2.3.2 矩阵乘法的简单性质
矩阵乘法的性质
������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3
1 0
3 1
=
1 0
6 1
下面考察二阶矩阵的乘法是否满足交换律。我们从某些具体的
二阶矩阵所对应的线性变换对平面图形的作用效果入手，
1
例如：矩阵 2
0 确定的伸缩变换
01
β：
x‘ ������′
1
=2 0
0 1
x ������
矩阵
0 1
−1 0
确定的是旋转变换
������900
:
x‘ ������′
A=
������1 ������1
������1 ������1
B=
������2 ������2
������2 ������2
C=
������3 ������3
������3 ������3
一方面
AB
=
������1 ������1
������1 ������1
������2 ������2
=
������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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铃
三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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铃
3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
线性代数第二章
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
[最新]人教版数学高中选修2.3.2矩阵乘法的简单性质
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精品精品资料精品精品资料选修4－2矩阵与变换 2.3.2 矩阵乘法的简单性质学习目标1、通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。
2、会验证矩阵的乘法满足结合律。
3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。
学习过程：一、预习：阅读教材，体会下列知识：1、两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB BA,由AB=AC不一定能推出B=C.2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为nA的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.练习1、对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为2、已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝01-1，变换T2对应矩阵为N＝10.5对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。
二、课堂训练：例1．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。
例2、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M ，N ，它们不满足MN=NM ；（2）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式01010101AB成立；（3）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式00000101AB 成立．练习：1. 已知：A=1000，B ＝1001，C ＝1002，计算AB ，AC 。
两个2乘以2矩阵相乘公式_解释说明
两个2乘以2矩阵相乘公式解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数中，矩阵相乘是一项非常重要的运算。
特别是当涉及到多个矩阵的乘法时，理解相乘公式和对其进行正确应用至关重要。
本文将详细解释和说明两个2乘以2矩阵相乘的公式及其相关概念。
1.2 文章结构本文将按照如下结构来讲解两个2乘以2矩阵相乘的公式：- 引言：提供文章的概述、目的和结构；- 两个2乘以2矩阵相乘公式的解释说明：介绍矩阵相乘的基本概念、步骤和规则，并给出实际应用举例；- 示例分析：对具体案例进行分析，包括第一个矩阵、第二个矩阵和结果矩阵的含义和计算过程等内容；- 结论与展望：总结两个2乘以2矩阵相乘公式的要点和步骤，并讨论是否适用于更高维度的矩阵相乘。
1.3 目的本文旨在提供读者对两个2乘以2矩阵相乘公式的深入理解，并通过示例和解释说明帮助读者正确运用该公式。
同时，我们也将考虑这些概念和方法是否适用于更高维度的矩阵相乘问题，并探讨可能存在的问题与挑战。
（注：本文所涉及的矩阵相乘公式均为普通文本格式，请参考上述目录结构中的内容）2. 两个2乘以2矩阵相乘公式的解释说明:矩阵相乘是线性代数中基本的运算之一。
当我们想要将两个2乘以2的矩阵相乘时，需要遵循一定的步骤和规则。
2.1 矩阵相乘的基本概念:在进行矩阵相乘之前，首先需要了解两个基本概念：行和列。
对于一个矩阵来说，行是指从左到右排列的元素集合，而列是指从上到下排列的元素集合。
2.2 两个2乘以2矩阵相乘的步骤和规则:步骤一: 确认两个矩阵是否满足相乘条件。
在进行矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
步骤二: 逐行逐列地进行计算。
假设有两个2乘以2的矩阵A和B，则它们可以表示为：A = [[a, b], [c, d]]B = [[e, f], [g, h]]那么它们的点积可以通过以下公式计算得出：AB = [[a*e + b*g, a*f + b*h], [c*e + d*g, c*f + d*h]]这里，每个结果矩阵的元素都是通过将第一个矩阵的行与第二个矩阵的对应列进行乘法运算，并将结果相加得到的。
矩阵乘法要求
矩阵乘法要求矩阵乘法是一种算术运算，它在线性代数，机器学习等多种领域中都有重要的作用。
由于它丰富的应用，因此其要求也很高。
本文将介绍矩阵乘法相关的要求，以供读者参考。
矩阵乘法的具体定义是：若A是m行n列矩阵，B是n行p列矩阵，那么矩阵C=AB是m行p列矩阵，其中每个元素是A第i行与B 第j列所有元素的积之和。
这意味着，在矩阵乘法中，第一个矩阵的行数要与第二个矩阵的列数相同，否则就无法做乘法的运算。
此外，矩阵乘法的运算可能会牵涉到矩阵的转置，即将矩阵的行和列互换位置。
例如，如果A是一个m*n矩阵，A的转置就是一个n*m 的矩阵，它的元素位置与A相反。
因此，如果两个矩阵的行数和列数不同，可以通过转置其中一个矩阵，使其列数与另一个矩阵行数相等，这样就可以进行乘法运算。
此外，在矩阵乘法运算中，另一个重要的要求就是矩阵的乘法的计算顺序必须满足一定的规则。
根据链式乘法定理，A和B的乘积AB 和B和C的乘积BC并不相等，它们的乘积为ABC，即A和BC的乘积，也就是说，A和B是乘法运算符号，最先求乘法运算的必须满足AB先乘BC后乘，即A与B先乘，AB与C后乘。
另外，在进行矩阵乘法计算时，还应该注意矩阵乘法的运算结果必须满足交换律，即如果A与B的乘积是C，那么B与A的乘积也是C。
这是因为在矩阵乘法中，元素的乘积并不是按顺序组合的，而是按位置组合的，即矩阵A中的元素aij需要与矩阵B中的元素bjk相乘，以获得矩阵C中的元素cik，因此矩阵乘法结果必须满足交换律。
最后，矩阵乘法也具有交构性，即如果A和B的乘积AB是可以计算的，那么A和B的转置的乘积为A的转置A和B的转置B的乘积AB也是可以计算的。
这是因为，矩阵乘法的运算过程仅仅是计算两个矩阵中每个元素的乘积，因此，交构性的存在，意味着矩阵乘法的结果不依赖于两个矩阵的行列顺序，可以将两个矩阵进行转置，以生成另一个矩阵，也可以得到相同的结果。
综上所述，矩阵乘法要求较高，本文概述了它的一些要求，例如，乘法计算需要满足矩阵的行数与列数的要求，同时也需要满足乘法的计算顺序，交换律和交构性等一系列要求。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。
我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。
1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。
2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。
3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。
二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
下面我们将详细介绍这些运算。
1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。
其中加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。
同样地，减法也满足交换律和结合律。
3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。
数乘也满足结合律和分配律。
4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。
三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。
1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。
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证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.
1 0
31 10
00＝10
13110
0 0
【导学号：30650025】
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【解】 ∵左＝10× ×11＋ ＋31× ×00 10× ×00＋ ＋31× ×00＝10 00，
右＝10××1＋ 1＋13× 1×00 1× 0×0＋ 0＋13× 1×00＝10 00， ∴左＝右.
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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2.矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、 反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫 做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵. (2)矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法 MN 的几何意义为：对向量 α＝xy连续实施的 两 次几何变换 (先 TN 后 TM )的复合变换.
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2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关 系？
【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以 复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.
3.矩阵乘法 MN 与 NM 的几何意义一致吗？为什么？
【提示】 不一致；因为前一个对应着先 TN 后 TM 的两次几何变换，而后者 对应着先 TM 后 TN 的两次几何变换.
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【自主解答】
(1)AB＝10
00 00
01＝10× ×00＋ ＋00× ×00
10× ×00＋ ＋00× ×11＝00
00.
(2)AB＝10
00 21
－10＝10× ×00＋ ＋02× ×11
10× ×（ （－ －11） ）＋ ＋02× ×00＝02
－10，
BA＝01
－11 00
02＝01× ×11＋ ＋（ 0×－01）×01×0× 0＋0＋ 0×（2－1）×2
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矩阵的乘法运算
(1)已知 A＝10 00，B＝00 01，计算 AB. (2)已知 A＝10 02，B＝01 －10，计算 AB，BA.
1 (3)已知 A＝21
2 【精彩点拨】
1 21，B＝－11 2
－11，计算 A2、B2.
利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.
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(3)当连续对向量实施n·(n＞1，且 n∈N*)次变换 TM 时，对应地我们记 Mn＝
.
3.矩阵乘法的运算性质
(1)矩阵乘法不满足交换律
对于二阶矩阵 A、B 来说，尽管 AB、BA 均有意义，但可能 AB≠BA.
(2)矩阵乘法满足结合律
设 A、B、C 均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC).
0 1，变换 2
T2
所对应的矩阵
N＝01
－10，计算 MN、
NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.
【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.
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【自主解答】
1 MN＝0
12001
－10＝012
－1
0
，
NM＝01
－11 00
10＝0 2 1
－12
.
0
故 MN≠NM.
(3)矩阵乘法不满足消去律
设 A、B、C 为二阶矩阵，当 AB＝AC 时，可能 B≠C.
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[思考·探究] 1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？
【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有 当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.
(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘 法只满足结合律.
＝01 －20.
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1 11 1 1 1
(3)A2＝21
22 11
21＝21
21，Biblioteka 2 22 2 2 2B2＝－11
1 1 －1－1
－11＝00
00.
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这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着 重要的意义.(1)中尽管 A、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中 AB≠BA；(3)中尽管 B≠C，但有 AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4) 中 A2＝A，B2＝0，这里 0 是一个二阶零矩阵.
1 0
00对应的变换将平面上的点垂直投影到 x 轴，而 x 轴上的点沿 x 轴的切
变变换是不动点.10
31，10
1 3 均为沿 x 轴的切变变换，自然有等式成立.
1
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矩阵乘法的简单性质
已知正方形 ABCD，点 A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变
1 换 T1 所对应的矩阵 M＝0
[基础·初探]
1.矩阵的乘法
一般地，对于矩阵 M＝aa1211 aa1222，N＝bb1211 bb1222，规定乘法法则如下：
MN＝aa1211
a12b11 a22b21
bb1222＝aa1211bb1111＋＋aa1222bb2211
aa1211bb1122＋＋aa1222bb2222.
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阶
阶
段
段
一
三
2.3.1 矩阵乘法的概念
阶 段 二
2.3.2 矩阵乘法的简单性质
学 业 分 层 测
评
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1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们. 2.会从几何变换的角度求 MN 的乘积矩阵. 3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.
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