复变复习题A

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2010复变试卷A

1．设z=0为函数2z41e z sin z-的m 级极点，则m=（）A. 5B. 4C. 3D. 22．设(1)(1,2,),4n n nin n α-+==+ 则lim n n α→∞=( ) A 0 B. 1 C. i D.不存在3．下列级数中，条件收敛的级数为（） A.∑∞=1n n i )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+ C.∑∞=1n ni nD. ∑∞=1n 1)1(++-n i n4．下列命题中，正确的是（）A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 5．下列数中，为实数的是（）A.3)1(i -B. i cosC. LniD. ie 23π-6．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）A. iB. -iC. 1D. -1 7．使得22z z =成立的复数z 是（）A.不存在B.唯一的C.纯虚数D.实数. 8．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（）A.i +-43 B. i +43C. i -43D.i --439.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要10.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11.⎰=ii zdz 2________________.12.不等式522<++-z z 表示的区域为______________. 13.31=______________. 14.幂级数n n z nn n !=∞∑1的收敛半径为 .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则)(z f '=_____ _____.16.z=0是函数z-sinz 的__________阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）正确的打“√”，错的打“×”.17．函数sin z 在区域1||<z 内为有界函数.18.若)(z f 与)(z f 都在区域D 内解析，则)(z f 在D 内必为常数. 19. 对于任意自然数n>1,方程1=n z 的n 个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数)(z f 在点0z 可微等价于)(z f 在点0z 解析. 22． 0=z 是函数z1sin 1的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23．（6分）设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，求⎰-cdz iy x )(2.24．（6分）求函数zz z 212-+在有限奇点处的留数25．（6分）求 ⎰-c zdz z e 2，其中C ：12=-z 的正向.五、解下列各题（每小题7分，共28分） 26．（7分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<||1z 内展开为罗朗级数．27．（7分）计算积分⎰=+1||31z dz z ，从而证明⎰=++πθθθ00cos 610cos 31d .28．（7分）利用留数计算积分dz z z z ⎰=-2351．29．（7分）证明)1(2y x v -=为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(使得.2010)0(=f一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．设z=0为函数2z41e z sin z-的m 级极点，则m=（C ）A. 5B. 4C. 3D. 2 2．设(1)(1,2,),4nn nin n α-+==+ 则lim n n α→∞=( C )A 0 B. 1 C. i D.不存在3．下列级数中，条件收敛的级数为（C ） A.∑∞=1n n i )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+ C.∑∞=1n ni nD. ∑∞=1n 1)1(++-n i n4．下列命题中，正确的是（C ）A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 5．下列数中，为实数的是（B ）A.3)1(i - B. i cos C. Lni D. i e 23π-6．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A. i B. -i C. 1 D. -17．使得22z z =成立的复数z 是（D ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数. 8．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（B ）A.i +-43B. i +43C. i -43D.i --439.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（B ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要 10.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11.⎰=ii zdz 223-. 12.不等式522<++-z z 表示的区域为的内部椭圆14/94/2522=+y x .(注：区域的表示形式也可为图形或文字描述，正确即可.) 13.31=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.14.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为e .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则)(z f '=_1_. 16.z=0是函数z-sinz 的_3_阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）17．函数sin z 在区域1||<z 内为有界函数.18.若)(z f 与)(z f 都在区域D 内解析，则)(z f 在D 内必为常数. 19. 对于任意自然数n>1,方程1=n z 的n 个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数)(z f 在点0z 可微等价于)(z f 在点0z 解析. 22． 0=z 是函数z1sin 1的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23．（6分）设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，求⎰-cdz iy x )(2.解：曲线C 的参数方程为10,)(2<<+=t it t t z ，所以()⎰⎰+-=-1222)2)((dt i t it tdz iy x c⎰+-=123)2()1(dt it t ii 121127+=. 6分24．（6分）求函数z z z 212-+在有限奇点处的留数解：设函数zz z z f 21)(2-+=，则)(z f 的所有有限孤立奇点有:,01=z 22=z ，且它们都是一阶极点，所以=)0,(Re f s 0|21=-+z z z 21-=， =)2,(Re f s 2|1=+z z z 23=. 6分25．（6分）求 ⎰-c zdz z e 2，其中C ：12=-z 的正向. 解：设2)(-=z ez f z，则)(z f 在C 所围的区域内只有唯一的奇点2=z ，且z e 在C 及其内部是解析的，所以由柯西积分公式有：⎰-c z dz z e 22|2==z zie π=22ie π 6分五、解下列各题（每小题7分，共28分）26．（7分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<z 1内展开为罗朗级数．解：在区域+∞<<||1z 内，1||1<z ，于是 ∑∑∞=∞===-⋅=-10111111111n n n n z z z zz z所以)11()1(12'--=-z z )'1(1∑∞=-=n nz11n n n z ∞+==∑ 5分从而，2)1(1)(-=z z z f 2132n nn n n n z z ∞∞+==-==∑∑. 7分 (注：级数表达形式不惟一，正确即可.)27．（7分）计算积分⎰=+1||31z dz z ，从而证明⎰=++πθθθ00cos 610cos 31d . 解及证：因为31+z 在圆盘1||≤z 内解析，故由柯西积分定理可得：0311||=+⎰=z dz z . 3分而，1||=z 的参数方程为πθπθ≤≤-=,i e z所以⎰⎰⎰--+++-=+=+=ππππθθθθθθθθ3sin cos )cos sin (330i d i e d ie z dz i i C⎰⎰⎰---++++-=++-+-=ππππππθθθθθθθθθθθθθd i d d i i 10cos 6cos 3110cos 6sin 3sin )3(cos )sin 3)(cos sin cos (22所以，010cos 6cos 31=++⎰-ππθθθd 而010cos 6cos 31210cos 6cos 310=++=++⎰⎰-πππθθθθθθd d所以.010cos 6cos 310=++⎰πθθθd 7分28．（7分）利用留数计算积分dz z z z ⎰=-2351．解：351z z -在2||=z 内部的孤立奇点有：01=z ,12=z ,13-=z ,其中01=z 为三阶极点，12=z ,13-=z 为一阶极点. 由留数定理dz z z z ⎰=-2351)]1,1(Re )1,1(Re )0,1([Re 2353535--+-+-=z z s z z s z z s i π 4分又),1(Re )1,1(Re )1,1(Re )0,1(Re 35353535∞--=--+-+-zz s z z s z z s z z s 而，),1(Re 35∞-z z s )0,1111(Re 352zz z s -⋅-=0)0,1(Re 23=--=z z s 所以dz z z z ⎰=-2351=0 7分29．（7分）证明)1(2y x v -=为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(使得2010)0(=f ．证及解：),1(2y v x -=x v y 2-=,0=xx v ,0=yy v ,2-==yx xy v v , 故，v 具有连续的二阶偏导数，且+xx v 0=yy v所以，),(y x v 在整个复平面上为调和函数. 3分因为，x yvx u 2-=∂∂=∂∂ 所以⎰+-=-=)()2(2y g x dx x u又xvy u ∂∂-=∂∂ 所以)1(2)(y y g --='从而，c y y y g ++-=22)( 于是，))1(2(2)(22y x i c y y x z f -++-+-=（c 为常数）, 6分又2010)0(=f ，故2010=c ,所以))1(2(20102)(22y x i y y x z f -++-+-=. 7分。

复变期末考试试卷

复变期末考试试卷复变函数是数学中的一个重要分支，它在工程学、物理学以及许多其他科学领域中有着广泛的应用。

本期末考试试卷旨在测试学生对复变函数理论的理解和应用能力。

以下是复变期末考试的题目：一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 如果 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，那么 \( f(2 - i) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 以下哪个是解析函数的必要条件？A. 可微B. 可积C. 连续D. 有界...二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果 \( z = x + yi \)，那么 \( \overline{z} \) 是 ______ 。

2. 复数的乘法满足 \( (z_1 z_2) \overline{z_1} = \) ______ 。

3. Cauchy-Riemann 方程是 ______ 的必要条件。

...三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。

2. 描述复平面上的共轭曲线，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列积分：\[\int_{|z|=2} \frac{1}{z-1} dz\]2. 给定 \( f(z) = \frac{z^2 - 1}{z^2 + 4z + 3} \)，求 \( f(z) \) 在 \( z = -1 \) 处的留数。

五、证明题（每题10分，共10分）证明：如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个邻域内解析，并且\( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 都成立，那么 \( f(z) \) 在\( z_0 \) 处的留数存在。

六、应用题（每题10分，共10分）考虑一个简单的 RLC 电路，其阻抗 \( Z(z) \) 可以表示为复数函数。

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则Cz f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re nz ze s ________，其中n 为自然数.9.zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=Cd zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0R e 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0R e 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nnf .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10.____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分) 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若nn ni nn z )11(12++-+=，则=∞→nz n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nz ze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-Czz z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时nz M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数与积分变换2014-2015_1_A_参考答案

+
4
，求其
Laplace
逆变换
L−1
[
F
(s)]。
解：由，因此 F
(s)
=
(s
(s +1) + 2 +1)[(s +1)2 +
3]
2
L−1
[
F
(
s)]
=
e−t
⋅
L−1
s s(s
+2 2 + 3)
=
e−t
⋅
L−1
2 3
⋅
1 s
+
1 3
s2
3 +
3
−
2⋅ 3
s2
s +
3
= e−t [2 + 3 sin( 3t) − 2 cos( 3t)] 3
=
z −2 1⋅1−
1
1 z −1
=
∞
2
n=0
(z −1)−n−1
=
−1
2 (z −1)n
n=−∞
因此，。 ∑ f
(z)
=
z
1 −1
+
−2
2
n=−∞
(
z
−1)n
六、〖12 分〗利用 Laplace 变换求解微分初值问题：
。
y′′′ + y′′(0)
6 y′′ + 12 y′ + 8y = t = y′(0) = 0, y(0) = 1
点，记。于是，。因此，实 z0 = 2
R = min{ z1 − z0 , z2 − z0 , zy − z0 | y >1} = 5

复变函数复习资料

《复变函数》试卷一、单项选择题1．以下命题正确的是[ A ]A ．1z iz i =B ．零的辐角为零C ．3i i <D ．对任意复数z 有sin 1z ≤2．若1(3)153x i y i i++-=++，则[ D ] A ．1,11x y =-=- B ．1,11x y =-=C ．1,11x y ==-D ．1,11x y ==3．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则[ B ]A ．()u v f z i x y ∂∂'=+∂∂B ．()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ C ．()u v f z i y y ∂∂'=+∂∂ D ．()u v f z i y x ∂∂'=+∂∂ 4．下列说法正确的是[ C ]A ．如果0()f z '存在，则()f z 在0z 处解析B ．如果(,)u x y 和(,)v x y 在区域D 内可微，则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析C ．如果()f z 在区域D 内处处可导，则()f z 在区域D 内解析D ．如果()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内一定不解析5．下列等式中不正确的是[ B ]A ．(1)(21)Ln k i π-=+ （k 为整数）B ．2Lnz Lnz Lnz +=C ．2z k i z e e π+= （k 为整数）D ．22sin cos 1i i +=6．设2222()(2)f z x axy y i bx xy y =+-+++在复平面内处处解析（其中,a b 为常数），则[ C ]A ．2,1a b ==B ．1,2a b ==C ．2,1a b ==-D ．1,2a b =-=7．设Γ为单位圆周1z =，则积分Im zdz Γ⎰的值为[ D ]A ．i πB ．i π-C ．πD ．π-8．级数1!nn n n z n ∞=∑的收敛圆为[ A ] A ．1z e<B ．z e <C ．1z <D ．2e z <9．0z =是函数2()(1)z f z z e =-的[ C ] A ．一级零点 B ．二级零点C ．三级零点D ．四级零点10．设51()sin ,f z z z=则[]Re (),0s f z =[ D ] A ．1 B ．15!C ．1-D ．011.函数2)(z z f =在复平面上 ( C )A.处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点0=z 处可导D.处处连续，仅在点0=z 处解析12.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则ba b a --1的值 ( B ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大13、设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( B )A.i 1+B.iC.1-D.014、设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=⎰dz z z C n ，则整数n 等于 ( D )A.1-B.0C.1D.215、0=z 是21)(ze zf z -=的 ( A ) A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点二、填空题（每空4分，共20分）11．Arg = 223k ππ-+ 12．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_____整函数_____。

吉林师范成人教育《复变函数与积分变换试题》期末考试复习题及参考答案

吉林师范成人教育期末考试试卷《复变函数与积分变换》A 卷年级专业姓名分数一、填空题(每空2分，共16分)1.复数-2是复数________的一个平方根。

2.设y 是实数，则sin(iy)的模为________。

3.设a>0，则Lna=________。

4.记号Res z=af(z)表示________。

5.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。

6.方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________。

7.设幂级数∑c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则c n =______(n=0,1,…)。

8.cosz 在z=0的幂级数展式为________。

二、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。

每小题2分，共14分)1.lim z 0→e z =∞.( ) 2.设z 0为围线C 内部的一点，则∫c dz z z -0=2πi.( ) 3.若函数f(z)在围线C 上解析，则∫c f(z)dz=0.( )4.z=0是函数124-e z x的4级极点。

( )5.若z 0是f(z)的本性奇点，则z 0是f(z)的孤立奇点。

( )6.若f(z)在|z|≤1上连续，在|z|<1内解析，而在|z|=1上取值为1，则当|z|≤1时f(z)≡1.( )7.若f(z)与f(z)都在区域D 内解析，则f(z)在D 内必为常数。

( )三、完成下列各题(每小题5分，共30分)1.求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。

2.试证：复平面上三点a+bi,0,1-a +bi 共直线。

3.计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。

4.说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。

5.将函数z +1z (z -1)2在圆环1<|z|<+∞内展为罗朗级数。

复变函数A

武夷学院期末考试试卷（ 2009 级数学(本) 专业2010 ～20 11学年度第 2 学期）课程名称复变函数论 A 卷考试形式闭卷考核类型考试本试卷共八大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 3．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 5．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<6．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点二、填空题：（每题3分,共21分）1．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______00),(lim ,),(lim 000v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→________________．2．计算:(1)_____31_____)2(222i dz z i-=+⎰+-- ;(2)_____1cosh 2_2cos 20=⎰+dz zi π3．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=_______∞_____________． 4．设21()1f z z =+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_____1,)1(21<-∑∞=z z n n n ____________．5．=-==o z zz sf i z z e z f )(Re ,)()(42则π______54ππi -___________________． 6.函数)6(sin 6633-+z z z 在零点z=0的阶为 157.||Z e 在闭圆1||0≤-z z 的最大值=1Re 0+z e三、计算题(10分):验证22),(y xy x y x u -+=是调和函数,求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ,使之适合i i f +-=1)(分于是得代入分分有取定点于是积分与路径无关程因上式右端为全微分方则记为调和函数即故解方程1021)211()(21,1)(8)211()21()0,()0,()21221()(621221)2()()2()2(),0,0(.,)2()2(,)(.),(,0,2,2,2,2:22222222220),()0,0(0..-------------------+-==+-=-------------+-=+-+=+≡+++-+-+=+=-+++-=+++-=+++-=+++-=+-=====∂∂+∂∂=+==+-==-=+=⎰⎰⎰-i z i z f C i i f iC z i C z i z z iv z u C y xy x i y xy x iv u z f C y xy x C dy y x dx x dy y x dx y x v dyy x dx y x dy u dx u dy y v dx x v dv iv u z f y x u u u u u y x u y x u y y x x x y R C yy xx yy xx y x四.证明题:(12分)若iy x z +=, 试证:yx z y x i y x z 222sinh cos |cos |)2(;sinh .sin cosh .cos cos )1(+=-=分分解12sinh cos sinh sin )sinh 1(cos sinh sin cosh cos cos 6sinh sin cosh cos sin sin cos cos )cos(cos )1(:22222222222-----------------------------+=⋅++⋅=⋅+⋅=--------------------------------------⋅-⋅=⋅-⋅=+=y x y x y x y x y x z y x i y x iy x iy x iy x z五.证明题:(7分)1:,1||__=++=az b b az z 试证设分此即分由于解71||||4)Re(2||||)Re(2||||||)Re(2||||)Re(2||||||,1||:222222222222--------------=++⇒+=+----++=⋅++=+++=⋅++=+=-----=-------QED az b b az a z b b az z b a a b a z b a z b a z b z b a b a b az b az b az z六.计算题:(12分)将下列函数在指定圆环内内展开为洛郎级数.+∞<<<<-+||1,1||0,)1(12z z z z z 分时当分时解1221)1(21)/11121(1)121(1)1(1,1|1|0,||1621)121(1)1(1,1||0:03203222202222-----+=+=-⋅+=-+=-+<<∞<<--------=--=-+<<∑∑∑∞=+∞=∞=n n n n n nz z z zz z z zz zz z z zz zz z z zz z z z七. 计算题:(8分)ze z 111--类别判定下列函数的奇点及分为非孤立奇点点显然是这些极点的聚点点为原函数的一级极点分为原函数的可去奇点于是又由于或令分母解洛必达法则8.,;,24;021lim 11lim )1(1lim ,200)1()1(1111:*000*--------------------------------∞∞∈=-----------------------=-=++-=+--=====-+-∈=⇒=--+-=--→→→Z k i k z z ze e e e ze e e e z e z Z k i k z z e e z e z z e z z z z z z z z z z z z z z z z ππ 八. 计算题:(求下列积分, 12分))1(cos )2(sin )1(201||>+⎰⎰=a a d zz dzz πθθ分从而分其中的二级极点为则在单位圆内令解602)(Re 2sin 4||0,0),1(1)!31(1sin 1,)(0,1||,sin 1)(:)1(101||121222------------------=⋅=⋅=------<<=++=+-==<=-==-⎰C i z sf i z z dzz C z a zz z z z z f z z zz z f z z πππ 分从而原积分且仅有一个一级极点被积函数内在单位圆域分于是变为闭圆变换下区间在令20121214)(Re 22,121|221)(Re 1)(,1||1512221cos ,1||]2,0[,1,2cos ,)2(222211||21||1201111---------------=-⨯=⋅=-=+=-+-=<-----++=++=+====+=======--⎰⎰⎰a a z f s i i I a a z z f s a a z z f z az z dzi iz dz z z a a d I z e z dz izd z ze z z z z z z z z z i i πππθθπθθπθθ。

复变期末考试试卷A

华南农业大学期末考试试卷（ A 卷）2010学年第2学期考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分） 1．000Re()Re()limz z z z z z →-=-（）A. 1 ；B. i -；C.0 ；D.不存在 . 2．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的是（） A.122z z -=+； B. 334z z +--= ；C.1(1)1z aa az-=<-； D. 0(0)zz az az aa c c +++-=>. 3．下列等式中，成立的是（） A.n Lnz nLnz =；22.B z z = ； .,arg 0C z z z ==若则； 1122.,z D ArgArgz Argz z =- . 4. 复数112z i=+的辐角是（） A. tan 2arc - ； B. tan 22,0,1,2,arc k k π-+=±±；C.1tan 2,0,1,2,2arc k k π-+=±± ； D. tan 22,0,1,2,arc k k π+= 。

5．下列结论与“函数()f z u iv =+在区域D 内解析”不等价的命题是（）. A. 函数()f z 在区域D 内可导；B. ,u v 一阶偏导连续且满足C R -方程；C. 函数()f z 在区域D 内可展成为幂级数；D.,u v 在区域D 内满足C R -方程.6．下列函数在整个复平面上解析的是（）..A z ； .;z B e 2.z C e； 1.D z7．若幂级数0n n n c z ∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为（）A.绝对收敛；B.条件收敛；C. 发散；D. 不能确定. 8．在下列命题中，一定正确的是（）().(,,)b c bc A a a a b c =都是非零复数； ()()().()B R z R z R z =为有理分式；.()ln (21),0,C Ln a a k i a k π-=++>∈； .(1)D Ln -不存在.9. 积分1(21)(2)z dzz z =+-⎰的值为（）A ．45i π-； B.25i π-； C. 0. D.25i π.10．积分22sin (1)z zdz z = -⎰等于（）A ．2cos1i π ；B ．2cos1i π- ；C ．0 ；D ．2sin1i π . 11．下列级数中，条件收敛的级数为（）A.013()2n n i ∞=+∑ ； B.2(34)!nn i n ∞=+∑； C.0n n i n ∞=∑；D.2n n ∞=.12．函数()121z f z e z i-=+在1z =-处泰勒展开式的收敛半径R 是（）.2A R = ； .B R = ； .C R =+∞ ； .D R 不确定 .13．z =∞ 是函数 3232z z z ++ 的（）A.本性奇点；B.一级极点；C.二级极点；D.可去奇点.14. 若0Re [(),]0s f z z =，则（）.A. 0z 为()f z 的解析点；B. 0z 为()f z 的可去奇点；C. 0z 为()f z 的解析点或可去奇点；D. 以上全非. 15．设0()()f t t t δ=-，则[()]F f t =（）.A. 0i t e ω-；B.2π；C. 0i t e ω ；D.1.二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分） 16．设(23)(2),z i i z =--+则的三角表示式为__________________. 17. Im{ln(34)}i -=__________.18. 计算积分 22|1|111z z dz z -=+=-⎰ ____________. 19. 设0z =为函数33sin z z -的m 级零点,那么m =____________.20. ()tf t e α= 求的拉普拉斯变换为___________.三、计算题（本大题共4小题，共33分）要求写清楚详细解题过程。

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1．1i --的指数表示式为
2 计算12i e π
-＝
3．求函数)1)(1(1
22-+-z z z 的奇点为
4．设11
)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为____
5．的主值)21(Ln i +-； 6、i i
--16的三角表示式为 7、函数e z 的周期为____ ___ ___。

8、幂级数∑+∞
=0
n n nz 的和函数为_______ ___。

9、计算5C C 1,z
e dz z z =⎰，其中：正方向：。

10、级数∑+∞
=0
n n nz 的收敛半径为______ ___。

11、当i i
z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）
12、函数23)(z z f =在点0=z 处的可导性与可解析？（ ) 13、设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z z
c c c 212sin ( )
14、设),2,1(4)1( =++-=n n ni
a n n ，则n n a ∞→lim ( )
15、设0=z 为函数z z e x sin 142
-的m 级极点，那么=m ( )
16、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）
17、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )
18、设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分
dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()
()(2)( ( )
19、级数 +++++22111
z z z z 的收敛域是( )
20、∞=z 是函数23
23z
z z ++的( ) 21．计算120
(),01i i
x iy dz +++⎰沿到的直线。

22．计算10C
C 5,()(1)(4)dz z z i z z =-+-⎰，：正方向圆周。

23．求11(1)
z z z <<+∞-在上展开成洛朗级数。

24．计算积分⎰+πθθθ20
2cos 2sin d 。

25．求以下函数的傅立叶变换)0(0
,00,)(>⎩⎨⎧≤>=-ββt t e t f t 。

26．已知2(1),(2)u x y f i =-=-，求解析函数()f z u iv =+； 27．计算2Res(,)1iz
e i z
-+； 28．求上展开成洛朗级数；在+∞<-<--21)
2)(1(1z z z 29．计算0
11sin cos d π
θθθ+⎰ 。

30．求以下函数的Laplace 变换，)(cos )(为实数k kt t f =。