力对点之矩和轴之矩资料讲解
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理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
力对点之矩与力对轴之矩
力对轴的矩力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量是一个代数量其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩方法一
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
力对点之矩和力对轴之矩的关系
力对点之矩和力对轴之矩的关系在力学的世界里，有两个非常重要的概念，那就是力对点之矩和力对轴之矩。
好啦，不要被这些术语吓到。
我们今天就用轻松的语气，把这两个概念讲得简单易懂。
希望你听完后，能对它们有个清晰的了解，甚至还能哼着小曲去向别人讲解呢！1. 力对点之矩——啥意思？首先，我们来聊聊“力对点之矩”。
假设你在玩跷跷板，这个跷跷板的一边你坐着，另一边小伙伴坐着。
现在，你们在跷跷板上施加了一定的力。
这个力在跷跷板上的效果，就可以用“力对点之矩”来表示。
简单来说，力对点之矩就是力在某一点周围产生的旋转效果。
你可以把它想象成是力使得某个点周围像个旋转的开关一样，力对这个点的旋转效应就是力对点之矩。
2. 力对轴之矩——不难懂的！接下来，我们来看看“力对轴之矩”。
还是拿跷跷板的例子。
假设跷跷板上有个固定的支点，这个支点就是一个“轴”。
当你和小伙伴在跷跷板上施加力的时候，实际上是对这个支点施加了力的效果。
力对轴之矩就是描述力对这个支点（轴）产生的旋转效应。
如果支点在跷跷板的一端，你施加的力就会绕这个支点旋转，这样产生的旋转效果就是力对轴之矩。
3. 关系和应用——它们是怎样联系的？好啦，接下来我们来聊聊这两者之间的关系。
其实，力对点之矩和力对轴之矩是有紧密联系的。
让我们用一个日常的例子来说明一下：假设你在家里修理门把手，你把门把手看作一个力的作用点，而门的转轴就是你的“轴”。
在这种情况下，你施加的力会绕门的转轴产生旋转效果，这个旋转效果就可以用力对轴之矩来表示。
现在，你把力的作用点从门把手的中心转移到门把手的一端。
虽然力的大小没有变化，但由于作用点的不同，产生的旋转效果也不同了。
这时候，你就可以看到，力对点之矩和力对轴之矩之间的关系变得更加复杂。
实际上，它们之间的关系是：力对点之矩可以用来计算力对轴之矩，只要你知道力的作用点到轴的距离就行了。
为了更具体一点，我们可以用公式来表达这个关系：力对点之矩等于力对轴之矩加上力作用点到轴的距离乘以力的大小。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
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第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
力对点之矩的概念.
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
3.2.1力对点之矩
第三章
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
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Mz(F)a
F co3s0si4n5 6Fa 4
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• 解：
M O ( F ) r A F a i F ( cc o 4 i o c s 5 s s o 4 i j s s n 5 k ) in
a( F sij n c o s4 s i n k ) 5
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F)0
My(F) aF si3n0a2F
M o M oix M ojy M ok z
Mox yFz zFy Moy zFxxFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFyyFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
rA
解：
i jk
MO(F)rAFa(ik)
F (ij) 2
a
0a
F F 0
22
Fa(i j k) 2
35.36(i j k)kNm
M x(F)3.35k6N m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
力对点之矩和轴之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k Mo Frsin rF
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
F
O
r
y
x
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
M o rF= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
Mx yFz zFy
My zFx xFz
Mz xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M OFxM x MOFyMy M OFzM z
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
• （a） M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) M O ( F y ) F si ln
2
z
Mx 0
FzFsin300
My
Fza
1 2
Fa
F
FyFco3s00
3
Mz Fya
y
2
Fa
30 0
or
x
My
Mx yFZzFy 0 zFx xFzaFsin300
1 2
Fa
Mz xFyyFx aFco3s00
3 Fa 2
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。
力
对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
• （b）M O (F )Fsinl
• （c）M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) F cF o 2 ss l ( l i 1 l n 3 )
• （d） M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) M O ( F y ) F sil 1 n 2 l 2 2