =2n+1-2.则 a fl+l =2,,+1 - 2.令兀二1, 2,・••/?— 1,贝0 ci2 -a\ =22 -2,f73 -«2 =23 -2,«--a n -a n -\ =2n - 2 ,各式相加得=(2 + 22 +23 +... + 2")-2(w-l) = 2,,+l -2-2n + 2 = 2,t+i -2n .18. (l)|l ：| S] = —(Q] — 1)，得 — — (t?j ~ 1), d x — --- , 乂 S?=—(①一1)， 3 3 2 3即务 +a 2 = —(a 2 _ 1),得 a?=—. I(2)当n»时,"—冷⑷-1)*”,得介T ，所％｝是首项弓公比为冷的等比数列•19. (1) 由 ai= 1 ,a n+i= - S n (n= 1,2,3, …)，a2=^^-Si=3a h ^- = —= 2, — = 1,= 2 .n 12 2 1、 T又 a n+i=S n+rS n (n= 1,2,3» …)，则 S n+i-S n =-^i^ S…(n=l,2,3, •••), /.nS n+1=2(n+l)S n n21. (1)设数列[a n ]公差为 d ，则 a x +a 2 +a 3 = 3q + 3d = 12,又q = 2,d = 2.所以= In.(2)令 S” 二也 + 仇 + …+ 仇，则由仇=a n x n = 2nx n ,得 S” = 2x + 4x 2+--(2n-2)x n '] + 2nx n ,① = 2x 2 + 4x 3 4-+ (2n-2)x H + 2/u ,,+l ,② 当兀幻时， ①式减去②13. 2灯1 ° 「(27). 15, 978. 16. 0. ^J- = 2(n=l,2,3,…).n 故数列｛警｝是首项为1，公比为2的等比数列•(2) 由(I)知，A±L = 4.A Z L (H >2),于是 S n+i=4(n+l) •乩=4^01^2).// +1 W-1 川一 1又a 2=3S|=3,则S2=ai+a 2=4=4a h 因此对于任意正整数n>l 都有S n+i=4a n ._15 “、 _ 1 _ 1 _ 1 =©•(2)。

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重庆市人教新课标 A 版高中数学必修 5 第二章数列 2.4 等比数列同步测试
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班级:________
成绩:________
一、单选题 (共 15 题；共 30 分)
1. （2 分）已知数列为等比数列，
，则的取值范围是（）
A . (3,4)
B. C . (3,9)
D. 2. （2 分）已知互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 A.4 B.2 C . －2 D . －4
,则 a=（）
3.（2 分）(2018 高二上·泰安月考) 已知各项为正的等比数列中，与的一个等比中项为
，
则
的最小值为（）
A.1
B.4
C.
D.8
4. （2 分）已知等差数列则 a 的值为
的首项为 a，公差为 b，等比数列（）
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的首项为 b，公比为 a，其中
且，

A.2 B.1 C.4 D.3
5. （2 分） (2017 高一下·怀仁期末) 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ 1＝（）
，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋
A . 16(1－ )
B . 16(1－2－n)
C . (1－4－n)
D . (1－2－n) 6. （2 分）在等比数列{an}中，a4a10=9，则 a7=（） A.3 B . ﹣3 C . ±3 D . ±2
7. （2 分）已知数列的前项和
，第项满足
A.9 B.8 C.7 D.6
，则 k=（）
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8. （2 分） (2018 高二上·新乡月考) 已知数列{an}是公差为 2 的等差数列，且为（）
A . -2 B . -3 C.2 D.3
成等比数列，则
9. （2 分）各项为正数的等比数列{an}中，a5 与 a15 的等比中项为 2 ，则 log2a4+log2a16=（） A.4 B.3 C.2 D.1 10. （2 分）已知{an}为等差数列，若 a1+a5+a9=8π，则 cosa5 的值为（）
A. B.﹣ C. D.﹣ 11. （2 分） (2017 高三上·重庆期中) 各项均为正数的等比数列{an}中，a2a4=4，则 a1a5+a3 的值为（） A.5 B.3 C.6
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D.8
12. （2 分） (2020·贵州模拟) 已知各项均为正数的等比数列的前 4 项和为，且
，
则
（）
A.
B.
C.
D. 13. （2 分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若 2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则 2a5+a4 的最小值为（） A . 12 B.
C.
D. 14. （2 分）数列 1，37 ， 314 ， 321 ， ……中，398 是这个数列的（） A . 第 13 项 B . 第 14 项 C . 第 15 项 D . 不在此数列中 15. （2 分）下列结论正确的是（） A . 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ， Sn=n2+n+1，则{an}为的等差数列
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B . 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ， Sn=2n﹣2，则{an}为等比数列
C . 非零实数 a，b，c 不全相等，若 a，b，c 成等差数列，则，，可能构成等差数列
D . 非零实数 a，b，c 不全相等，若 a，b，c 成等比数列，则，，一定构成等比数列
二、填空题 (共 5 题；共 5 分)
16.（1 分）(2018·梅河口模拟) 设正项等比数列的最小值为________.
的前项和为，若
17. （1 分） (2020·普陀模拟) 各项都不为零的等差数列
是等比数列，且
，则
________.
（）
满足
，则，数列
18. （1 分） (2020·阿拉善盟模拟) 已知数列前项和等于________.
是递增的等比数列，
，则数列的
19. （1 分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a=5+2 ，c=5﹣2 ，则 b=________． 20. （1 分） (2017 高一下·盐城期末) 已知正项等比数列{an}，且 a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3+a5=________．
三、解答题 (共 5 题；共 25 分)
21. （5 分） (2019 高二上·沈阳月考) 已知函数
，
，数列满足
，
，
.
（1）求证（2）求数列
；的通项公式；
（3）若
，求中的最大项.
22. （5 分） (2018·邯郸模拟) 已知数列满足
，
，
.
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（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前项和 .
23. （5 分） (2018·全国Ⅰ卷文) 已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设 bn=
（1）求 b1,b2,b3 （2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; （3）求{an}的通项公式
24. （5 分） (2016 高一下·高淳期末) 设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足 bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an
﹣1+an ， n∈N* ，已知 b1=m，
，其中 m≠0．
（1）求数列{an}的首项和公比；（2）当 m=1 时，求 bn；（3）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若对于任意的正整数 n，都有 Sn∈[1，3]，求实数 m 的取值范围．
25. （5 分） (2017·厦门模拟) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且满足 Sn﹣2an=n﹣4．（1）证明{Sn﹣n+2}为等比数列；（2）设数列{Sn}的前 n 项和 Tn，比较 Tn 与 2n+2﹣5n 的大小．
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一、单选题 (共 15 题；共 30 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
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二、填空题 (共 5 题；共 5 分)
16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、
三、解答题 (共 5 题；共 25 分)
21-1、答案：略
21-2、 21-3、答案：略
22-1、 23-1、
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23-2、 23-3、
24-1、
24-2、
第 9 页共 10 页

24-3、 25-1、
25-2、
第 10 页共 10 页

。