力对轴的矩
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力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩与力对轴的矩
• 港口1142 何斌
力对点的矩
对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足 以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。 力矩矢的大小，即
M O (F )
矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB z MO （ F ） r F B 根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。 MO( F ) = rOA×F y 空间力系中，力对点的矩矢 量等于力始点相对于矩心的矢 量与力矢量的矢量积 rOA = x i +y j +z k F =Fx i +Fy j +Fz k
A
O x
d
rOA投影（A点坐标）：x、y、z
F 投影：Fx、Fy、Fz
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k
=(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy Fz -yFx) k
z
Fx
M ox yFz zFy M oy zFx xFz M oz xFy yFx
2 2
2
由于力矩矢量的大小和方向都与矩心 O的位置有关，故力 矩失的始端必须在矩心，不可任意挪动果的度量， 是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的 平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩
方法一 : 将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积.
M z (F ) xFy yFx 0 (l a)( F sin ) F (l a) sin
• 港口1142 何斌
力对点的矩
对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足 以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。 力矩矢的大小，即
M O (F )
矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB z MO （ F ） r F B 根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。 MO( F ) = rOA×F y 空间力系中，力对点的矩矢 量等于力始点相对于矩心的矢 量与力矢量的矢量积 rOA = x i +y j +z k F =Fx i +Fy j +Fz k
A
O x
d
rOA投影（A点坐标）：x、y、z
F 投影：Fx、Fy、Fz
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k
=(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy Fz -yFx) k
z
Fx
M ox yFz zFy M oy zFx xFz M oz xFy yFx
2 2
2
由于力矩矢量的大小和方向都与矩心 O的位置有关，故力 矩失的始端必须在矩心，不可任意挪动果的度量， 是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的 平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩
方法一 : 将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积.
M z (F ) xFy yFx 0 (l a)( F sin ) F (l a) sin
力对点之矩和轴之矩资料讲解
Mz(F)a
F co3s0si4n5 6Fa 4
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• 解：
M O ( F ) r A F a i F ( cc o 4 i o c s 5 s s o 4 i j s s n 5 k ) in
a( F sij n c o s4 s i n k ) 5
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F)0
My(F) aF si3n0a2F
M o M oix M ojy M ok z
Mox yFz zFy Moy zFxxFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFyyFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
rA
解：
i jk
MO(F)rAFa(ik)
F (ij) 2
a
0a
F F 0
22
Fa(i j k) 2
35.36(i j k)kNm
M x(F)3.35k6N m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
力对点之矩和轴之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k Mo Frsin rF
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
F
O
r
y
x
力与轴共面则力对轴的矩为零
力与轴共面则力对轴的矩为零
根据传统物理学中关于力与轴之间的关系，我们可以得出这样一个结论：力与轴共面时，力对轴的矩为零。
这个准则是在描述刚体运动时非常有用的。
根据力对物体的作用可分为平移作用和旋转作用两部分。
对于一个刚体，当它在运动时，一个力所产生的作用不仅会使它发生平移运动，还会产生旋转运动。
这里所说的力矩，指的是力产生的旋转作用。
当一个力与轴共面时，如果它的作用线不穿过这个轴，那么它所产生的力矩就不为零。
但是，如果它的作用线穿过了这个轴，那么它所产生的力矩就是零。
这个准则的物理意义可以这样解释：我们可以将一个力分解成两个相互垂直的分量，一个是沿着轴向的分量，另一个是与轴垂直的分量。
当力与轴共面时，这个与轴垂直的分量就不再存在了，所以力矩也就变成了零。
这个准则的应用范围非常广泛，特别是在机械制造、机械维修和机械设计等领域中非常常见。
例如，在汽车发动机中，气缸壁上所受到的压力就是由气缸内的燃烧产生的，它使得活塞发生平移运动，并且还
产生了一个力矩，这个力矩会使得曲轴开始旋转。
但是，如果气缸的
中心线与曲轴的轴线在同一个平面上，那么气缸壁产生的力矩就是零，这样就可以保证曲轴不会受到不必要的摩擦和磨损。
总的来说，力与轴共面是一个非常重要的物理准则，它的作用范围非
常广泛。
这个准则的物理意义非常明确，可以帮助人们更好地理解和
描述刚体运动的规律。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运
用这个准则，以确保机械设备的正常运转和稳定工作。
力对点之矩与力对轴之矩
方法一 : 将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积.
M z (F ) M O (Fxy ) Fxyh 2 AOab
方法二: 将力向三个坐标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩
的代数值相加。
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy )
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 608:07: 1108:0 7Dec-20 16-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 08:07:1 108:07: 1108:0 7Wednesday, December 16, 2020
M ox yFz zFy
M oy zFx xFz M oz xFy yFx
由于力矩矢量的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力 矩失的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定 位矢量。
力对轴的矩
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量， 是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的 平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩
M z (F ) xFy yFx 0 (l a)(F sin ) F(l a) sin
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO (F )]x [MO (F )]y
M M
x y
(F (F
) )
[MO (F )]z M z (F )
MO (F) MO
[M
x
(F
)]2
[M
物理力矩的概念
物理力矩的概念力矩(torque)：力(F)和力臂(L)的叉乘(M)。
物理学上指使物体转动的力乘以到转轴的距离[1]。
即：M=L×F。
其中L是从转动轴到着力点的矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
力矩的量纲是距离×力；与能量的量纲相同。
但是力矩通常用牛顿-米，而不是用焦耳作为单位。
力矩的单位由力和力臂的单位决定。
力对物体产生转动作用的物理量。
可分为力对轴的矩和力对点的矩。
力对轴的矩是力对物体产生绕某一轴转动作用的物理量。
它是代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的分力同此分力作用线到该轴垂直距离的乘积；其正负号用以区别力矩的不同转向，按右手螺旋定则确定：以右手四指沿分力方向（X轴/Y 轴），且掌心面向转轴（X轴/Y轴）而握拳，大拇指方向（Z轴）与该轴正向一致时取正号，反之则取负号。
力对点的矩是力对物体产生绕某一点转动作用的物理量。
它是矢量，等于力作用点位置矢r和力矢F的矢量积。
例如，用球铰链固定于O点的物体受力F作用，以r表示自O点至F作用点A的位置矢，r和F的夹角为a（见图）。
物体在F作用下，绕垂直于r与F组成的平面并通过O 点的轴转动。
转动作用的大小和转轴的方向取决于F对O点的矩矢M，M＝r ×F ；M的大小为rFsina ，方向由右手定则确定。
力矩M 在过矩心O的直角坐标轴上的投影为Mx 、My 、Mz 。
可以证明Mx 、My 、Mz 就是F对x ，y，z轴的矩。
力矩的量纲为L2MT -2，其国际制单位为N·m。
例如，3牛顿的力作用在离支点2米的杠杆上的力矩等于1牛顿的力作用在离支点6米的力矩，这里假设力与杠杆垂直。
一般地，力矩可以用矢量叉积（注意：不是矢量点乘）定义：其中r是从转动轴到力的矢量, F是矢量力。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
理论力学L4-2空间力矩
将 F 分解为∥ z 轴的力 和在 π 面上的力 。 F F z xy 则定义力 F 对z 轴之矩：
M z (F ) MO ( Fxy )
M z (F ) MO ( Fxy )
力对轴的矩等于力在⊥该轴平面上的分力对该轴 与平面交点的矩。 空间力对轴的矩用平面上力对点的矩来定义。 空间力对点之矩是矢量，力对轴之矩是代数量。 力对轴之矩的正负按右 手法则(大拇指与 z 轴正 方向相同时为正)。 力通过轴或力与轴平行 时，力对轴的矩为零。
力对点的矩矢量在通过该点之轴上的投影，等 于力对该轴之矩。
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fy ) M O ( Fx ) xFy yFx
同理：
2. 力对坐标轴之矩的解析表达式：
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz
3. 力对点之矩与力对过该点轴之矩的关系 对比力对点的矩在z轴上的投影:
[ MO (F )]z xFy yFx
与力对同一轴 z 的矩: 显然有：
Mz (F ) xFy yFx
[ MO (F )]z xFy yFx Mz (F ) 同理： [ MO (F )]x yFz zFy M x (F ) [ MO (F )]y zFx xFz M y (F )
[ MO ( F )]x yFz zFy [ MO ( F )]y zFx xFz [ MO (F )]z xFy yFx
二、力对轴的矩 力对轴的矩是力使刚体产生绕某轴转动效应的度 量。该轴称为力矩的转轴。 1. 力对轴的矩定义 设力 F 作用于可绕z轴转 动的刚体上A点。 过A点作垂直于z轴的平面 π，与z轴交于o点。
力对轴之矩
力对轴（z）之矩等于力对轴（z）上任意一点（O）之矩在该轴（z） 上的投影。
力对任意一轴的矩 矢量在轴上的投影:
F
Fn F n
n
B
A
→标量
O
◎若轴的单位矢量为n，O为轴上一点，则：
M ( F ) M o ( F ) n (r F ) n
l3 30 cm， 例：一长方体的边长分别为 l1 50 cm，l 2 40 cm，
1 Fy F 3
1 Fz F 3
F (
1 1 1 i j k )F 3 3 3
2 Fa 对轴x矩： M x ( F ) Fz 2a 3 1 对轴y矩： M y ( F ) Fz a Fa 3
1 Fa 对轴z矩： M z ( F ) Fx 2a Fy a 3 2 1 1 j k ) Fa 对O点的矩： M O ( F ) r F ( i 3 3 3
F＝50 2 N，试求此力对OA轴之矩。
解：利用力对点之矩和力对轴之矩的关系定理 先求力对点（或A点）之矩 再向线 OA 投影， 即求得力对轴 OA 之矩。
M O F M x F FL1 2500 2 N•cm
x
z A l3 l1
F
l2
O
y `
M O F 2500 2i N•cm
M x ( F ) M Ox M y ( F ) M Oy M z ( F ) M Oz
•
力对（z）轴之矩等于力对（z）轴上任意一点（o）之矩
力对轴之矩与力对点之矩的关系
在该轴（z）上的投影。
例：在图示立方体中，已知力与尺寸a。 试求力对轴x、y、z 之矩。 解：
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将上式右端展开，并注意到
rz × F z = 0 (rz × Fxy ) ⋅ k = 0
(rxy × Fz ) ⋅ k = 0
则有MO(F)在z轴上的投影
MO z (F ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
而另一方面力F 对z轴之矩可表示为
Mz (F) = MO (Fxy ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
● 力对点之矩与力对轴之矩的关系 首先将力的作用点的矢径r和力F分 解如下:
r = rz + rxy
F = F z + F xy
力F 对O点之矩MO(F)在 z 轴上的投影为：
M O z ( F ) = (r × F ) ⋅ k
Mz(F)
即有
MO z (F) = (rz + rxy ) × (Fz + Fxy )] ⋅ k
这样，空间力对轴之矩归结为平面上的 力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等 于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对 该平面和z轴交点O之矩。于是有
Mz (F) = MO(Fxy ) =(rxy ×Fxy ) ⋅ k
力F 对OZ 轴之矩
• 力臂h是Fxy的作用线到z轴的垂直距离。 • 正负号的规定是按右手定则与z轴的指向 一致时为正，反之为负。 • z轴称为矩轴(axis of moment)，它并不一 定是刚体上的实际转轴，而可以是空间 中任何一条设想的直线。 • 当力的作用线与 z 轴平行 ( Fxy = 0) 或相交 ( h=0) 时，或概括起来讲，当力与轴共面 时，力对轴的矩等于零。
因此
M பைடு நூலகம் ( F ) = M Oz ( F )
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
Mx (F ) = MOx (F ) = yFz − zFy M y (F ) = MOy (F ) = zFx − xFz Mz (F ) = MOz (F ) = xFy − yFx
1 F 2 2
例1.2 园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于 B点的力F 对x、y、z轴以及OE轴之矩。
z e E
解 ：力 F 的作用点 B 的坐 标为
A B
x = r, y = 0, z = 2r
而 F 在三个坐标轴上的 投影分别为
x
O C
y D
6 Fx = − F, 6 6 Fy = F, 6 6 Fz = − F 3
式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、 Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。
例1.1 长方体的上、下底为正方形，边长为 3a， 高为a，求图中力F 对顶点O之矩。 解：以O为原点建立 直角坐标系Oxyz如 图示，设沿各坐标 轴的基矢量为i、j、 k ，则F的作用点A 的矢径为
y r A F x z O
因此
5 ( j + 2k ) 5
30 MOE (F ) = e ⋅ MO (F ) = Fr 15
r = 3a (i + j)
力F在坐标轴上的投影为
3 1 Fx = 0, Fy = −F sinα = − F, Fz = F cosα = F 2 2
故
1 F = F (− 3 j + k ) 2
因此F对O点之矩为
i MO (F ) = r × F = 3a 0 j
3a 3 − F 2
k 3 0 = Fa(i − j − 3k )
1.1.3 力对轴的矩
为了量度力 对其所作用 的刚体绕某 固定轴转动 的效应，引 入力对轴的 矩(moment of a force about an axis)的概 念。 z
Fz
F
Fxy
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
M z (F ) = MO (Fxy ) = ± Fxy h
6 M x (F ) = yFz − zFy = − Fr 3
M y (F ) = zFx − xFz = 0
6 M z (F ) = xFy − yFx = Fr 6
由此即有 于是F 对各坐 标轴之矩分别 为
6 MO ( F ) = Fr (−2i + k ) 6
设沿OE轴的单位矢为e，则有
e =
rz × F z = 0 (rz × Fxy ) ⋅ k = 0
(rxy × Fz ) ⋅ k = 0
则有MO(F)在z轴上的投影
MO z (F ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
而另一方面力F 对z轴之矩可表示为
Mz (F) = MO (Fxy ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
● 力对点之矩与力对轴之矩的关系 首先将力的作用点的矢径r和力F分 解如下:
r = rz + rxy
F = F z + F xy
力F 对O点之矩MO(F)在 z 轴上的投影为：
M O z ( F ) = (r × F ) ⋅ k
Mz(F)
即有
MO z (F) = (rz + rxy ) × (Fz + Fxy )] ⋅ k
这样，空间力对轴之矩归结为平面上的 力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等 于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对 该平面和z轴交点O之矩。于是有
Mz (F) = MO(Fxy ) =(rxy ×Fxy ) ⋅ k
力F 对OZ 轴之矩
• 力臂h是Fxy的作用线到z轴的垂直距离。 • 正负号的规定是按右手定则与z轴的指向 一致时为正，反之为负。 • z轴称为矩轴(axis of moment)，它并不一 定是刚体上的实际转轴，而可以是空间 中任何一条设想的直线。 • 当力的作用线与 z 轴平行 ( Fxy = 0) 或相交 ( h=0) 时，或概括起来讲，当力与轴共面 时，力对轴的矩等于零。
因此
M பைடு நூலகம் ( F ) = M Oz ( F )
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
Mx (F ) = MOx (F ) = yFz − zFy M y (F ) = MOy (F ) = zFx − xFz Mz (F ) = MOz (F ) = xFy − yFx
1 F 2 2
例1.2 园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于 B点的力F 对x、y、z轴以及OE轴之矩。
z e E
解 ：力 F 的作用点 B 的坐 标为
A B
x = r, y = 0, z = 2r
而 F 在三个坐标轴上的 投影分别为
x
O C
y D
6 Fx = − F, 6 6 Fy = F, 6 6 Fz = − F 3
式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、 Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。
例1.1 长方体的上、下底为正方形，边长为 3a， 高为a，求图中力F 对顶点O之矩。 解：以O为原点建立 直角坐标系Oxyz如 图示，设沿各坐标 轴的基矢量为i、j、 k ，则F的作用点A 的矢径为
y r A F x z O
因此
5 ( j + 2k ) 5
30 MOE (F ) = e ⋅ MO (F ) = Fr 15
r = 3a (i + j)
力F在坐标轴上的投影为
3 1 Fx = 0, Fy = −F sinα = − F, Fz = F cosα = F 2 2
故
1 F = F (− 3 j + k ) 2
因此F对O点之矩为
i MO (F ) = r × F = 3a 0 j
3a 3 − F 2
k 3 0 = Fa(i − j − 3k )
1.1.3 力对轴的矩
为了量度力 对其所作用 的刚体绕某 固定轴转动 的效应，引 入力对轴的 矩(moment of a force about an axis)的概 念。 z
Fz
F
Fxy
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
M z (F ) = MO (Fxy ) = ± Fxy h
6 M x (F ) = yFz − zFy = − Fr 3
M y (F ) = zFx − xFz = 0
6 M z (F ) = xFy − yFx = Fr 6
由此即有 于是F 对各坐 标轴之矩分别 为
6 MO ( F ) = Fr (−2i + k ) 6
设沿OE轴的单位矢为e，则有
e =