高二数学必修5第二章数列练习题及答案

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高二数学人教A必修5练习：第二章数列章末检测(B) Word版含解析

第二章章末检测 (B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，则{a n }的前5项和为( ) A ．6 B ．10 C ．16 D ．322．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝24－nB ．a n ＝2n －4C ．a n ＝2n －3D ．a n ＝23－n6．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．247．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 10－12a 12的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 8．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1610．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |等于( )A ．1 B.32 C.52 D.9211．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．A ．30B ．31C ．32D ．3312．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d的值为( )13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且 a 1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S 2 011＝________.14．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为__________．15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)16．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则它的通项公式是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．18．(12分)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .19．(12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <14.21．(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 2＋b 2＝8，T 3－S 3＝15.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足a 1c n ＋a 2c n －1＋…＋a n －1c 2＋a n c 1＝2n ＋1－n －2对任意n ∈N *都成立，求证：数列{c n }是等比数列．22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？第二章数列章末检测(B) 答案1．B [S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10.]2．B [∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2. ∴3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3. ∴a 4＝4a 3.∴q ＝4.]3．C [当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3.]4．B [T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3 ＝a 53＝1.∴a 3＝1.]5．A [q 3＝a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，∴q ＝12.∵a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝54a 1＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1·q n －1＝8·(12)n －1＝24－n .]6．C [∵S 10＝6，S 5＝2，S 10＝3S 5.∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝a 1(1－q 5)1－qS10＝a 1(1－q 10)1－q∴S 10S 5＝1＋q 5＝3.q 5＝2. ∴a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 15 ＝S 5·q 15＝2×23＝16.]7．C [a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，a 8＝24.∴a 10－12a 12＝12(2a 10－a 12)＝12[2(a 1＋9d )－(a 1＋11d )]＝12(a 1＋7d ) ＝12a 8＝12.] 8．C [设公比为q (q ≠0)，则由a 2a 3＝2a 1知 a 1q 3＝2，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16[1－(12)5]1－12＝31.]9．A [∵S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0，∴a 8＋a 9>0.∵S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0.∴a 9<0，∴a 8>0.故当n ＝8时，S n 最大．]10．B [易知这四个根依次为：12，1,2,4.不妨设12，4为x 2－mx ＋2＝0的根，1,2为x 2－nx ＋2＝0的根．∴m ＝12＋4＝92，n ＝1＋2＝3，∴|m －n |＝|92－3|＝32.]11．C [∵前n 组偶数总的个数为：2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n .∴第n 组的最后一个偶数为2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．令n ＝30，则2n (n ＋1)＝1 860；令n ＝31，则2n (n ＋1)＝1 984；令n ＝32，则2n (n ＋1)＝2 112. ∴2 010位于第32组．]12．A [若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得d ＝0，不合题意；若删去a 2，则a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得a 1d＝－4；若删去a 3，则a 1a 4＝a 22，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得a 1d＝1；若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得d ＝0，不合题意．故选A.] 13．1 004解析 a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝2，…，∴a 2 011＝－1，∴S 2 011＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010)＋a 2 011＝1 005×1＋(－1) ＝1 004. 14．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20. 15．14解析设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%， ∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知： (1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n >lg 0.05lg 0.8，即n >lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14. 16．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)6n －5 (n ≥2)解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＋1＝2. 当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.则当n ＝1时，6×1－5＝1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)6n －5 (n ≥2).17．解 (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)．从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 18．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， ①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . ② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.19．解设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n (n －1)2d ，依题意，有⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝1×2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2，∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.∴a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .20．(1)解由S n ＝na n －2n (n －1)得 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ，即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3.(2)证明 T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1) ＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.21．(1)解设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧d ＋3q ＝7，q ＋q 2－d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.∴a n ＝n .b n ＝3×2n －1.(2)证明由c n ＋2c n －1＋…＋(n －1)c 2＋nc 1＝2n ＋1－n －2，知c n －1＋2c n －2＋…＋(n －2)c 2＋(n －1)c 1＝2n －(n －1)－2(n ≥2)．两式相减：c n ＋c n －1＋…＋c 2＋c 1＝2n －1(n ≥2)，∴c n －1＋c n －2＋…＋c 2＋c 1＝2n －1－1(n ≥3)，∴c n ＝2n －1(n ≥3)．当n ＝1,2时，c 1＝1，c 2＝2，适合上式．∴c n ＝2n －1(n ∈N *)，即{c n }是等比数列．22．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有：a 1＝a ，n ≥2时：a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，(n －1)a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝⎛⎭⎫23＋a ⎝⎛⎭⎫232＋…＋a ⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ，(n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

②指出 S1， S2，， S12 中哪一个值最大，并说明理由．解：① S12 6(a1 a12 ) 6(a3 a10 ) 6(2 a3 7 d ) 0
24 7d 0 24 8d 0
d
24
又 S13 13( a1 a13 )
13
Hale Waihona Puke 13(a3 a11)(2 a3 8d ) 0
7
2
2
2
d3
从而 24 d 3 7
三、等比数列
知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
q，q 0 ．
2. 递推关系与通项公式
递推关系： an 1 qan 通项公式： an a1 q n 1 推广： an am q n m
3. 等比中项：若三个数 a, b,c 成等比数列，则称 b 为 a 与 c 的等比中项，且 b
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟
28(舍去）
1 10．已知数列 an 中， a1 3，前 n 和 Sn (n 1)( an 1) 1．
2
①求证：数列 an 是等差数列；
②求数列 an 的通项公式；
③设数列
1 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn
an an 1
M 对一切正整数 n 都成立 ?
② Q S12 6( a6 a7) 0 S13 13a7 0 a7 0， a6 0
S6 最大。
1．已知等差数列 an 中， a7 a9 16， a 4 1，则 a12 等于 ( )
A ． 15
B． 30
C． 31
D ． 64

高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习题及答案

四、课后作业
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1. 数列 1, 3, 7, 15, ⋯ 的通项公式 an 等于 ( A．2 n
答案： C
)
C．2 n − 1 D．2 n−1
B．2 n + 1
2. 已知 a1 = 1 ， an+1 = 第 66 项是 ( 6a n + 1 1 1 B． C． 391 390
答案： A
1 ) ，则 an = ( n
)
C．2 + n ln n
B．2 + (n − 1) ln n D．1 + n + ln n
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an ，等式两边同时取倒数，得 2an + 1 an+1 1 =
an ，求数列{an }的通项公式． 2an + 1 2an + 1 1 = + 2, an an
所以
an+1
故数列{
1
−
1 = 2. an
1 1 }为等差数列，首项 = 1 ，公差 d = 2．所以 an a1 1 = 1 + (n − 1) × 2 = 2n − 1, an
因此数列{an }的通项公式为
an =
1 . 2n − 1
已知数列{an }中，a1 = 2 ，an+1 = 2an + 3 × 2 n ，求数列{an }的通项公式．解：因为 an+1 = 2an + 3 × 2 n ，等式两边同时除以 2 n+1 ，得
an+1 2 n+1
所以
=
2an + 3 × 2 n 2 n+1

数列练习题_附答案

数列练习题_附答案强⼒推荐⼈教版数学⾼中必修5习题第⼆章数列1．{a n }是⾸项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等⽐数列{a n }中，⾸项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都⼤于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知⽅程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成⼀个⾸项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等⽐数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，⾸项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成⽴的最⼤⾃然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等⽐数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等⽐数列，则212b a a 的值是( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9⼆、填空题11．设f (x )＝221+x ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等⽐数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插⼊三个数，使这五个数成等⽐数列，则插⼊的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平⾯内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤f (n )表⽰这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列.18．设{a n }是公⽐为 q 的等⽐数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为⾸项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，⽐较S n 与b n 的⼤⼩，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2 S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等⽐数列．第⼆章数列参考答案⼀、选择题1．C解析：由题设，代⼊通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等⽐数列的相关概念，及其有关计算能⼒．设等⽐数列{a n }的公⽐为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，⼜a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．⼜a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，⽽⽅程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是⼀个⽅程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另⼀个⽅程的两个根．∴167，1615分别为m 或n ，∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设⽅程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第⼀项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27，∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有⼀正数⼀负数，⼜a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最⼤⾃然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最⼤值．∵S n 是关于n 的⼆次函数，如草图所⽰，∴2 003到对称轴的距离⽐2 004到对称轴的距离⼩，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最⼤⾃然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，⼜由a 1，a 3，a 4成等⽐数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．(第6题)8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公⽐，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，⼜a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，⽽a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．⼆、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 22221+，∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121==+=+q q a a a a ，∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等⽐数列的性质及计算，由插⼊三个数后成等⽐数列，因⽽中间数必与38，227同号，由等⽐中项的中间数为22738?＝6，∴插⼊的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413?＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同⼀平⾯内两条直线若不平⾏则⼀定相交，故每增加⼀条直线⼀定与前⾯已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满⾜从第2项开始每项与其前⼀项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满⾜，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．⾸项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋cb a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋，∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{n S n }是以2为公⽐的等⽐数列．。

高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.1知识点总结含同步练习题及答案

故
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
所以 an+3 = −an ．（3）由（2）结论可知，an+6 = −an+3 = an ，即 an+6 = an ，所以数列{an }为以 6 为周期的数列．又a1 = a，a2 = b，a3 = b − a，a4 = −a，a5 = −b，a6 = a − b，所以 S6 = 0．故S2010 = S335×6 = 0．
1
−
n2 n2 + 1
=
[(n
+
2n + 1 1)2 + 1](n2
+ 1)
>
0,
所以
an+1 > an (n ∈ N+ ),
因此数列{an }是递增数列．
在数列{an }中，an
=
(n
+ 1)(
10 11
n
)
(n
∈
N+ )：
()
（1）求证：数列{an }先递增，后递减；
（2）求数列{an }的最大项．证明：（1）因为 an = (n + 1)(
（2）a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3，a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5，a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8，所以
该数列的前 5 项分别为 1, 2, 3, 5, 8．
2.观察法
描述：观察法观察法就是写出数列前面若干项进行观察，横向看各项之间的关系，纵向看各项与序数的联系，寻找共同的构成规律，找出各项与项的序号 n 的函数关系，从而归纳出数列的通项公式的方法，这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明．

最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(b卷)(附答案)

第二章数列测评(B 卷)(总分：120分时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为 A ．12 B ．8 C ．6 D ．4答案：B 由等差中项性质可得a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32＝4a 8，故a 8＝8，则m ＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d 等于 A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．±2 答案：C ∵a 2＝3， ∴a 1＋a 3＝2a 2＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 3＝8，a 1＋a 3＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝2.∴d ＝±1.3．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝26，a 1－a 3－a 11＝－10，则S 7等于 A ．20 B ．22 C ．26 D ．28 答案：D (a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－(a 1－a 3－a 11)＝36，即(a 3＋a 11)＋(a 4＋a 10)＋(a 6＋a 8)＝36， ∴a 3＋a 11＝12.∴a 1＝2，a 7＝a 3＋a 112＝6，S 7＝7(2＋6)2＝28.4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝101，前4项和为1111.令b n ＝lga n ，则b 303等于 A ．302 B ．303 C ．404 D ．505 答案：A 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝101，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝1111，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝10， ∴a n ＝a 1q n －1＝10n －1，b n ＝lga n ＝n －1. ∴b 303＝302.5．(2009重庆高考，文5)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 答案：A 设其公差为d ，∵a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋5d)．又∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n(n －1)d 2＝2n ＋n(n －1)2·12＝n 24＋7n4.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }的前n 项和为A ．n 2B ．n(n ＋2)C ．n(n ＋1)D ．n(2n ＋1) 答案：B 可知数列{a n }为等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝S n n＝n[3＋(4n －1)]2n＝2n ＋1.∴数列{b n }也是等差数列，首项为b 1＝3，公差为2，其前n 项和为n(3＋2n ＋1)2＝n(n ＋2)．7．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于A.n 2n ＋1B.n n ＋1C.12n ＋1D.1n ＋1答案：B ∵a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴b n ＝1a n ·a n ＋1.又a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n. ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1) ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.8．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 2008等于A.13B.35C.20092008D.40114009答案：D ∵a n ＝2－1a n －1，∴a n －1＝1－1a n －1.∴1a n －1－1a n －1－1＝1. ∴数列{1a n －1}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．∴1a n －1＝－52＋(n －1)×1.∴a n ＝2n －52n －7.∴a 2008＝2×2008－52×2008－7＝40114009.9．下列给出一个“直角三角形数阵” 1412，14 34，38，316 …满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于A.18B.14C.12D ．1 答案：C 观察数表图，由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12. 10．对于一个有限数列P ＝(P 1，P 2，…，P n )，P 的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为1n(S 1＋S 2＋…＋S n )，其中S k ＝P 1＋P 2＋…＋P k (1≤k ≤n)．若一个99项的数列(P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1000，那么100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为A ．991B ．992C ．993D ．999答案：A 由题意，得199(S 1＋S 2＋…＋S 99)＝1000，S 1＋S 2＋…＋S 99＝99000.100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1100(S 1′＋S 2′＋S 3′＋…＋S 100′)＝1100[1＋(1＋S 1)＋(1＋S 2)＋(1＋S 3)＋…＋(1＋S 99)] ＝1100[100＋(S 1＋S 2＋…＋S 99)] ＝1100(100＋99000) ＝991.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.答案：n(n ＋1)2＋1 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2. 将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n(n ＋1)2＋1. 12．设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝12，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于__________．答案：1n(n ＋1)由f(0)＝12，得a 1＝12.由f(1)＝n 2a n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .①于是a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2a n －1.②由①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得a n a n －1＝n －1n ＋1.此时，a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13，化简，得a na 1＝1×2n(n ＋1).又∵a 1＝12，∴a n ＝1n(n ＋1)，n ＝1时也满足．13．已知函数f(x)＝2x ，等差数列{a n }的公差为2，若f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝__________.答案：－6 由题意可得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8. ∴f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)＝10212aa a ++＝22－8＝2－6.于是log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝log 22－6＝－6. 14．(2009江苏高考，理14)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝__________.答案：－9 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009浙江高考，文20)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．答案：解：(1)由S n ＝kn 2＋n ，得 a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)． a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m 、a 2m 、a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，将上式化简，得2km(k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0. 故k ＝0或k ＝1.16．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝－20，a 1＋a 9＝－28， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 2b n ，设T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n 且T n ＝1，求n 的值．答案：解：(1)∵{a n }为等差数列，a 1＋a 9＝－28， ∴a 1＋a 9＝2a 5＝－28. ∴a 5＝－14.又a 2＝－20，设{a n }的公差为d ， ∴a 5＝a 2＋3d.∴d ＝2.∴a 1＝－22. ∴a n ＝2n －24. (2)∵a n ＝log 2b n ， ∴b n ＝2a n .∴T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝n aa a ++212.当a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝0时，T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝1，即na 1＋n(n －1)2d ＝0，－22n ＋n(n －1)2×2＝0.∴n ＝23.故n ＝23时，T n ＝1.17．(本小题满分10分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2.(n ≥2)(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0.λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－1＝1，a 1＝a 2，不合题意舍去．λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2，可得a n －a n －1＝－1.∴数列{a n }构成以a 1＝1为首项，公差为－1的等差数列． ∴a n ＝－n ＋2.(2)由λ＝3可得a n ＝3a n －1＋3－2⇒a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋32.∴a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1(n ≥2)．又b 1＝a 1＋12＝32，∴数列{b n }构成以b 1＝32为首项，公比为3的等比数列．∴b n ＝32·3n －1＝12·3n.∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)．18．(本小题满分12分)(2009山东高考，文20)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r(b>0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案：解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)．由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b(b －1)，a 2a 1＝b ，即b(b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.19．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．答案：解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．因此，所求数列{b n }是首项为S 1－3＝a －3，公比为2的等比数列，其通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.①(2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]．于是a n ＋1≥a n ⇔12·(32)n －2＋a －3≥0⇔a ≥3－12·(32)n －2⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求a 的取值范围是[－9，＋∞)．。

高中数学必修五第二章数列2.4.1

(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1

1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n

2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=

人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估第二章数列(含答案解析)

单元质量评估(二)第二章数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（）（A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（）（A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（）（A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（）（A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ；（2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1，即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

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数学5（必修）第二章数列
[基础训练A 组]
一、选择题 1 在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A 11 B 12 C 13 D 14 2 等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）
A 66
B 99
C 144
D 297 3 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（）
A 81
B 120
C 168
D 192 4 12+与12-，两数的等比中项是（） A 1 B 1- C 1± D 2
1 5 已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113
-是此数列的第（）项 A 2 B 4 C 6 D 8 6 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（） A 513 B 512 C 510 D 8
225 二、填空题 1 等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________ 2 数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________ 3 两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则5
5b a =___________ 4 在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________ 5 在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232
=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________ 6 计算3log 33...3n =___________
三、解答题
1．成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数
2．在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值
3．求和：)0(),(...)2()1(2≠-++-+-a n a a a n
4．设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q
（数学5必修）第二章数列 [基础训练A 组]
参考答案
一、选择题 1 C 12n n n a a a +++= 2 B 147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++===== 91946999()()(139)99222
S a a a a =+=+=+= 3 B 43521423(13)27,3,3,12013
a a q q a S a q -=======- 4
C 21)1,1x x ===± 5 B 2
(33)(22),14,14x x x x x x x +=+=-=-≠-⇒=-或而 133313,134(),422222
n x q n x -+==-=-⨯=+ 6 C 332112131(1)18,()12,,2,22
q a q a q q q q q q ++=+====+或而89182(12),2,2,2251012
q Z q a S -∈====-=- 二、填空题 1 8
5233985252a a d --===-- 2 49 71747()7492
S a a a =+== 3 1265 1955199"55199199
()2792652929312()2a a a a a a S b b b b S b b ++⨯+======+++ 4 3375±
610925,q q a a q ===⋅=±5 2- 471102a a a a ==- 6 112n - 111111...242422333log 33...3log (333)log (3)n n n +++=⋅⋅⋅⋅= 211[1()]111122 (11222212)
n n n -=+++==--
三、解答题
1. 解：设四数为3,,,3a d a d a d a d --++，则22
426,40a a d =-= 即1333,222
a d =
=-或，当32
d =时，四数为2,5,8,11 当32d =-时，四数为11,8,5,2 2. 解：1819202122201255,7 2.8,0.4a a a a a a a a d d ++++=-===
20128 3.1 3.2 6.3a a d =+=+=
∴1819202122205 6.3531.5a a a a a a ++++==⨯=
3. 解：原式=2(...)(12...)n a a a n +++-+++
2(1)(...)2
n n n a a a +=+++- 2(1)(1)(1)12(1)22
n a a n n a a n n a ⎧-+-≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 4. 解：显然1q ≠，若1q =则3619,S S a +=而91218,S a =与9632S S S =+矛盾由369111369(1)(1)2(1)2111a q a q a q S S S q q q
---+=⇒+=--- 96332333120,2()10,,1,2
q q q q q q q --=--==-=得或而1q ≠，∴243
-=q。