矩阵乘法题目
十个利用矩阵乘法解决的经典题目
By Matrix67 好像目前还没有这方面题目的总结。
这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。
这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。
在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。
一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。
为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。
为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。
假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。
操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。
其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。
如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。
利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时
O(m+n)。
假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。
预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。
我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。
这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。
例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。
根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
经典题目3 POJ3233 (感谢rmq)
题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。
输出的数据mod m。
k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。
首先我们知道，A^i可以二分求出。
然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。
比如，当k=6时，有：
A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
应用这个式子后，规模k减小了一半。
我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
经典题目4 VOJ1049
题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。
m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。
注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。
例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：
置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。
我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。
做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]
细菌，版次不同可能页码有偏差）
大家自己去看看吧，书上讲得很详细。
解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
经典题目6 给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31 根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。
每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。
那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。
不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：
经典题目7 VOJ1067
我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n 行填对应的系数，其它地方都填0。
例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：
利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。
这里给出的例题是系数全为1的情况。
经典题目8 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B 点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。
令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。
类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。
同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，
N<2^31，输出答案mod p的结果
我们以M=3为例进行讲解。
假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。
其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。
现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。
由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。
在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。
注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。
把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。
比如，n=2时有3种方案，
111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应。
这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。
经典题目10 POJ2778
题目大意是，检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。
合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。
题目将给出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10。
数据规模n<=2 000 000 000。
下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例，说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。
我们找出所有病毒片段的前缀，把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以??结尾。
其中问号表示“其它情况”，它可以是任一字母，只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。
显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空，并集为全集）。
现在，假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA 的个数。
我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。
例如，从AT不能转移到AA，从AT转移到??有4种方法（后面加任一字母），从?A转移到AA有1种方案（后面加个A），从?A转移到??有2种方案（后面加G或C），从GG到??有2种方案（后面加C将构成病毒片段，不合法，只能加A和T）等等。
这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。
然后，我们就把这个图转化成矩阵，让这个矩阵自乘n次即可。
最后输出的是从??状态到所有其它状态的路径数总和。
题目中的数据规模保证前缀数不超过100，一次矩阵乘法是三方的，一共要乘log(n)次。
因此这题总的复杂度是100^3 * log(n)，AC了。
矩阵的运算应用实例
25 .0 40 .0 55 .0
25 .0 25 .0 47 .5
矩阵运算应用示例三
问题描述：
设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型
三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14 升——译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘 开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这 些商品的单价：
问题分析一：
问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，
理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个 问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表 述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以 局阵乘积所代表的含义也尽不相同。
问题分析二：
对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅
需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定 义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。 对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物
（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造 每种物品需要多少费用？ （c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造 每种类型住宅需要多少费用？
预备知识：
两个矩阵乘积的定义： 矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第
一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对 应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中， 我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数 相等。
A
机时
I/O 执行 系统
计时收费
B I/0 执行 系统
方式Ⅰ
方式Ⅱ
作业A 作业B
20 10 作业C 5 4 25 8 10 10 5
2 3 6 5 3 4
C 每种类型的作业数量 D 方式Ⅰ 方式Ⅱ 机时比
供货商A 供货商B 供货商C
巨无霸 $ 4.00 $ 6.00 $ 1.00 $ 0.85 $ 5.00 $ 5.00 $ 0.85 $ 1.00 $ 7.00
矩阵变换练习题
矩阵变换练习题考虑以下矩阵变换练习题，通过解题的过程，加深对矩阵变换的理解。
题目一：已知矩阵A = [[2, 3], [1, 4]]，矩阵B = [[5, 1], [2, 3]]，求矩阵A与矩阵B的乘积。
解答一：首先，我们需要了解矩阵的乘法运算法则。
矩阵A与矩阵B的乘积C = A × B，其结果矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B 的列数。
而C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列元素逐个相乘之后再求和。
根据上述规则，我们可以进行矩阵A与矩阵B的乘积计算。
首先，计算矩阵C的第1行第1列元素：C[1][1] = A[1][1] × B[1][1] + A[1][2] × B[2][1] = 2 × 5 + 3 × 2 = 4 + 6 = 10。
接着，计算矩阵C的第1行第2列元素：C[1][2] = A[1][1] × B[1][2] + A[1][2] × B[2][2] = 2 × 1 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11。
然后，计算矩阵C的第2行第1列元素：C[2][1] = A[2][1] × B[1][1] + A[2][2] × B[2][1] = 1 × 5 + 4 × 2 = 5 + 8 = 13。
最后，计算矩阵C的第2行第2列元素：C[2][2] = A[2][1] × B[1][2] + A[2][2] ×B[2][2] = 1 × 1 + 4 × 3 = 1 + 12 = 13。
综上所述，矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵C = [[10, 11], [13, 13]]。
已知矩阵D = [[2, 4, 1], [3, 0, 2]]，矩阵E = [[-1, 3], [2, -2], [5, 1]]，求矩阵D与矩阵E的乘积。
算法题 矩阵乘法
矩阵乘法是一种常见的线性代数运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的规则是：若A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积C是一个m行p列的矩阵，其中C的第(i, j)个元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
以下是一个示例的矩阵乘法算法的伪代码：
```
function matrixMultiplication(A, B):
m = rows of A
n = columns of A (or rows of B)
p = columns of B
if columns of A != rows of B:
return Error: Matrix dimensions are not compatible for multiplication
create a new matrix C with dimensions m x p
for i = 1 to m:
for j = 1 to p:
c = 0
for k = 1 to n:
c = c + A[i][k] * B[k][j]
C[i][j] = c
return matrix C
```
在这个算法中，我们首先检查输入的矩阵是否满足矩阵乘法的规则，即A的列数与B的行数相等。
然后我们创建一个新的矩阵C，用于存储乘积的结果。
接下来，我们使用三个嵌套的循环遍历矩阵A和B的元素，并计算乘积的和，将结果存入矩阵C的对应位置。
请注意，矩阵乘法的时间复杂度为O(mnp)，其中m、n、p分别是矩阵A、B和结果矩阵C的维度。
因此，在处理大型矩阵时，矩阵乘法可能会消耗较多的计算资源。
矩阵乘积的练习题
矩阵乘积的练习题矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一，在科学计算、图像处理、机器学习等领域都得到广泛应用。
为了加深对矩阵乘法的理解，并提高解题能力，下面列举了一些矩阵乘积的练习题。
请读者根据题目要求进行计算，并附上详细的解题过程。
1. 题目一已知矩阵A为3×2的矩阵，B为2×4的矩阵，请计算A与B的乘积。
解答：首先，根据矩阵乘法的定义，两个矩阵相乘的结果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
因此，A 与B的乘积矩阵C的维度为3×4。
设C为3×4矩阵，其中C的元素c(i,j)表示乘积矩阵C中第i行、第j列的元素。
根据乘积矩阵的计算方法，有：c(1,1) = a(1,1) * b(1,1) + a(1,2) * b(2,1)c(1,2) = a(1,1) * b(1,2) + a(1,2) * b(2,2)c(1,3) = a(1,1) * b(1,3) + a(1,2) * b(2,3)c(1,4) = a(1,1) * b(1,4) + a(1,2) * b(2,4)c(2,1) = a(2,1) * b(1,1) + a(2,2) * b(2,1)c(2,2) = a(2,1) * b(1,2) + a(2,2) * b(2,2)c(2,3) = a(2,1) * b(1,3) + a(2,2) * b(2,3)c(2,4) = a(2,1) * b(1,4) + a(2,2) * b(2,4)c(3,1) = a(3,1) * b(1,1) + a(3,2) * b(2,1)c(3,2) = a(3,1) * b(1,2) + a(3,2) * b(2,2)c(3,3) = a(3,1) * b(1,3) + a(3,2) * b(2,3)c(3,4) = a(3,1) * b(1,4) + a(3,2) * b(2,4)根据以上公式，计算出矩阵C的各个元素即可得到最终结果。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
矩阵的运算模拟试题
矩阵的运算模拟试题在学习线性代数的过程中，矩阵的运算是一个重要的内容。
通过对矩阵的加法、减法、乘法等运算进行模拟试题的实践，不仅可以巩固对矩阵运算的理论知识的掌握，还可以培养解决实际问题的思维能力。
下面将通过一组矩阵的运算模拟试题，来帮助读者更好地理解和应用矩阵的运算。
1. 已知矩阵 A = [1 3 5; 2 4 6]，矩阵 B = [2 4; 6 8; 10 12]，计算矩阵A 与矩阵B 的乘积。
解析：矩阵 A 的维度为 2×3，矩阵 B 的维度为 3×2，因此两个矩阵可以进行乘积运算。
乘积的结果矩阵的维度为 2×2。
根据矩阵乘法的定义，我们可以计算出矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为：C = A × B = [44 56; 56 74]。
2. 已知矩阵 P = [1 2 -1; 3 4 5; 6 7 8]，求矩阵 P 的转置矩阵。
解析：转置矩阵的每个元素通过将原矩阵的行和列对调而得到。
矩阵 P 的转置矩阵为 P^T = [1 3 6; 2 4 7; -1 5 8]。
3. 已知矩阵 Q = [2 -1 3; 4 0 2; -3 1 5]，求矩阵 Q 的逆矩阵。
解析：逆矩阵是指存在一个矩阵 B，使得矩阵 Q 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵 I。
如果存在逆矩阵的话，我们可以通过求解线性方程组 Q ×B = I 来得到逆矩阵 B。
解该线性方程组后，得到逆矩阵为 B = [-0.3 -0.2 0.4; 1.8 0.4 -0.2; 0.1 -0.2 0.2]。
通过以上三个例题，我们可以看到矩阵的运算在实际中的应用是非常广泛的。
无论是解决线性方程组、计算向量的夹角、图像处理等等，矩阵运算都起到了重要的作用。
除了基本的矩阵运算外，矩阵的运算还可以有更多的应用。
例如，可以通过矩阵运算求解某一系统的平衡状态，或者通过矩阵运算进行数据处理和分析等。
在信息技术领域中，矩阵的运算也被广泛应用于图像处理、卷积神经网络等方面。
矩阵的乘法运算例题带过程
矩阵的乘法运算例题带过程
矩阵乘法是矩阵计算中最基本的操作之一，它允许你将一个矩阵乘以另一个矩阵，并返回一个新的矩阵。
下面是一些矩阵乘法的例题及其过程：
1. 矩阵乘法示例1:将两个2x2的矩阵A和B乘以它们的元素，并返回C的值。
C = A * B
过程：
首先，将A的2x2矩阵的对角线元素与B矩阵的第一行第一列元素相乘，将B的2x2矩阵的对角线元素与A的对角线元素相乘，以此类推。
这将得到一个3x3的新矩阵C,其中c[i][j]表示A矩阵中i行j列的元素。
例如，假设矩阵A和B如下：
A = [1 2; 3 4]
B = [2 4; 1 3]
那么，C = [1 * 2; 3 * 4]
= [1; 7]
= [1; 1; 7]
[2 * 4; 1 * 3]
= [6; 1]
= [6; 1; 6]
2. 矩阵乘法示例2:将两个3x3的矩阵A和B乘以它们的元素，并返回C的值。
C = A * B
过程：
首先，将A的3x3矩阵的对角线元素与B矩阵的第一行第一列元素相乘，将B的3x3矩阵的对角线元素与A矩阵的对角线元素相乘，以此类推。
这将得到一个4x4的新矩阵C,其中c[i][j][k]表示A矩阵中i行j列k个元素与B矩阵中相应元素乘积的值。
例如，假设矩阵A和B如下：
A = [1 2 3]
B = [2 4 5]
那么，C = [1 * 2 * 3; 2 * 4 * 5]
= [1; 12]
= [1; 16]
[1 * 2 * 3; 2 * 4 * 5]
= [2; 5]
= [6; 10]
3. 矩阵乘法示例。
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
高一数学一 复合变换与二阶矩阵的乘法试题
高一数学一复合变换与二阶矩阵的乘法试题1.把实数a，b，c，d排成如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点．【答案】（3，2）【解析】直接根据二行二列矩阵与点的乘法定义运算即可解：∵∴故答案为（3，2）点评：本题考查了二行二列矩阵与点的乘法定义，属于基础题．2.矩阵，，则2A﹣3B= ．【答案】【解析】本题直接根据二阶矩阵与实数的乘法的运算法则及减法运算法则进行运算即可求出所求．解：∵矩阵，∴2A=，∴3B=，∴2A﹣3B==．故答案为：．点评：本题考查与实数的乘法、矩阵减法，解题的关键是理解并掌握矩阵的运算法则．3.已知曲线C：x2+y2=1，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线C：+y2=1．则实数b= ．【答案】±1．【解析】从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA，然后在曲C1上任意选一点P（x，y），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），建立关系式，将P（x0，y）代入x2+y2=1，最后与+y2=1比较可得b的值．解：从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵BA=•=在曲C1上任意选一点P（x，y），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），则有•=解得代入曲线C：x2+y2=1，得，y'2+=1 即曲线方程为：+y2=1与已知的曲线C2的方程为：+y2=1比较得（2b）2=4所以b=±1．故答案为：±1．点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．4.计算：= ．【答案】【解析】利用二阶矩阵乘法公式求解．解：：==．故答案为：．点评：本题考查两个二阶矩阵的乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题．5.已知矩阵A=[f（x）]，B="[x" 1﹣x]，，若A=BC，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．【答案】【解析】首先矩阵，可求出A即函数f（x）的表达式，是一个以a为对称轴的抛物线，在根据抛物线的性质求其在区间上的极值问题．解：因为BC="[x" 1﹣x]=[x2+2a（1﹣x）]，A=[f（x）]又因为A=BC，f（x）=x2﹣2ax+2a=（x﹣a）2+2a﹣a2，∵x∈[1，2]．当x≥2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=4﹣2a．当1≤x＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=2a﹣a2．当x＜1时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1．∴．点评：此题主要考查矩阵的乘法以及抛物线的极值问题，有一定的计算量，考查综合应用水平．6.已知矩阵M=[]N=[]．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q（0，1），求点P的坐标．【答案】（1）[]；（2）P（，﹣1）．【解析】（1）直接根据矩阵的乘法公式进行求解即可；（2）根据二阶矩阵与列向量乘法的定义即可求解点P的坐标．解：（1）MN=[][]=[]=[]；（2）设P（x，y），∵点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q（0，1），∴[][]=[]即，解得：即P（，﹣1）．点评：本题主要考查了复合变换与二阶矩阵的乘法，以及二阶矩阵与列向量乘法的定义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．7.设数列{an }，{bn}满足an+1=2an+3bn，bn+1=2bn，且满足，试求二阶矩阵M．【答案】【解析】由题设得，设，则M=A4．由此利用矩阵的运算法则能够求出二阶矩阵M．解：由题设得，设，则M=A4．（5分）M=A4=（A2）2==．（10分）点评：本题考查矩阵的运算法则，解题时要注意矩阵的乘法运算．8.（矩阵与变换）已知矩阵，矩阵MN对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C，求C的方程．【答案】y=2sin2x【解析】根据矩阵的乘法法则=求出MN，设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x，y）在矩阵MN变换下的对应点，然后根据变换的性质求出曲线方程．解答：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．满分（7分）．解：，（2分）设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x，y）在矩阵MN变换下的对应点，则，即（4分）又点p0（x，y）在曲线y="sinx" 上，故 y=sinx，从而，所求曲线C的方程为y=2sin2x…（7分）点评：考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．9.（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】见解析【解析】选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由，，得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，即t2﹣3t+4=0，由于﹣4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以，解得a=2．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．点评：选作题1主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．计算量小属于较容易的题．选作题2主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．选修3：本小题涉及不等式，主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．10.（2012•厦门模拟）本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．（1）选修4﹣2：矩阵与变换已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．（I）求矩阵M；（Ⅱ）若，求M10a．（2）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．（3）选修4﹣5：不等式选讲（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．【答案】见解析【解析】（1）（I）由题意，根据特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵M；（Ⅱ）求出矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），从而可求矩阵M的另一个特征值与特征向量，将向量用特征向量线性表示，进而可求结论；（2）（I）由消去θ，即可得普通方程；（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，从而可得曲线C的极坐标方程；（3）（I）利用作差法即可证得；（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则，根据，可得u2+v2=4，由柯西不等式得：，从而可求的最小值．（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2∴矩阵M=；（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）∴矩阵M的另一个特征值为λ=12设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则∴，取x=1，则∴∴=（2）（I）由消去θ可得（x﹣2）2+y2=1；（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0∴曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0（3）（I）证明：左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，∴左边≥右边即（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则∵，∴（u+v）2+（u﹣v）2=8，∴u2+v2=4由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．点评：本题是选做题，考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，考查坐标系与参数方程，考查柯西不等式的证明与运用，属于中档题．。
矩阵相乘练习题
矩阵相乘练习题矩阵是线性代数中的重要工具，而矩阵相乘是线性代数中的基本运算之一。
矩阵相乘不仅在理论研究中有着广泛应用，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。
为了巩固我们对矩阵相乘的理解，下面将给出一些矩阵相乘的练习题。
练习题 1：已知矩阵 A 如下：2 41 3矩阵 B 如下：5 67 8求矩阵 C = A * B。
解答：C 的元素 cij 可以通过矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B 的第 j 列进行内积得到。
c11 = 2*5 + 4*7 = 10 + 28 = 38c12 = 2*6 + 4*8 = 12 + 32 = 44c21 = 1*5 + 3*7 = 5 + 21 = 26c22 = 1*6 + 3*8 = 6 + 24 = 30所以，矩阵 C 为：38 4426 30练习题 2：已知矩阵 A 如下：1 2 34 5 6矩阵 B 如下：7 89 1011 12求矩阵 C = A * B。
解答：C 的元素 cij 可以通过矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B 的第 j 列进行内积得到。
c11 = 1*7 + 2*9 + 3*11 = 7 + 18 + 33 = 58c12 = 1*8 + 2*10 + 3*12 = 8 + 20 + 36 = 64c21 = 4*7 + 5*9 + 6*11 = 28 + 45 + 66 = 139c22 = 4*8 + 5*10 + 6*12 = 32 + 50 + 72 = 154所以，矩阵 C 为：58 64139 154练习题 3：已知矩阵 A 如下：1 2 3矩阵 B 如下：456求矩阵 C = A * B。
解答：C 的元素 cij 可以通过矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B 的第 j 列进行内积得到。
c11 = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32所以，矩阵 C 为：32练习题 4：已知矩阵 A 如下：1 23 45 6矩阵 B 如下：1 2 34 5 6求矩阵 C = A * B。