矩阵算法经典题目
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵运算练习题
矩阵运算练习题矩阵运算是线性代数中的重要概念，也是数学、工程和计算机科学等领域中常见的计算方法。
通过熟练掌握矩阵运算，我们能够更好地理解和解决实际问题。
本文将提供一些矩阵运算的练习题，帮助读者加深对矩阵运算的理解。
一、矩阵加法矩阵加法是指对两个具有相同行列数的矩阵进行逐元素相加的运算。
假设有两个矩阵A和B，它们的行列数均为m×n。
矩阵A和B的和记作C，即C=A+B。
下面是一道关于矩阵加法的练习题：练习题1：已知矩阵A = [[2, 3], [4, -1]]，B = [[1, 2], [0, 3]]，求C =A + B。
解答：将A和B逐元素相加，得到C = [[(2+1), (3+2)], [(4+0), (-1+3)]] = [[3, 5], [4, 2]]。
二、矩阵减法矩阵减法是指对两个具有相同行列数的矩阵进行逐元素相减的运算。
同样，假设有两个矩阵A和B，它们的行列数均为m×n。
矩阵A和B的差记作C，即C=A-B。
下面是一道关于矩阵减法的练习题：练习题2：已知矩阵A = [[2, 3], [4, -1]]，B = [[1, 2], [0, 3]]，求C =A - B。
解答：将A和B逐元素相减，得到C = [[(2-1), (3-2)], [(4-0), (-1-3)]] = [[1, 1], [4, -4]]。
三、矩阵数乘矩阵数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
假设有一个矩阵A，它的行列数为m×n，常数k，那么k与A的乘积记作B，即B=kA。
下面是一道关于矩阵数乘的练习题：练习题3：已知矩阵A = [[2, 3], [4, -1]]，求B = 2A。
解答：将A的每个元素都乘以2，得到B = [[2×2, 2×3], [2×4, 2×(-1)]] = [[4, 6], [8, -2]]。
四、矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中较为复杂的一种运算。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
十个利用矩阵解决的经典题目
⼗个利⽤矩阵解决的经典题⽬借鉴做题：经典题⽬1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。
操作有平移、缩放、翻转和旋转这⾥的操作是对所有点同时进⾏的。
其中翻转是以坐标轴为对称轴进⾏翻转（两种情况），旋转则以原点为中⼼。
如果对每个点分别进⾏模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。
利⽤矩阵乘法可以在O(m)的时间⾥把所有操作合并为⼀个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。
假设初始时某个点的坐标为x和y，下⾯5个矩阵可以分别对其进⾏平移、旋转、翻转和旋转操作。
预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可⼀步得出最终点的位置。
经典题⽬2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。
我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) *A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。
这就告诉我们，计算A^n也可以使⽤⼆分快速求幂的⽅法。
例如，为了算出的⼀些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免⾼精度运算。
A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。
根据的值即可。
根据的⼀些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免⾼精度运算。
经典题⽬3 (感谢)题⽬⼤意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。
输出的数据mod m。
k<=10^9。
这道题两次⼆分，相当经典。
⾸先我们知道，A^i可以⼆分求出。
然后我们需要对整个题⽬的数据规模k进⾏⼆分。
⽐如，当k=6时，有：A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应⽤这个式⼦后，规模k减⼩了⼀半。
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
矩阵相关练习题
矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。
1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。
2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。
3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。
4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。
5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。
6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。
7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。
8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。
9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。
10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。
这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。
希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。
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经典题目这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。
在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。
一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果的那个4等于2*2+0*1：右面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。
为什么矩阵乘法不满足交换律呢？因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。
为什么它又满足结合律呢？假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
经典题目1给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。
操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。
其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。
如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。
利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。
假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。
预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
经典题目2给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。
我们可以得到这样的结论：当n 为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。
这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。
例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。
根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
经典题目3POJ3233 (感谢rmq)题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。
输出的数据mod m。
k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。
首先我们知道，A^i可以二分求出。
然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。
比如，当k=6时，有：A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应用这个式子后，规模k减小了一半。
我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
经典题目4VOJ1049题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。
m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。
注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。
例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。
我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。
做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
经典题目5《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）大家自己去看看吧，书上讲得很详细。
解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
经典题目6给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。
每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。
那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci 数了。
不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：经典题目7VOJ1067我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。
例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。
这里给出的例题是系数全为1的情况。
经典题目8给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。
令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。
类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。
同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
经典题目9用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出答案mod p的结果我们以M=3为例进行讲解。
假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。
其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。
现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。
由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。
在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。
注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。
把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。
比如，n=2时有3种方案，111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应。
这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。
后面我写了一份此题的源代码。
你可以再次看到位运算的相关应用。
经典题目10POJ2778题目大意是，检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。
合法的DNA只能由ACTG 四个字符构成。
题目将给出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10。
数据规模n<=2 000 000 000。
下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例，说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。
我们找出所有病毒片段的前缀，把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以??结尾。
其中问号表示“其它情况”，它可以是任一字母，只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。
显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空，并集为全集）。
现在，假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。
我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。
例如，从AT不能转移到AA，从AT转移到??有4种方法（后面加任一字母），从?A转移到AA有1种方案（后面加个A），从?A转移到??有2种方案（后面加G或C），从GG到??有2种方案（后面加C将构成病毒片段，不合法，只能加A和T）等等。
这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。
然后，我们就把这个图转化成矩阵，让这个矩阵自乘n次即可。
最后输出的是从??状态到所有其它状态的路径数总和。
题目中的数据规模保证前缀数不超过100，一次矩阵乘法是三方的，一共要乘log(n)次。
因此这题总的复杂度是100^3 * log(n)，AC了。
最后给出第9题的代码供大家参考（今天写的，熟悉了一下C++的类和运算符重载）。
为了避免大家看代码看着看着就忘了，我把这句话放在前面来说：Matrix67原创，转贴请注明出处。
#include <cstdio>#define SIZE (1<<m)#define MAX_SIZE 32using namespace std;class CMatrix{public:long element[MAX_SIZE][MAX_SIZE];void setSize(int);void setModulo(int);CMatrix operator* (CMatrix);CMatrix power(int);private:int size;long modulo;};void CMatrix::setSize(int a){for (int i=0; i<a; i++)for (int j=0; j<a; j++)element[i][j]=0;size = a;}void CMatrix::setModulo(int a){modulo = a;}CMatrix CMatrix::operator* (CMatrix param){CMatrix product;product.setSize(size);product.setModulo(modulo);for (int i=0; i<size; i++)for (int j=0; j<size; j++)for (int k=0; k<size; k++){product.element[i][j]+=element[i][k]*param.element[k][j]; product.element[i][j]%=modulo;}return product;}CMatrix CMatrix::power(int exp){CMatrix tmp = (*this) * (*this);if (exp==1) return *this;else if (exp & 1) return tmp.power(exp/2) * (*this);else return tmp.power(exp/2);}int main(){const int validSet[]={0,3,6,12,15,24,27,30};long n, m, p;CMatrix unit;scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);unit.setSize(SIZE);for(int i=0; i<SIZE; i++)for(int j=0; j<SIZE; j++)if( ((~i)&j) == ((~i)&(SIZE-1)) ){bool isValid=false;for (int k=0; k<8; k++)isValid=isValid||(i&j)==validSet[k]; unit.element[i][j]=isValid;}unit.setModulo(p);printf("%d", unit.power(n).element[SIZE-1][SIZE-1] ); return 0;}。