2010届高考数学矩阵乘法的简单性质
2.2矩阵乘法的性质课件人教新课标
A0
E
，
2
A1 A，
A2 AA1，
A3 AA 2，
称A n为A的n次方幂.
An AA n1,
二阶矩阵A的方幂的性质
Ak Al Akl , (Ak )l Akl, 其中k , l是任意自然数.
例
设A
1 0
11，求A6.
解法一（根据定义）
A2
AA
1 0
对于矩阵A
1 0
11，B
1 -2
-31，C 10
10，可以得到：
(
AB)C
1 2
32 10
10
2 3
12.
A(BC) 10
11
1 3
12
2 3
12.
于是有(AB)C A(BC).
二阶矩阵的乘法满足结合律
性质（结合律）
设A, B,C是任意的三个二阶矩阵 ，则A(BC) (AB)C. A的n次方幂
2 1
1 0
13,
A6 A3 A3 10
13 10
13
1 0
16.
下面考察矩阵的乘法是否满足交换律
例如：矩阵
1
2 0
0 1
确定的是伸缩变换： xy''
1
2 0
10
x y
,
矩阵
0 1
-01确定的是旋转变换R
900： xy''
0 1
-01
x y
.
变换R900 对单位正方形区域的作用结果如图2.2 1所示.
y
y
y
1
1 0
1
2
0 1
格上矩阵的乘积运算性质
格上矩阵的乘积运算性质声明：本文所提及的“格上矩阵的乘积运算性质”指的是在矩阵乘法中，给定两个矩阵A和B，格上矩阵的乘积AB的特殊性质。
在数学中，说到矩阵乘法，很多人第一反应就是乘法定理，也就是A B = B A，它表明矩阵乘法不受顺序的约束，这是因为矩阵乘法遵循一定的结合律。
尽管如此，但是有些特殊的矩阵乘积却会受顺序的影响，其中比较常见的就是“格上矩阵的乘积”。
格上矩阵的乘积是指给定两个矩阵A和B，其乘积AB被定义为：AB = A(B-1A)，这里B-1A表示矩阵B的逆矩阵乘以矩阵A。
根据定义，格上矩阵的乘积就是将两个矩阵做乘法运算，但是这个乘积只受A和B的顺序约束，而不受矩阵的乘法定理约束。
由于格上矩阵的乘积受顺序约束，所以它会具有特殊的性质，这些性质可以被用来建模某些特定的系统。
比如，在数字信号处理中，格上矩阵的乘积可以用来建模滤波器；在计算机图形学中，它可以用来实现矩阵变换；在物理学中，它可以用来建模二维坐标变换。
此外，格上矩阵的乘积还可以应用于库仑力、膨胀应力和热膨胀系数等诸多科学领域。
一般来讲，格上矩阵的乘积AB=A(B-1A)满足一定的性质，其中最重要的便是循环性质。
“循环性”是指：A(B-1A)=A(B-1AB)=(AB)B-1=(AB)B-1A，即矩阵A和B的乘积AB会循环出现，当A和B的乘积满足循环性质时，它就称为格上矩阵的乘积。
另外，格上矩阵的乘积还具有一种特殊的运算性质定向性质，它有助于发现某些矩阵乘积的结果，也就是A(B-1A)。
由定向性质得出的结果是，只有当B和A处于相同的方向时，矩阵乘积AB才会有正确的值。
而当B和A处于相反的方向时，矩阵乘积AB会出现“结果为0”的情况，表明它们不存在格上矩阵的乘积。
因此，从大的角度来讲，“格上矩阵的乘积”就是指一种满足循环性质和定向性质的矩阵乘积。
在数学和物理学中，它被广泛应用于模型的建立，比如滤波器、坐标变换、库仑力等，可以说这些运算性质极大地拓展了矩阵乘积的应用范围。
[最新]人教版数学高中选修2.3.2矩阵乘法的简单性质
![[最新]人教版数学高中选修2.3.2矩阵乘法的简单性质](https://img.taocdn.com/s3/m/31160a7e14791711cc791769.png)
精品精品资料精品精品资料选修4－2矩阵与变换 2.3.2 矩阵乘法的简单性质学习目标1、通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。
2、会验证矩阵的乘法满足结合律。
3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。
学习过程：一、预习：阅读教材，体会下列知识：1、两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB BA,由AB=AC不一定能推出B=C.2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为nA的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.练习1、对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为2、已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝01-1，变换T2对应矩阵为N＝10.5对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。
二、课堂训练：例1．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。
例2、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M ，N ，它们不满足MN=NM ；（2）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式01010101AB成立；（3）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式00000101AB 成立．练习：1. 已知：A=1000，B ＝1001，C ＝1002，计算AB ，AC 。
二、矩阵乘法的性质(优秀经典公开课比赛课件).
AB=
1 4 4 6
BA=
1 2
8 6
说明:矩阵乘法不满足交换律.
课堂练习：
1 1 已知A= 0 1 ,求A6.
问题4：矩阵的乘法是否满足消去律?
例已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算AB，AC.
A（BC)=(AB)C.
2.设A是二阶矩阵，n是任意自然数，规定
A0= E2 ,An=AAn-1, 称An为A的n次方幂。
3.A的方幂遇有以下性质： AkAi=Ak+l, (Ak)l=Akl.
问题3：矩阵的乘法满足交换律吗？
分析：已知A=
1 0
02,B=12
4 3
,计算AB，BA;
解：AB=AC=
1 0
0 0
说明：矩阵乘法不满足消去律。
矩阵乘法的性质
问题探究 问题1.实数的乘法运算有哪些性质？
探索新知
问题2： 矩阵的乘法满足结合律吗？
例：已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算A（BC)，(AB)C.
(AB)C=A(BC)
说明:矩阵乘法满足结合律.
小结：
1.设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则
矩阵相乘几何意义
矩阵相乘几何意义矩阵相乘几何意义矩阵相乘是矩阵运算中的一种重要操作。
它的结果不仅有着计算机科学的应用，还具有广泛的几何意义。
在本文中，我们将探讨矩阵相乘的几何意义，并分步骤解释它的实际应用。
第一步：了解矩阵基本知识在进一步解释矩阵相乘的几何意义之前，让我们先了解一些基本知识。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列在一个矩形区域内所组成的数学对象。
矩阵中的每个数都称为元素，通常表示为 a_ij，在矩阵中的位置用行和列来表示，如下图所示：```a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33```其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
第二步：矩阵相乘的定义矩阵相乘的定义可以比较简单地表示为：两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的乘积之和。
如果 A 和 B 是两个大小分别为m×n 和n×p 的矩阵，那么它们的乘积 AB 就是一个大小为m×p 的矩阵。
计算两个矩阵相乘的方法可以参考下图所示的矩阵相乘规则：```A = [a11 a12]B = [b11 b12] AB = [a11b11+a12b21 a11b12+a12b22][a21 a22] [b21 b22] [a21b11+a22b21 a21b12+a22b22]```第三步：矩阵相乘的几何意义矩阵相乘的几何意义是：将一个矩阵（即 A）表示为向量的线性组合，其中每个向量的系数由另一个矩阵（即 B）的相应元素提供。
换句话说，矩阵相乘的结果是 B 中每个向量的线性组合。
考虑下面的例子：```A = [1 2]B = [2 0] AB = [2 0][3 4] [1 3] [8 6]```假设我们要将矩阵 A 表示为向量的线性组合。
这可以通过以下方式完成：```x[1 2] + y[3 4] = [1 0] 或者 x[1 2] + y[3 4] = [0 1] ```其中 x 和 y 是系数。
mathematics矩阵相乘
mathematics矩阵相乘
矩阵相乘是数学中一项重要的运算，它在各个领域都有广泛的应用。
通过矩阵相乘，我们可以将不同的数据进行组合和变换，从而得到新的结果和信息。
矩阵相乘可以用于解决线性方程组。
假设我们有一组线性方程，其中包含多个未知数和已知的系数。
通过将这些系数和未知数组成矩阵，我们可以将这个线性方程组转化为矩阵相乘的形式。
通过矩阵相乘，我们可以求解出未知数的值，从而得到方程组的解。
矩阵相乘还可以用于表示线性变换。
在几何学中，我们可以用矩阵来表示平移、旋转、缩放等线性变换。
通过将原始坐标和变换矩阵相乘，我们可以得到变换后的坐标。
这种方式可以使得我们对几何图形的变换有更加直观的理解。
矩阵相乘还可以用于处理图像和信号。
在计算机图形学中，我们可以将图像表示为矩阵，通过将图像矩阵与变换矩阵相乘，可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
在信号处理中，我们可以将信号表示为矩阵，通过矩阵相乘可以对信号进行滤波、降噪等处理。
总的来说，矩阵相乘是一项非常有用的数学运算，它在解决线性方程组、表示线性变换以及处理图像和信号等方面都有广泛的应用。
通过矩阵相乘，我们可以将复杂的问题转化为矩阵运算，从而更加方便地进行计算和分析。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，
矩阵相乘都扮演着重要的角色。
矩阵乘法的性质
我们知道实数乘法运算满足一定的运算律。即对实数 a ，b ,c 有结合律：（ab）c=a（bc）； 交换律：ab=ba ;削去律: 设a≠0 ,如果ab =ac ,那么 b =c; 如果ba =ca ,那么 b =c
探究 类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否 也满足某些运算律？
1
1
1
1
1
综上所述，矩阵的乘法运算满足结合律， 但不满足交换律和削去律
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
因此 （AB）C= A（BC） 所以，二阶矩阵的乘法满足结合律即
1 1
1 1
1
2.2-1 1
1 2.2-2
-1 1
于是 AB≠ BA
所以，我们有结论：矩阵的乘法不满足交换律。 注意（对于某些矩阵A,B也可能有AB =BA）
1
1
1
1
1
1
复合变换λ ·β 对单位正方形区域作用结果如图 2.2-4
矩阵乘法精讲
• • • • • • • • • • •
int i,j,k; Mat a,b,c; for (i=0;i<len;i++) { for (j=0;j<len;j++) { c.mat[i][j] = 0; for(k=0;k<len;k++) c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]; } }
• 用压缩再比较的方法不能得到正确结果。 压缩再比较的关键在于怎么样在和中体现 原来每个元素的个性。 • 关键就是X行向量怎么设定。可以设定一个 随机的向量X，就是把X的每个元素设为随 机数。 • 不过上面代码是可以AC了，大家也可以试 试把X设置为随机向量的做法。
矩阵乘法矩阵的乘法hadoop矩阵乘法线性代数矩阵乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵乘法运算矩阵乘法公式matlab矩阵乘法二阶矩阵乘法矩阵乘法的性质
矩阵乘法
• 矩阵乘法的两个重要性质： • 一、矩阵乘法不满足交换律； • 二、矩阵乘法满足结合律。
• 一般矩阵乘法采用朴素的O(n^3)的算法：
• struct Mat • { • int mat[Max][Max]; • }
• 完成了７次乘法，再做如下加法： C11 = M5 + M4 - M2 + M6 C12 = M1 + M2 C21 = M3 + M4 C22 = M5 + M1 - M3 - M7 全部计算使用了７次乘法和1８次加减法， （原算法8次乘法，4次加法），计算时间降 低到O(nE2.81)。计算复杂性得到较大改进。
#include<stdio.h> #include<string.h> #define maxn 505 int n; int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn]; int abd[maxn],bd[maxn],cd[maxn],d[maxn]; void init(int m[][maxn]) { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&m[i][j]); } int main() { int i,j; while(~scanf("%d",&n)) { init(a);init(b);init(c); for(i=1;i<=n;i++) d[i]=i; memset(bd,0,sizeof(bd)); memset(cd,0,sizeof(cd)); memset(abd,0,sizeof(abd));