必修五第二章数列教案

＝1

2－1an －1－1an －1＝an an －1－1an －1

＝1. 又b1＝1a1－1

＝－52. 所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．

(2)解 由(1)知bn ＝n －72，

则an ＝1＋1bn ＝1＋22n －7

. 设f(x)＝1＋22x －7

， 则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．

所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3.

思维提升：等差数列的证明方法：

(1)定义法：an ＋1－an ＝d (d 是常数)?{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an ＋1＝an ＋an ＋2 (n ∈N*)?{an}是等差数列．

(3)通项公式：an ＝pn ＋q(p ，q 为常数)?{an}是等差数列．

(4)前n 项和公式：Sn ＝An2＋Bn (A ，B 为常数)?{an}是等差数列．

等比数列的判定与证明

例2 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ＋Sn ＝n.

(1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明 ∵an ＋Sn ＝n ，①

∴an ＋1＋Sn ＋1＝n ＋1.②

②－①得an ＋1－an ＋an ＋1＝1，

∴2an ＋1＝an ＋1，∴2(an ＋1－1)＝an －1，

∴an ＋1－1an －1

＝12，∴{an －1}是等比数列． 又a1＋a1＝1，∴a1＝12，

∵cn ＝an －1，

∴首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q ＝12.

∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．

(2)解 由(1)可知cn ＝? ????－12·? ????12n －1＝－? ??

??12n ， ∴an ＝1－? ??

??12n. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．

裂项相消法求和

例3 (2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1

，求数列{bn}的前n 项和Tn. 解 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，

所以an ＝2n －1.

(2)bn ＝(－1)n －1

4n anan ＋1＝(－1)n －14n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，

Tn ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

. 当n 为奇数时，

Tn ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1

.

所以Tn ＝????? 2n ＋22n ＋1，n 为奇数，

2n 2n ＋1，n 为偶数.

(或Tn ＝2n ＋1＋－1n －12n ＋1)

思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

错位相减法求和

例4 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn ＝(4－an)qn －1(q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn.

思维点拨 (1)列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.

(2)q ＝1时，bn 为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和．

解 (1)设等差数列{an}的公差为d.

由已知得??? 3a1＋3d ＝6，8a1＋28d ＝－4，解得?

?? a1＝3，d ＝－1. 故an ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n.

(2)由(1)得，bn ＝n·qn －1，于是

Sn ＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn －1.

若q≠1，将上式两边同乘以q 有

qSn ＝1·q1＋2·q2＋…＋(n －1)·qn －1＋n·qn.

两式相减得到(q －1)Sn ＝nqn －1－q1－q2－…－qn －1

＝nqn －qn －1q －1＝nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －1

. 于是，Sn ＝nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －12

. 若q ＝1，则Sn ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12

.

所以Sn ＝????? n n ＋12，q ＝1，

nqn ＋1－n ＋1qn ＋1q －12，q≠1.

思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an ＝bn×cn 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．

(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．