2019-2020学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程(一)导学案 新人教A版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程（一）导学案 新人教A 版
选修2-1
【学习目标】
1．能从具体情境中抽象出双曲线的模型。
2．理解双曲线的定义，会求双曲线的标准方程。
【学习重点与难点】 教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程推导过程中的化简。
【使用说明与学法指导】
1.先学习课本P 52－P 55然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；
2.认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
预习案
一、问题导学
1．阅读P 52－P 53的内容：（1）如何绘制一个双曲线？（2）双曲线的定义是什么？（3）在双曲线的定义中，为什么要附加条件“小于12F F ”，不附加条件“小于12F F ”会出现什么情况？
2．如何通过双曲线的标准方程判断双曲线的焦点的位置？
3．类比圆有标准方程和一般方程，双曲线的一般方程是？
二、知识梳理
1．双曲线的定义：我们把 与两个定点1F ，2F 的 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两 间的距离叫做双曲线的 ．用数学符号可以把定义表示为 ．
2．双曲线的标准方程：
（1）焦点在x 轴上时，标准方程为 ；焦点在y 轴上时，标准方程为 ．
（2）参数,,a b c 之间的关系是：①等量关系____ ____；②不等关系____ __．
三、预习自测
1．已知()()5,0,5,0A B -，动点M 分别满足下列关系，问：M 的轨迹是否存在，若存在，是什么曲线？
（1）6MA MB -=±；（2）6MA MB -=；（3）10MA MB -=．
2．已知双曲线的方程如下，写出焦点坐标：
（1）221916x y -=； （2）22194y x -=； （3）22
1144625
x y -=． 3．双曲线224640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的
距离等于 ．
4．（1）焦点在x 轴上，4,1a b ==，此双曲线的的标准方程为____ ____．
（2
）4,c a =y 轴上；此双曲线的的标准方程为____ ____．
探究案
一、合作探究
探究1、（求双曲线的标准方程）．
(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，且此双曲线经过点(； (2)焦点为12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于6．
(3)焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．
思路小结：
探究2、（双曲线标准方程的应用）．
思路小结：
二、总结整理
1、核心知识：
2、典型方法：
训练案
一、课中检测与训练（能在5分钟之内完成）
1．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）10,6c a ==，此双曲线的的标准方程为____ ____．
（2）焦点在x 轴上，a =()5,2A -；
（3）经过两点(()7,,A B --．
2.相距1400m 的A,B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点的轨迹方程。
人教版高中数学全套教案导学案2.3.1双曲线及其标准方程
2. 3.1双曲线及其标准方程课前预习学案一．预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
二．预习内容：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做-------。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ．三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图 2-23，定点1F , 2F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|1MF | - |2MF | 是常数，这样就画出一条曲线； 由 |2MF | - |1MF | 是同一常数，可以画出另一支．新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < |21F F | ？ 2a = |21F F |时，轨迹是__________ ； 2a > |21F F | 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．新知 2：双曲线的标准方程：12222=-by a x ,(a> 0,b> 0,222b a c += )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 1F (-c ,0) ， 2F (c ,0) ．思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：22c a >2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：2x 、2y 的系数符相反，若2x 的系数为正，则焦点在x 轴上，反之则在y 轴上。
2019-2020年高三数学《双曲线及其标准方程》教案
2019-2020年高三数学《双曲线及其标准方程》教案教材分析：教学重点、难点重点：双曲线的定义，标准方程。
难点：双曲线标准方程的推导。
教学过程：（一）导入新课1．回顾椭圆的定义，标准方程2．提出问题：平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？拉链演示（二）推进新课1．双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值为常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
即以曲线上的点满足：（为定值，）思考：（1）若，点的轨迹是什么？（2）若，点的轨迹是什么？2．双曲线标准方程的推导以焦点在轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。
得到双曲线的标准方程为说明：（1）或均称为双曲线的标准方程；（2）三者的关系：，注意与椭圆中三者关系的区别；（3）；（三）讲解范例：1已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程分析：由已知，，答案：2．已知两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：结合双曲线的定义，，答案：（四）课堂练习1．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1），焦点在轴上；（2）焦点在轴上，经过点，；（3）焦点为，，且经过点2．求证：双曲线与椭圆焦点相同；3．已知方程表示双曲线，求的取值范围（五）课堂小结1．双曲线的定义、标准方程；2．标准方程中，三者的关系；（六）布置作业（C组题）1．双曲线上一点到焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离是；（B组题）2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，，并且经过点；（2）经过点，（A组题）3、已知双曲线与直线y=2x有交点，求双曲线离心率的取值范围。
板书设计2019-2020年高三数学《双曲线的几何性质》教案教材分析：教学过程：（一）导入新课1．回顾双曲线的定义，标准方程（二）推进新课1.范围：在x=a，x=-a的外侧，是无限延伸的。
2019-2020年高二数学双曲线及其标准方程教案
2019-2020年高二数学双曲线及其标准方程教案教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。
德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。
难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。
教学过程：一.复习提问，引入新课。
问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？师：（多媒体演示动点轨迹）。
师：同学们观察一下，动点所满足的几何条件是什么？ 生：长度在变，但。
师：这个常数与的大小关系如何？为什么？ 生：小于，三角形中两边之差小于第三边。
师：用同样的方法，使，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支。
（板书课题） 二.形成概念，推导方程。
师：双曲线上的点应满足的条件是什么？ 生：（小于）。
师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。
1.双曲线的定义。
（投影）师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？ 生：不能，为双曲线的一支。
师：定义中的常数，轨迹是什么？常数呢? 生：以为端点的两条射线。
常数无轨迹。
2.标准方程的推导。
生：①建系。
使轴经过两定点，轴为线段的垂直平分线。
②设点。
设是双曲线上任一点，焦距为，那么焦点，。
③列式。
即a y c x y c x 2)()(2222±=+--++。
④化简。
)()(22222222a c a y a x a c -=-- 两边同除以得 ※02222>-⇒>⇒>a c a c a c ，令（）代入※式得师：这个方程叫做双曲线的标准方程。
高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程导学案(创新班,无答案)新人教B版选修2-1 (2)
§2.2.1双曲线及其标准方程（课前预习案）一、新知导学1、双曲线的定义：在平面内到两个定点1F ，2F 的 等于定值2a （ ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点的距离叫做 ．2、已知平面内两点12(0,3),(0,3)F F -,动点P 满足下列条件,点P 的轨迹(1)12||||2PF PF -=,则动点P 的轨迹为 ;(2) 21||||4PF PF -=,则动点P 的轨迹为 ;(3) 21||||||4PF PF -=,则动点P 的轨迹为 ;3、双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，标准方程为 ，焦点1F 、2F ，这时2c = ；焦点在y 轴上，标准方程为 ，焦点1F 、2F ，这时2c = ．二、课前自测 1．（1）双曲线22124y x -=的焦点坐标是 ． （2）在双曲线221916x x -=中，a = ，b = ，c = ． 2．写出下列双曲线的标准方程：（1）3,6a b ==，焦点在x 轴上； （2）5,8a c ==．重点处理的问题（预习存在的问题）：§2.2.1双曲线及其标准方程（课堂探究案）一、学习目标： 使学生了解双曲线的定义，并能根据双曲线的定义建立适当坐标系推导双曲线的标 准方程，掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的,,a b c ；能根据条件确定双曲线的 标准方程。
二、教学重点：双曲线的定义及标准方程；教学难点：用坐标法推导双曲线的标准方程。
三、典例分析 例1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别是()5,0-，()5,0，双曲线上的点到两焦点的距离的差的 绝对值等于8； （2）两个焦点的坐标分别是()0,6-，()0,6，且双曲线经过点()5,6A -． 跟进练习1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）焦点是1(0,6)F -和()20,6F ，经过点()2,5A -； （2）焦点在x 轴上，经过点()4,2P -和()26,22Q ． 例2. 例2．已知双曲线2213645x y -=．（1）求此双曲线的左、右焦点1F ，2F 的坐标； （2）如果此双曲线上一点P 与焦点1F 的距离等于16，求点P 与焦点2F 的距离． 备课札记 学习笔记跟进练习2. 已知双曲线C 的方程是2211620y x -=． （1）求双曲线C 的焦点1F ，2F 的坐标；（2）如果此双曲线上一点P 与焦点1F 的距离等于8，求点P 与焦点2F 的距离． 四课堂检测 1．已知定点F 1()1,0-，F 2()1,0，动点P 满足121PF PF -=，则点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线 2．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关 3．如果双曲线2219x y -=的两个焦点是1F 、2F ，A 是该双曲线上的一点， 且15AF =，那么2AF =（ ）A ．510+B ．5210+C ．8D ．11 4．给出问题：12,F F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若P 到焦点 F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。
2019-2020年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程导学案(无答案)新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程导学案（无答案）新人教A版选修2-1【学习目标】1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点难点】双曲线的概念，双曲线标准方程双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法【学习过程】一、自主预习（预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．二、合作探究归纳展示※学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由是同一常数，可以画出另一支．三、讨论交流点拨提升新知1：双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．反思：设常数为，为什么？时，轨迹是；时，轨迹．试试：点，，若，则点的轨迹是．新知2：双曲线的标准方程：（焦点在轴）其焦点坐标为，．思考：若焦点在轴，标准方程又如何？四、学能展示课堂闯关例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．※动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在轴上，，；（2）焦点为，且经过点．练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．五、学后反思※学习小结1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．【课后作业】：1．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在轴上，，经过点；（2）经过两点，．2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。
《2.3双曲线-2.3.1双曲线的标准方程》导学案
《2.3.1双曲线的标准方程》导学案教学过程问题情境问题1前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题?解椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法，并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.问题2下面我们来学习双曲线，应该先研究什么问题呢?解先研究双曲线的标准方程，如何求双曲线的标准方程呢？如何建立直角坐标系?数学建构1■标准方程的推导设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F i，F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a（c>a> 0）.类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系以直线F I F2为X轴，线段F I F2的中垂线为y轴建立直角坐标系，则F i（-c, 0）, F2（C, 0）.设P（X，y）为双曲线上任意一点，由双曲线定义知|PF i-PF2|=2a，即|掩+于+产」阳+ y牛2a⑴在化简到（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）时，结合双曲线定义中2a<2c，可知c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2，使化简后的标准方程简洁美观，最后得到焦点在X轴上的双曲线标准方程是4^=1（其中a>0，b>0，c2=a2+b2）.若焦点在y轴上，则焦点是F1（0，-c），F2（0, c），由双曲线定义得讣* +沙+呼\2+®b|=2a，与焦点在X轴上的双曲线方程I胁卄『-.kT + y2|=2a比较，它们的结构有什么异同点?解结构相同，只是字母X，y交换了位置■故求焦点在y轴上的双曲线方程时，只需把焦点在X轴上的双曲线标准方中x,y互换即可, 易得多-昌=1（其中a>0, b>0，c2=a2+b2）.2■双曲线标准方程的特点（1）双曲线的标准方程分焦点在X轴上和焦点在y轴上两种：当焦点在X轴上时，双曲线的标准方程为号孕= 1（a>0，b>0）；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为M = 1（a>0, b>0）.⑵a，b，c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0，b>0，c>0，其中a与b的大小关系可以为a=b，a<b，a>b.3■根据双曲线的标准方程判断焦点的位置(2) V 焦点在X 轴上，C = J 6，•设所求双曲线方程为：X'A从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母X 2, y 2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴, 而双曲线是根据项的正负来判 断焦点所在的位置，即 X 2项的系数是正的，那么焦点在 X 轴上；y 2项的系数是正的， 那么焦点 在y 轴上. 数学运用【例11 讨论 25-k 9-k 2+丄 =1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 分析：由于k 工9 , k 工25，贝y k 的取值范围为kv9 , 9<kv25 , k<25，分别进行讨 论. 解:(1)当kc9时，25-k>O , 9-k ：>O ，所给方程表示椭圆，此时 a 2 = 25-k ,【例b 2 =9 -k ,c 2 =a 2 -b 2 =16，这些椭圆有共同的焦点(一 4, O ),当9ckc25时，25-k>0, 9-kvO ，所给方程表示双曲线，此时,2 2 2 2b =9-k ,c =a +b =16，这些双曲线也有共同的焦点(一 4,0).k>25 , k =9 , k =25时，所给方程没有轨迹. (4, 0).a 2 =25—k ,0),)( 4,21根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P L —〕，Q L — ,5〕且焦点在I 4丿I 3丿坐标轴上. (2) C = J 6，经过点(一 2 25, 2)，焦点在X 轴上.(3)与双曲线 Z_L=1有相同焦点,16 4且经过点feJ 2,2)解：(1)设双曲线方程为 2 2—+^=1 ,••• P 、Q 两点在双曲线上，••• m n禺亠=1m 16n 解} 256 + 25 V 1m = T6 得 n = 9•••所求双曲线方程为2 —X162+L=192y-1 (其中 0<AV 6 ) 6 — A25 4- =1 ,•••几=5或几=30 （舍去），•••所求入6 - Z2 2（舍），•所求双曲线方程为一_£=112 8【例31 已知A , B两地相距800 m, —炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 S,设声速为340 m/s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上?⑵求曲线的方程⑸］引导学生联想双曲线的定义，并建立合适的直角坐标系］解（1）由声速及A , B两处听到爆炸声的时间差，可知 A , B两处与爆炸因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.⑵如图，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在X轴上，并且点0与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（X，y）,则PA-PB=340X2=680,即2a=680, a=340.又AB = 800,所以2c= 800, c=400, b2=c2-a2= 44 400.因为PA-PB= 680>0,所以x>0. 故所求曲线的方程为怎=1（x>0）.［题后反思］解此类实际问题的关键是能根据条件联想、构造出合适的数学模型”这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言，必须熟悉其相关定义.定义既时，若能活用双曲线的定义，则不仅可深化学生对双曲线概念的理解，还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为确定爆炸点的位置”点的距离的差, 因此爆炸点应位于以A, B为焦点的双曲线上.•••双曲线经过点（一5, 2）,二双曲线方程是X2 _y2 =［5 —（3）设所求双曲线方程为:2y =1（0 W A <16 ）,•••双曲线过点（3J2,2 ）,旦+丄=116-A 4+A「•A =4 或入=—14［处理建议［规范板书是建构数学知识的基石，也是解答数学问题的重要工具.因此，在研究某些几何或实际问题2 21.已知双曲线^9^ 一器1的右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线上的左支上且PF J PF 2I =32，求 N F 1PF 2 •解：•••点P 在双曲线的左支上，•••PR - PF 2 =6 ,••• Ph + PF 22N F i PF 2=90 :.••在 Rt e PF 1F 2 中，P F i | +I PF 2S 压PF 2 = 2 PF 1 j PF 2 — 1'课堂小结1.双曲线的标准方程和标准方程的求法 （定义法、待定系数法）.2.在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决四、课堂练习_ 2 • PF 1 +PF 2 =100 F I F 2 = 4C 2 =4(a 2 +b 12 )=100 ,••• N RP F 2 =90说明：点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为 点P 在双曲线上”结论如何改变呢? 2 2.已知F 1、F2是双曲线 一-y 2=1的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 4Z F 1 PF 2 =9O ,求iF i PF2的面积. 解：•••2 P 为双曲线 一-y 2=1上的一个点且F 1、F2为焦 4|PF i -PF 2=2a =4,时2 =2C = 275f PF i PF I + PF 2-2|卩片丹2| =16 ,••• 20-2PF 』PF=16,• PF iIPF 2 =2-2PF 』PF 2 =36 ,2=20五、。
人教版高中数学全套教案导学案2.3.1双曲线及其标准方程学案(人教A版选修2-1)
§2.3.1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．5255，文P 45~ P 48找出疑惑之处）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二、新课导学※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时， 12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c-，2(,0)F c．思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？※典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F-，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,F F的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y-=的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．例2 已知,A B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/m s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．※动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升※学习小结1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．※知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．动点P到点(1,0)M及点(3,0)N的距离之差为2，则点P的轨迹是（）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky+=的一个焦点是，那么实数k的值为（）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.D.4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，a =(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。
双曲线及其标准方程教案
2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 一．学习目标1．理解双曲线的定义。
了解并建立双曲线的标准方程，确定双曲线的标准方程。
2．重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；通过小组学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。
二．教学重点、难点重点：双曲线的定义及其标准方程。
难点：双曲线标准方程的建立过程及推导。
【旧知复习】圆锥曲线中椭圆的定义及其标准方程。
椭圆标准方程的推导方法及过程。
【新知探究】探究一、平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于非零常数(大于21F F )的点的轨 迹叫做椭圆。
思考平面内这平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹又是什么曲线？利用课件点M 到两定点F 1和F 2的距离之差为常数，记为2a ，21F F =2c|MF 1|-|MF 2|=—2a |MF 1|-|MF 2 类比椭圆的定义，写出双曲线的定义于非零常数（小于<|F 1F 2|距离叫做双曲线的焦距．数学简记：a MF MF 2||||||21=-（||22021F F c a =<<） 探究二、1、双曲线定义中的条件“非零常数2a (小于21F F )”去掉后，点的轨迹有是什么曲线呢？当 2a =0时，轨迹是线段21F F 的垂直平分线. 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线当2a =2c 时，轨迹是以1F 、2F 为端点的反向的两条射线 当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在2、双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉，去掉后结果怎样？ 定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支.当12||||2MF MF a -=时，曲线仅表示与焦点2F 所对应的一支；12||||2MF MF a -=-时，曲线仅表示与焦点1F 所对应的一支.探究三、类比椭圆标准方程的建立及推导过程，试推导双曲线的标准方程？第一步：建立直角坐标系；以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，21F F 的中垂线为y 轴建立坐标系.第二步：设点：设动点(,)M x y 是双曲线上任意一点，设12||2F F c =，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，又设M 与1F 、2F 的距离的差的绝对值等于2a .第三步：启发学生根据定义写出M 点的轨迹构成的点集： {}a MF MF M P 221±=-=；第四步：建立方程：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++ 第五步：化简，a y c x y c x 2)()(2222±+-=++⇒22222224)(4)()(a y c x a y c x y c x ++-±+-=++⇒ 222)(y c x a a cx +-±=-⇒ ])[()(22222y c x a a cx +-=-⇒ )()(22222222a c a y a x a c -=--⇒，令222b ac =-（0>b ），得222222b a y a x b =-，即12222=-by a x得到)0,0(12222>>=-b a bya x我们得到了焦点在x 轴上，且焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F 的双曲线标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，这里222b ac +=以21F F 所在的直线为y 轴，21F F 的中垂线为x 轴建系，那么得到焦点在y 轴上即1(0,)F c -，2(0,)F c 为焦点的双曲线标准方程为22221y x a b-=（其中222c a b =+，0a >，0b >）.四．例题讲解【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2_1
2．3．1 双曲线及其标准方程1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．定义中的限制条件“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”．(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．(3)若将“常数不等于零”改为“等于零”，则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程双曲线焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )(2)点A (1，0)，B (－1，0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( )(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b ．( )答案：(1)× (2)× (3)×已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5，0)，(5，0)C ．(0，－5)，(0，5)D ．(0，－7)，(0，7)答案：B双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F 2(－3，0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A ．x 25－y 24＝1 B ．y 25－x 24＝1C ．x 23－y 22＝1D ．x 29－y 216＝1答案：A设双曲线x 216－y 29＝1的右支上一点P 到左焦点F 1的距离是15，则P 到右焦点F 2的距离是________．答案：7探究点1 求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)半焦距为6，经过点(－5，2)，且焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，且焦点在坐标轴上．【解】 (1)因为半焦距为6，且焦点在x 轴上，则可设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(a 2＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)． 于是双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1．(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为P ，Q 两点在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－116x 2＋y29＝1，即y 29－x 216＝1．求双曲线的标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论． (3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，可把双曲线方程设成mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．解：(1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16．故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1．(2)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（15）2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．探究点2 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．【解】 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4． 又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12．1．[变条件]若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积． 解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13． 因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0，所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12．2．[变条件]本例中将条件“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“∠F 1PF 2＝120°”，求△PF 1F 2的面积．解：由已知得2a ＝2，c ＝13， 又由双曲线定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝2，① 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝(213)2＝52，②由①②可得|PF 1||PF 2|＝16．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×16×32＝43．求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．1．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝23． 答案：2 32．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________．解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α， 所以cos α＝（r 1－r 2）2＋2r 1r 2－4c22r 1r 2＝36＋64－10064＝0．所以α＝90°． 答案：90°探究点3 与双曲线有关的轨迹问题如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【解】 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22＜|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1．(1)若动圆M 与圆C 1外切，且与圆C 2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程； (2)若动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解：(1)设动圆半径为R ，因为圆M 与圆C 1外切，且与圆C 2内切， 所以|MC 1|＝R ＋3，|MC 2|＝R －1， 所以|MC 1|－|MC 2|＝4．所以点M (x ，y )的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支，且有a ＝2，c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以所求轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．(2)如图，设动圆半径为R ，根据两圆外切的条件，得|MC 2|＝R ＋1，|MC 1|＝R ＋3， 则|MC 1|－|MC 2|＝2．这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．1．已知双曲线的一个焦点F 1(0，5)，且过点(0，4)，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝1 解析：选B ．由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或k ＞－2D ．k ＞－2解析：选A ．由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2，选择A ．3．设m 是常数，若点F (0，5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．解析：由点F (0，5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16． 答案：164．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0，6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值等于8；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．解：(1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为2a ＝8，2c ＝12， 所以a ＝4，c ＝6， 所以b 2＝62－42＝20．所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1．(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以c 2＝16＋4＝20， 即a 2＋b 2＝20．①因为双曲线经过点(32，2)， 所以18a 2－4b2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C ．⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C ．将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0． 2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A ．x 23－y 2＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 23－y 24＝1D ．y 23－x 24＝1解析：选B ．由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1．3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D ．依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．4．已知点A (0，－4)，B (0，4)，|PA |－|PB |＝2a ，当a 分别为3，4时，点P 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和两条射线C ．双曲线一支和一条直线D ．双曲线一支和一条射线解析：选D ．当a ＝3时，2a ＝6＜8，又|PA |－|PB |＝2a ，故点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝4时，2a ＝8，又|PA |－|PB |＝2a ，故点P 的轨迹是一条射线．5．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D ．由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16． 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．6．若点P 到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________． 解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3，2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)．答案：y 2－x 28＝1(y ≥1)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15．所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4． 答案：48．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以43|PF 2|－|PF 2|＝2， 所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，所以|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，所以S △PF 1F 2＝24．答案：249．已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1，当k 为何值时： (1)方程表示双曲线；(2)方程表示焦点在x 轴上的双曲线．解：(1)原方程可变形为y 2|k |－3－x 21－k ＝1． 要使方程表示双曲线，必须满足(|k |－3)(1－k )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＞0|k |－3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0|k |－3＜0，解得k ＜－3或1＜k ＜3． (2)若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0|k |－3＜0，解得1＜k ＜3． 10．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1．① 又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0．解得c 2＝25．②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1． [B 能力提升]11．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选B ．设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，所以|y 0|＝1．又x 203－y 20＝1，所以x 20＝3(y 20＋1)＝6．所以PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3．12．已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1 解析：选B ．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则c ＝5，即a 2＋b 2＝5 ①．设P (x ，y )，由线段PF 1的中点坐标为(0，2)，可知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋x 2＝00＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝5y ＝4，即点P 的坐标为(5，4)，代入双曲线方程，得5a 2－16b2＝1 ②．联立①②，得a 2＝1，b 2＝4，即双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1．故选B ． 13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，① 所以c 2＝8－2＝6．因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2． 设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1(0＜a 2＜6)．② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23. 由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2（6－a 2）≤83·a 2＋（6－a 2）2＝8， 当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号．所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1． 14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1． (2)不妨设点M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝23．又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.◆ 知识点一 双曲线的定义1.双曲线的定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 .2.双曲线上动点M 的集合表示:P= ,焦距常用 表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件|PF 1|-|PF 2|=5的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (2)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=6的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (3)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=7的动点P 的轨迹是双曲线.( )◆ 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a ,b ,c 的关系【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知方程x 23-m -y 2m -5=1表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值范围是3<m<5. ( )(2)在双曲线的标准方程中,a ,b ,c 的关系是a 2=b 2+c 2. ( ) (3)双曲线x 2-y23=1的焦点在y 轴上. ( )◆探究点一与双曲线有关的轨迹方程例1 (1)(多选题)[2024·武汉外国语学校高二月考] 已知F1(-4,0),F2(4,0),下列说法中错误的是( )A.平面内到F1,F2两点的距离相等的点的轨迹是直线B.平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.平面内到F1,F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支D.平面内到F1,F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆(2)若动圆与圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:x2+(y+2)2=4都内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为.变式已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B(-1,0),C(1,0),且sin C-sin B=12sin A,求顶点A 的轨迹方程.[素养小结]1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.◆探究点二双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=4,经过点A(1,-4√103);(2)经过点(3,0),(-6,-3).(3)与双曲线x 24-y22=1有相同的焦点且过点P(2,1).变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)a=4,c=6,且焦点在x 轴上; (2)与椭圆C :x 215+y 26=1共焦点且过点P (2,√2).(3)经过点P (-3,2√7),Q (-6√2,-7).[素养小结]双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a ,b ,c ,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1或y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx 2+ny 2=1,注意标明条件mn<0.◆ 探究点三 双曲线定义的应用例3 (1)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 23=1的左、右焦点,过F 2的直线与C 的右支交于P ,Q 两点,则|F 1P|+|F 1Q|-|PQ|= ( ) A .5B .6C .8D .12(2)已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=120°,则△F 1MF 2的面积是 .变式 (1)已知双曲线x 24-y 29=1上一点M 到左焦点F 1的距离为10,则MF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为 ( )A .3或7B .6或14C .3D .7(2)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,若△ABF 1为正三角形,则△ABF 1的面积为( ) A .4√3B .4C .3√3D .3(3)[2024·湖北荆荆襄宜七校联盟高二期中] 已知双曲线的方程为x 29-y 216=1,点F 1,F 2分别是其左、右焦点,A是圆x 2+(y-5)2=4上的一点,点M 在双曲线的右支上,则|MF 1|+|MA|的最小值是 .[素养小结]双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).(2)双曲线中的焦点三角形问题在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有①定义:|r1-r2|=2a;②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos θ;③面积公式:S△PF1F2=12r1r2sin θ.一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.◆探究点四双曲线的实际应用例4如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.变式 如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216-x 2m =1(m>0)的一部分,当拱顶M 到水面的距离为4米时,水面宽AB 为4√3米,则当水面宽度为4√6米时,拱顶M 到水面的距离为( )A .4米B .(8√2-4)米C .(2√6-4)米D .(4√7-4)米[素养小结]利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.。