第三章 第二节 力对点之矩与力对轴之矩
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建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
力对点之矩与力对轴之矩
力对轴的矩力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量是一个代数量其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩方法一
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
力对点之矩和力对轴之矩的关系
力对点之矩和力对轴之矩的关系在力学的世界里，有两个非常重要的概念，那就是力对点之矩和力对轴之矩。
好啦，不要被这些术语吓到。
我们今天就用轻松的语气，把这两个概念讲得简单易懂。
希望你听完后，能对它们有个清晰的了解，甚至还能哼着小曲去向别人讲解呢！1. 力对点之矩——啥意思？首先，我们来聊聊“力对点之矩”。
假设你在玩跷跷板，这个跷跷板的一边你坐着，另一边小伙伴坐着。
现在，你们在跷跷板上施加了一定的力。
这个力在跷跷板上的效果，就可以用“力对点之矩”来表示。
简单来说，力对点之矩就是力在某一点周围产生的旋转效果。
你可以把它想象成是力使得某个点周围像个旋转的开关一样，力对这个点的旋转效应就是力对点之矩。
2. 力对轴之矩——不难懂的！接下来，我们来看看“力对轴之矩”。
还是拿跷跷板的例子。
假设跷跷板上有个固定的支点，这个支点就是一个“轴”。
当你和小伙伴在跷跷板上施加力的时候，实际上是对这个支点施加了力的效果。
力对轴之矩就是描述力对这个支点（轴）产生的旋转效应。
如果支点在跷跷板的一端，你施加的力就会绕这个支点旋转，这样产生的旋转效果就是力对轴之矩。
3. 关系和应用——它们是怎样联系的？好啦，接下来我们来聊聊这两者之间的关系。
其实，力对点之矩和力对轴之矩是有紧密联系的。
让我们用一个日常的例子来说明一下：假设你在家里修理门把手，你把门把手看作一个力的作用点，而门的转轴就是你的“轴”。
在这种情况下，你施加的力会绕门的转轴产生旋转效果，这个旋转效果就可以用力对轴之矩来表示。
现在，你把力的作用点从门把手的中心转移到门把手的一端。
虽然力的大小没有变化，但由于作用点的不同，产生的旋转效果也不同了。
这时候，你就可以看到，力对点之矩和力对轴之矩之间的关系变得更加复杂。
实际上，它们之间的关系是：力对点之矩可以用来计算力对轴之矩，只要你知道力的作用点到轴的距离就行了。
为了更具体一点，我们可以用公式来表达这个关系：力对点之矩等于力对轴之矩加上力作用点到轴的距离乘以力的大小。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
力对点之矩的概念.
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
力对点之矩与力对轴之矩
交点到分力作用线的距离)的乘积。
正负号：
Mz(F)＝±Fxyd
(1)按右手法则确定。
(2)从轴的正向看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
特例:当力的作用线与轴平行(Fxy=0)或相交(d=0)时，力对该轴 的矩都必为零。
即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩必然为零。
z
z
O F1
P
A F2
O P d AF
平面力对一点O之矩，实际上就是力对通过此点且与平面垂 直的轴之矩。
空间力系的合力矩定理: 力对轴之矩的解析表达式
Mz(FR )= SMz(F )
z Fz
Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fy)+ Mx(Fz) =0 - zFy+yFz = yFz-zFy
A F Fy
Mx(F)=yFz-zFy
rz O Fx
(力矩关系定理)
例(P76例 3-2)铅直力F=500N，作用于曲柄上。试求此力对 轴x、y、z之矩及对原点O之矩。
z
x= −360cos30°
y= 360cos30°
z= 360sin30°
Fx= Fy= 0
x
Fz= −F
D
F
A
C 30°
B y
i jk
MO(F)=r×F = x y z = -360Fi -360Fcos30°j
生活
图标元素
生活
图标元素
医疗
图标元素
Fx Fy Fz
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求此力对轴x、y、z之矩。
z
F
O Fxy
Fz
g jy
x
sin g 2 3
工程力学(人民交通出版社)第3章 第2节力偶系
Fy
F
C
B D
b
Fx x
a
MA( F ) MA( Fx ) MA( Fy ) Fx b Fy a F cos b F sin a Fa sin Fb cos
F Fx Fy
Fx F cos Fy F sin
Mo (F , F ' ) Mo (F ) Mo (F ' ) F (d x ) F ' x F d
⑦正负规定：逆时针为正 ⑧单位量纲：N m 或 kN m
二、力偶与力偶矩
2、力偶的特点 ⑨力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面 ⑩力偶矩矢 用一个矢量表达三要素：力偶矩矢。
§3-2
力矩与力偶理论
一、力对点之矩 二、力偶与力偶矩 三、力偶系的合成与平衡
一、力对点之矩
1、平面中力矩的概念
力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应， 也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于 力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量， 简称力矩。
2）合力矩定理 将力Fn分解为切由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Fn r cos 0 Fn r cos
小结力偶和力偶矩
1. 力矩是力学中的一个基本概念。度量力对物体的转动 效应：
即有： Mx mx My my Mz mz 同理： M Mx 2 My 2 Mz 2
( Mx ) ( My ) ( Mz )
2 2 2
z
MZ
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一、力对点之矩
第二节 力对点之矩与力对轴之矩
平面问题：力F与矩心O 在同一平面内，代数量。 空间问题：各力与矩心O所决定的平面可能不同，矢量。 z MO(F) F B 力矩矢MO(F) 作用点：矩心O点； 模(大小): | MO(F)|=Fd=2ADOAB 方位：垂直于力F与矩心O所确定 的平面，指向按右手法则来确定。 MO(F)= r×F 力矩矢MO(F)是定位矢量。
特例:当力的作用线与轴平行(Fxy=0)或相交(d=0)时，力对该轴 的矩都必为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩必然为零。 z z
O
P
F1
O
A F2 P d A F
平面力对一点O之矩，实际上就是力对通过此点且与平面垂 直的轴之矩。
空间力系的合力矩定理: Mz(FR )= SMz(F ) 力对轴之矩的解析表达式 z Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fy)+ Mx(Fz) Fz =0 - zFy+yFz = yFz-zFy F Fy Mx(F)=yFz-zFy A My(F)=zFx-xFz r z Mz(F)=xFy-yFx Fx O y x r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk x y 三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
z
x= −360cos30° y= 360cos30° z= 360sin30° Fx= Fy= 0 Fz= −F
D
F A
x B
C
30°
y
i j k MO(F)=r×F = x y z = -360Fi -360Fcos30°j Fx Fy Fz
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求此力对轴x、y、z之矩。 z 2 sin g 3 Fz 3 F g cos g O 3 y Fxy j 2 sin j cos j 2 x
i j k MO(F)=r×F = x y z =(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k Fx Fy Fz [MO(F)]x = Mx(F) [MO(F)]y = My(F) [MO(F)]z = Mz(F) (力矩关系定理)
例(P76例 3-2)铅直力F=500N，作用于曲柄上。试求此力对 轴x、源自、z之矩及对原点O之矩。A
O x r d
y
二、力对轴之矩
z
z F Fz O P d A Fxy
实例：手推门
A
F
力对轴之矩：力使刚体绕某轴转动效应的度量，它是一个代数 量，如将力沿该轴与垂直于该轴的平面分解，则其大小等于力 在垂直于轴的平面内的分力的大小与力臂(轴与其垂直平面的 交点到分力作用线的距离)的乘积。 Mz(F)＝±Fxyd 正负号： (1)按右手法则确定。 (2)从轴的正向看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
第二节 力对点之矩与力对轴之矩
平面问题：力F与矩心O 在同一平面内，代数量。 空间问题：各力与矩心O所决定的平面可能不同，矢量。 z MO(F) F B 力矩矢MO(F) 作用点：矩心O点； 模(大小): | MO(F)|=Fd=2ADOAB 方位：垂直于力F与矩心O所确定 的平面，指向按右手法则来确定。 MO(F)= r×F 力矩矢MO(F)是定位矢量。
特例:当力的作用线与轴平行(Fxy=0)或相交(d=0)时，力对该轴 的矩都必为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩必然为零。 z z
O
P
F1
O
A F2 P d A F
平面力对一点O之矩，实际上就是力对通过此点且与平面垂 直的轴之矩。
空间力系的合力矩定理: Mz(FR )= SMz(F ) 力对轴之矩的解析表达式 z Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fy)+ Mx(Fz) Fz =0 - zFy+yFz = yFz-zFy F Fy Mx(F)=yFz-zFy A My(F)=zFx-xFz r z Mz(F)=xFy-yFx Fx O y x r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk x y 三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
z
x= −360cos30° y= 360cos30° z= 360sin30° Fx= Fy= 0 Fz= −F
D
F A
x B
C
30°
y
i j k MO(F)=r×F = x y z = -360Fi -360Fcos30°j Fx Fy Fz
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求此力对轴x、y、z之矩。 z 2 sin g 3 Fz 3 F g cos g O 3 y Fxy j 2 sin j cos j 2 x
i j k MO(F)=r×F = x y z =(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k Fx Fy Fz [MO(F)]x = Mx(F) [MO(F)]y = My(F) [MO(F)]z = Mz(F) (力矩关系定理)
例(P76例 3-2)铅直力F=500N，作用于曲柄上。试求此力对 轴x、源自、z之矩及对原点O之矩。A
O x r d
y
二、力对轴之矩
z
z F Fz O P d A Fxy
实例：手推门
A
F
力对轴之矩：力使刚体绕某轴转动效应的度量，它是一个代数 量，如将力沿该轴与垂直于该轴的平面分解，则其大小等于力 在垂直于轴的平面内的分力的大小与力臂(轴与其垂直平面的 交点到分力作用线的距离)的乘积。 Mz(F)＝±Fxyd 正负号： (1)按右手法则确定。 (2)从轴的正向看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。