2014113750-数学三班-冯凯歌-数据结构第六章

1、图6-50所示是一个无向网图，请分别按Prim 算法和Kruskal 算法求最小生成树。

解：Prim 算法构造最小生成树的过程：
(1)
(2) (3)
( 5
)
用Kruskal 算法构造最小生成树的过程
2
2、如图6-51所示的有向网图，利用Dijkstra 算法求从顶点v1到其他各顶点的最短路径。

解：从V1到其他顶点的最短路径如下：
起点 终点 最短路径 最短路径长度 V1 V3 V1->V3 15
图 6-51 一个有向网图
（
2）
（3）
（
4）
（5）
V1 V5 V1->V5 15
V1 V2 V1->V2 4
V1 V6 V1->V2->V6 19
V1 V4 V1->V2->V4 24
3、对于如图6-52所示的有向网图，求出各活动的最早开始时间和最晚开始时间，并写出关键活动和关键路径。

图6-52 一个有向网图
解：
活动最早开始时间最晚开始时间
a1 0 0
a2 0 3
a3 4 4
a4 6 6
a5 4 4
关键路径有两条，分别为V1->V2->V3->V4,关键活动a1,a3,a4;
V1->v2->V4,关键活动a1,a5
4、算法设计
（1）设计算法，计算图中出度为0的顶点个数；
解：在有向图的邻接矩阵中，一行对应一个顶点，每行的非零元素的个数等于对应顶点的出度。

因此，当某行非零元素的个数为零时，则对应顶点的出度为零。

据此，从第一行开始，查找每行的非零元素个数
是否为零，若是则计数器加1。

具体算法如下：
int SumZero(AdjMatrix A)
{
count=0;
for(i=0;i<A.vertexNum;i++)
{
tag=0;
for(j=0;j<vertexNum;j++)
{
if(arc s[i][j]!=0)
{
tag=1;
break；
} } if(tag==0) count++ }
return count; }
（2）以邻接表作存储结构，设计按深度优先遍历图的非递归算法
解：设计一个栈来模拟递归实现中系统设置的工作栈，算法的伪代码描述：
1. 栈初始化
2. 输出起始顶点；起始顶点改为“已访问”标志；将起始顶点进栈；
3. 重复下列操作直到栈空：
3.1取栈顶元素顶点；
3.2栈顶元素顶点存在未被访问过的邻接点w ，则 3.2.1输出顶点w
3.2.2将顶点w 改为“已访问”标志 3.2.3将顶点w 进栈； 3.3否则，当前顶点退栈； 具体算法：
template<class T>
void MGraph::DFSTraverse(int v) //标志数组visit 以初始化 {
top=-1; //采用顺序栈并假设不会发生上溢 cout<<vertex[v];visit[v]=1;S[++top]=v; while(top!=-1) { v=S[top]; for(j=0;j<vertexNum;j++) if(arc[v][j]==1 && visit[j]==0) { cout<<vertex[j]; visit[j]=1; S[++top]=j; Break; } If(j==vertexNum) top--; } }
（3）分别基于深度优先搜索和广度优先搜索编写算法，判断以邻接表存储的有向图中是否存在由顶点i v 到顶点j v 的路径（i j ）。

解：深度优先搜索算法 int DFS(int i,int j) { Top=-1;
Visited[i]=1;stack[++top]=i;yes=0;
while(top!=-1||yes==0)
{
i=stack[top];
p=adjlist[i].firstedge;
while(p&&yes==0) //邻接点存在且还未找到
{
t=p->adjvex;
if(t==j) yes=1;
else if(Visited[t]==0){
Visited[t]=1;
stack[++top]=t;
}else p=p->next;
}
If(!p) top--;
}
return yes;
}
广度优先搜索算法：
int BFS(int i,int j)
{
front=-1;rear=-1;
visited[i]=1;queue[++rear]=i;yes=0;
while(front!=rear||yes==0)
{
i=queue[++front];
p=adjlist[i].firstedge;
while(p&&yes==0)
{
t=p->adjvex;
if(t==j) yes=1;
else if(visited[t]==0){
visited[t]=1;
queue[++rear]=t;
}else p=p->next;
}
}
return yes;
}
5、哈夫曼树、哈夫曼编码程序编译、调试、运行并形成相应报告
分析：该程序实现最多构造100个结点（数据域为整形数）的哈夫曼树，并将前8个整数按按哈弗曼树构造排好序，程序按哈弗曼的构造过程输出截图中第二行数据，哈夫曼树示意图如下
然后程序判断前8个数在该树中的位置，从根结点开始，左子树输出0，右子树
输出1，故得到程序截图中的结果。

6、分析、调试、运行拓扑排序、Prim 算法、最短路径程序，给出相应分析报告 解：
哈夫曼树及哈弗曼编码程序调试运行结果
分析：该拓扑排序程序是基于图的存储结构，选择了图的邻接表的存储结构，并加以改造而实现的，程序要求先自己构造一个合法的AOV 网，（比如上述：先构造一个含有9个顶点（最大不超过20个），11条边的图，然后输入顶点值，再依次输入具有邻接关系的顶点对），程序最终输入一种拓扑排序。

分析：Prim 算法基于的存储结构。

（1）图的存储结构：由于在算法执行过程中，需要不断读取任意两个顶点之间边的权值，所以采用邻接矩阵存储，且矩阵为对角矩阵，所以又可以采用压缩存储仅存储主对角线以下元素。

（2）候选最短边集：设置了一个数组minedge[v]表示候选最短边集，数组元素包括adjvex 和lowcost 两个域，分别表示候选最短边的邻接点和权值。

程序最终得到一颗最小生成树。

调试及运行Prim 算法验证结果图
调试及运行拓扑排序结果图
分析：最短路径问题是图的应用问题，该程序中使用Dijkstra 算法，应用贪心法进行算法设计。

图采用邻接矩阵存储。

实现：只要输入有向图的全部信息，和源点，就可以得到至其他顶点的最优路径。

调试及运行最短路径的程序结果图。