高考数学一轮复习 第九章 数列 第64课 通项与求和(1)课件.pptx
数列的通项及数列求和ppt完美课件 通用
和为
（ B）
A. n
B. n
3n 2
6n 4
C. 3 n
D. n 1
6n 4
n2
解析 由数列通项公式
1 1( 1 1), (3n1 )(3n2) 33n13n2
得前n项和 Sn1 3(1 21 51 58 18 1111 3n113n12)
1(1 1 ) n . 32 3n2 6n4
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
,a1=2.
思维启迪 依据已知数列的递推关系适当地进行
变形，可寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商 a n 的规律. a n 1
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
数 列 的 通 项 及数列 求和pp t完美课 件 通 用
解（1）方法一 ∵数列{an}是首项为1的正项数列,
∴anan+1≠0,∴
(n1)an1 nan
an
an1
+1=0,
令 a n 1 =t,∴(n+1)t2+t-n=0,
an
∴［(n+1)t-n］(t+1)=0,
∴t= n 或t=-1（舍去）， n 1
即 an1 n . an n 1
a2 a3 a4 a5 an a1 a 2 a3 a 4 a n1
2. 如 果 数 列 {an} 满 足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,… 是 首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（C ）
A. 3 n 1 2
C. 3 n 1 2
B. 3 n 3 2
D. 3 n 3 2
解析 a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
2020年高考数学一轮复习：第64课通项与求和
第64课 通项与求和(1)1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项.2. 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.1. 阅读：必修5第37～39页、第51～53页.2. 解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.3. 践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.基础诊断1. 已知等差数列{a n }的公差为d ，则a n －a m ＝ (n －m)d . 解析：因为数列{a n }是等差数列，且公差为d ，所以a n －a m ＝a 1＋(n －1)d －[a 1＋(m －1)d]＝(n －m)d.2. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝n n ＋1，则a n ＝ 1n.解析：当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n ；当n ＝1时也成立，故a n ＝1n.3. 若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n ＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n （n ＋1）2. 解析：由a n ＝n ＋a n －1可变形为a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，由此可写出以下各式：a n－a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 2－a 1＝2，将以上等式两边分别相加，得a n －a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2，所以a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2. 4. 在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项a n ，a n ＋1，a n ＋2的关系是 a n ＋2＝a n ＋a n ＋1 .范例导航考向❶ 利用“累乘、累加”法求通项例1 已知数列{a n }满足a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n .求数列{a n }，{b n }的通项公式.解析：因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1.又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1×…×24×13×12＝1n （n ＋1）.当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1n （n ＋1）.因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n .已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，求数列{a n }的通项公式. 解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， 所以a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1×n －1n －2×…×32×2 ＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2满足上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *).【注】 (1) 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2) 形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.(3) 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法. 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明. 考向❷ 构造等差、等比数列求通项例2 (1) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式；(2) 已知数列{a n }满足a 1＝2， a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，求数列{a n }的通项公式. 解析：(1) 因为a n ＋1＝3a n ＋2， 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1). 又a 1＝1，所以a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＋1＝2×3n －1，故a n ＝2×3n －1－1.(2) 因为a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，所以a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1.又a 12＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，即a n ＝n·2n .已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n2，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式. 解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n 2， 所以2a 2n ＋1＝a n ，且a n >0，两边取对数，得lg 2＋2lg a n ＋1＝lg a n ，即lg a n ＋1＋lg 2＝12(lg a n ＋lg 2).因为lg a 1＋lg 2＝2lg 2，所以数列{lg a n ＋lg 2}是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列，所以lg a n ＋lg 2＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1×lg 2，所以a n ＝222－n －1.【注】 (1) 此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y ＝a x 中转化为等比数列.(2) 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为a n ＋1＋x ＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 考向❸ 由a n 与S n 的递推关系求通项例3 记数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，求S n .解析：方法一：当n ＝2时，S 2＝2(a 1＋a 2)， 从而得a 2＝－a 1＝－1.当n ≥3时，S n －1＝2(a 1＋a n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 又a 2≠2a 1，所以数列{a n }是从第二项起以a 2＝－1为首项，2为公比的等比数列，所以当n ≥2时，S n ＝1＋（－1）×（1－2n －1）1－2＝2－2n －1.又S 1＝a 1＝1＝2－20，满足上式，所以S n ＝2－2n －1.方法二：当n ＝2时，S 2＝2(a 1＋a 2)， 从而a 2＝－a 1＝－1.当n ≥3时，a n ＝S n －S n －1，所以S n ＝2(1＋S n －S n －1)，即S n ＝2S n －1－2， 所以S n －2＝2(S n －1－2).因为S 2－2＝－2，S 1－2＝－1， 所以S 2－2＝2(S 1－2)，所以数列{S n －2}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S n －2＝(－1)·2n －1，即S n ＝2－2n －1.已知数列{a n }共有2k 项(k ≥2，k ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n ＋1＝(p －1)·S n ＋2(n ＝1，2，…，2k －1)，其中常数p >1.(1) 求证：数列{a n }是等比数列；(2) 已知p ＝222k －1，数列{b n }满足：b n ＝1nlog 2(a 1a 2…a n )(n ＝1，2，…，2k )，求数列{b n }的通项公式.解析：(1) 因为a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(n ＝1，2，…，2k －1)， 所以a n ＝(p －1)S n －1＋2(n ＝2，3，…，2k )， 两式相减得a n ＋1－a n ＝(p －1)(S n －S n －1)， 即a n ＋1－a n ＝(p －1)a n ，所以a n ＋1＝pa n (n ＝2，3，…，2k －1). 令n ＝1，得a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1，所以a n ＋1a n ＝p ≠0(n ＝1，2，…，2k －1)，所以{a n }是等比数列.(2) 由(1)得a n ＝a 1p n －1，且a 1＝2， 所以b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝1n log 2(a 1·a 1p ·a 1p 2·…·a 1p n －1) ＝1n log 2(a n 1·p 1＋2＋…＋n －1) ＝log 2(a 1·pn －12)＝1＋n －12log 2p ＝1＋n －12·22k －1＝1＋n －12k －1.【注】 一种思考方法是先求出数列{a n }的通项公式，再求它的前n 项和，所以将S n 转化为a n ，通过研究a n 来求和；另一种思考方法是直接研究数列{S n }，所以将a n 转化为S n 后再求它的通项.这是研究S n 与a n 的关系问题时常用的两种解法，解题时要合理选择.自测反馈 1. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则a 100＝ 2101 .解析：因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝12.又因为1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋12(n －1)＝1＋n 2，所以a n ＝21＋n ，所以a 100＝2101.2. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 解析：因为a n ＝a 2n －1＋1，所以a n >0，且a 2n ＝a 2n －1＋1，即a 2n －a 2n －1＝1，所以数列{a 2n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a 2n ＝n ，故a n ＝n .3. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则a n ＝ 2n －1 .解析：因为S n ＝2a n －1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n－1－1)，即2a n －1＝a n ，所以a na n －1＝2.因为a 1＝S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n －1，当n ＝1时，也满足上式，所以a n ＝2n －1.4. 数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n ＋1)·(n ＋2)(n ∈N *)，则a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2＋2n， n ≥2. 解析：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n ＋1)(n ＋2) ①，当n ＝1时，a 1＝(1＋1)×(1＋2)＝6；当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝n (n ＋1) ②，①－②得na n ＝(n ＋1)(n ＋2)－n (n ＋1)＝2n ＋2，所以a n ＝2n ＋2n ＝2＋2n (n ≥2).当n ＝1时，a 1＝6，不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2＋2n，n ≥2.1. 注意数列条件限制，如正项数列、等比数列中任意一项均不为0.要分清第n ＋1项与第n 项表达式之间的关系.2. 已知S n 求a n ，要注意对n ＝1情况的讨论.3. 你还有那些体悟，写下来：。
人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
§6.4数列的通项及数列求和基础知识自主学习要点梳理1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・…・f (n)可求，则可用_求数列的通项a..©+1累积法推导方法:乘公比，错位相减法.■ % —jq\_q\_q3 •等差数列前n 项和S 产推导方法：— 等比数列前n 项和n(a x +a n )n(n-V). na x H d［到序相加法q#1.4 •常见数列的前n项和(1)(2)(3)；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 21+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n*1+2+3+…+n=(4) 12+22+32+..+n2= ；n2(5) 13+23+33+.. +n3=«(n + l)(2n + l)⑷+ 1)]22j5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.6 •常见的拆项公式有⑴1n(n +l)1 1n n + 1"2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1⑶]Qn + Yn +1=、/ H +1—、ft ・基础自测1 •已知等比数^ij{a n},a1=3,>4a1> 2a2> 83成等差数列，则a34-a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由题意可设公比为q,贝!Ia2=a1q,a3=a1q2, •/4a2=4a14-a3,-，4a1q=4a14-a1q2,Xa1=3,/.q=2 ・ a3+a4+a5=a1q2(1+q4-q2)=3X4X(1+2+4)=84 ・2如蹈鶯肆严，…,ag…是首项为1,公比为3的等A. B. Cc.23〃+3 2解析时二先®)+ (a3-a2)3* ^(a^)2=a n=2lx(l_3")1一3 '_3〃一1 "" ■•2=n2f-F — 1 1 —i2 222〃 321, 1 164=5 +M，AA2~1 +23-已知数列6｝的通项公式是a 产,其中前侦柚卜A.13 劇64解析*-*a n = 则项数n 等于)C.9D.62"D1 戶， 1 心+前,.*/6n=n -4•若数列｛aj 的通项公式为a n =2n +2n-1,K>J 数列｛a ；｝的前n 项和为A.2n +n 2-1 C.2n+1+n 2-2解析S n =2(1_2") | 卅(1 + 2—1)B.2n+1+n 2-1 D.2n +n 2-2=2n+1-2+n 2.5擞列J_ _! _____ 5麺1项________ ! _______ A 2・5'5・8'8・11，© —1)・(3〃 + 2)‘和为()BA. B.n C・——.n 6n + 43n + 2解析餾数列通项公式71 + 16〃+ 4 n + 2得前n项和1 =1 _______________ 1(3〃一1)•⑶2 + 2) _ 3 3〃一1 _3n + 2c1Z1 1 1 1 1 1 1 1S =—( ------- 1 ------- 1 ---------nA H -------------------------- "3 2 5 5 8 8 11 3〃一1 3n + 2= 1(1__1 “ 〃 .32 3n + 2 6n + 4题型分类深度剖析题型一由递推公式求通项公式【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.(1)设｛a」是首项为1的正项数列，且(n+1) +a n+1a n=O(n=1,2,3,...)；⑵已知数列代｝满足酩尸,a1=2.依据已知数列的递推关系适当地进行变形"+1 n的差百％或通项的商_2—匕La n + 2的规律融H-12 2%卄1 _ na n可寻找数列的通项解（1）方法一•・•数列｛aj是首项为1的正项数列,#0/.令=t,/.(n+1)t2+t-n=0, a n為+i・•・［伽(t+1)=0,・・t=。
【高中数学课件】数列求和及通项的求法ppt课件共25页文档
an1
ana1qn1.
若数列{
a
n
an
}满足an1
f
(n)
，其中数列{
f
(n)}前n项
积可求，则通项 a n 可用逐项作商后求积得到。
思 1. 求数列 1 , 4 , 7 , 1 , 0 , ( 1 ) n ( 3 n 2 ) ,
考 前n项和 题
2. 求数列 {2n 3} 2n3
3. 求和：
求通项公式 a n
1:a 1,求满足以下a条件的
1
n
2
(1)a a
n n n1
n
2
a n1 (2) n1
an n
2 : a 1, 求满足以下条件的 a
1
n
(1) a 3 a 2
n 1
n
(2)a 3a 2n 1
n 1
n
(3)a 3a 2 n
n 1
n
(4)a
a n
n1 a 3
n
若数列an 满足 a n a n 1 fn ( n N )，其中an
是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求 f n
逐商求积法
若数列 a 1 ,a 2,a 3, ,a n, 是等比数，公比为q，
则 a2 q,a3 q,a4 q,, an q,
a1 a2 a3
an1
an
n 1个 q.q.q.q
a a 2 a 3Leabharlann a n 1的前n项和。
裂项法：
1.求数列
6, 6, 6, , 6 , 1 22 33 4 n (n 1 )
前n项和
2.求数列 1 1 2 ,1 2 1 3 , ,1 2 1 ( n 1 ),
高考数学一轮总复习 6.4 数列的通项与求和精品课件 理 新人教版
解得 a1=1,d=2.因此 an=2n-1,n∈N*.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第二十页，共29页。
探究
(tànjiū)突
破
(2)由题意知:Tn=λ-
2 -1
1 -1
2
4
=(n-1)
;
2 4
8
16
2
(2)Sn=
考点(kǎo diǎn)一
1 2
+
+
2
1 2
+ 2 +…+
考点(kǎo diǎn)二
1 2
+ .
考点(kǎo
diǎn)三
第十四页，共29页。
探究(tànjiū)
突破
·2 +1
解:(1)由于 an=
∴Sn= 1 +
1
22
1
+ 2+
21
1
1
2
2
1
(2)(+)
=
1 1 1
+
1
1
1
1
2-1 2+1
1
1
1
1
−
(+1)
(+1)(+2)
(3)(2-1)(2+1) = 2
(4)(+1)(+2) = 2
(5)
;
1
+ +
=
1
高考理科数学(人教A版)一轮复习课件64数列求和
数列求和
知识梳理
考点自诊
1.基本数列求和方法
(1 + )
(-1)
=na1+
d.
2
2
(1)等差数列求和公式:Sn=
1 , = 1,
(2)等比数列求和公式:Sn= 1 -
1-
=
1 (1- )
,
1-
≠ 1.
(3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等
为等比数列,
所以 an=2
1
-
1
1
,bn=1+log2
1
1
2n-1=n,所以
1
1
1
+1
1
1
1
= (+1) = − +1,即
Tn=1-2 + 2 − 3+…+ − +1=1-+1 = +1.
-8-
考点1
考点2
考点3
分组求和与并项求和
-9-
考点1
考点2
考点3
3
解:(1)设等比数列{bn}的公比为 q,则 q=
=(2n+1)bn+1,
2
又2 +1 =bnbn+1,bn+1≠0,所以 bn=2n+1.
2+1
令 cn= ,则 cn=
2
.
3
因此 Tn=c1+c2+…+cn= +
1
3
5
7
2
2
2
24
又 Tn= 2 +
3 +
数列的通项与求和PPT优秀课件1
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
目的要求
1 .理解掌握数列的通 项公式和数列的前n 项和公式.
2 .熟练掌握等差、等 比数列的求和方法.
最新-2018高考数学 64 数列的通项及数列求和总复习课件 精品
③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n·3n+1.
④
④-③得2Sn=n·3n+1-(3+32+33+…+3n),
即2Sn=n3n+1-
3(1 1
3n ) 3
, Sn
(2n
1)3n1 4
3 4
探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式 视为数列{3n-1an}的前n项和,从而利用an与Sn的关 系求出通项3n-1an,进而求得an;另外乘公比错位相 减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,这 种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程 的训练,重视运算能力的培养.
因此由an+1=
1
an 2an
，得
1 an1
1 an
2,
即 1 1 2.
an1 an
∴数列 1 是等差数列，
an
（a12n）根a11据 已(n知-1条)·件2得=2n2a-nn11,1 即 a2annn=21n,1
. 1
即
a n1 2n1
an 2n
1,
∴数列
2ann
是等差数列.
an 2n
1 2 3 4 • • n 1,
2345
n
an
1. n
方法二 由（n+1）an21 nan2 +an+1an=0,得 n( an21 an2 )+an+1(an+1+an)=0, 即（an+1+an）［(n+1)an+1-nan］=0. ∵an＞0,∴an+1+an≠0,∴(n+1)an+1-nan=0,
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an 3n
an1 3n1
1
1 3n
叠加法：
an
(n
1 ) 3n 2
1 2
问题：还有其他的解法吗？
<分析2>
an 3n
1 2
成等差
an 3n
1 2
n
1 2
an
(n
1 ) 3n 2
1 2
解题反思
1、求数列通项公式主要抓基本数列、基本方法, 同时注意数列条件限制，如正项数列、等比数列 中任何一项不为0等.同时要注意第n项与第n+1项 表达式的区别和联系。
(2)已知数列an 中，a1 =1,
an1 an
2n 2n
1 3
,
求an．
两种书写方式：
(1)a2 a1 2, a3 a2 4, , an an1 2(n 1), 这n 1个式子相加 得到an a1 2 4 2(n 1) n2 n 1. (2)an an1 2(n 1) an2 2(n 2) 2(n 1) a1 2 4 2(n 1) n2 n 1.
2、已知 Sn求 an ，通常用到公式法，要注意n 1
的情况。
3、通过递推关系来求通项公式时，可以通过化简、 变形、代换把一些较复杂的数列化归为中学所研究 的等差或等比数列。
范例导析
例 1：已知等差数列an满足 a1 a2 10 ， a4 a3 2 ．
（1）求an 的通项公式；
（2）设等比数列bn 满足 b2 a3 ， b3 a7 ，问： b6 与数列an 的第几项相等？
例2.求数列的通项公式
(1)已知数列an中，a1=1，an1=an 2n, 求an；
，则它的通项公式 an =___________
3.若数列{an}的前n项和满足Sn 2an 1， 则an __2_n__1 _
变式 若数列{an}的前n项和Sn 2an n， 则an _2_n__1
4 若数列{an}的前n项和Sn n2 n，
则an _2_n___
变式2 若数列{an}的前n项和Sn 2n 3，
则
aann
_2_n1_1(_(nn_
1) 2)
Sn 2n 1，则an __2_n_1__
归纳总结
(1)数列{an}的前n项和为Sn an2 bn c 当c 0时，数列{an}为等差数列； 当c 0时，数列{an}从第二项起是等差
数列。
(2)数列{an}的前n项和为Sn Aqn A 则数列{an}为等比数列。
4、累加法：形如 5、累乘法：形如
aann11
an f
f (n)
(n)
;
;
an
6、归纳猜想证明法.
诊断练习
1.若数列{an}是等差数列,且a2 4, a4 16,
则an _6_n___8_
等比？
an _(__2_)_n_
2．已知数列 an 满足a1 1,an
a2 n1
1(n
N
*)
答案：an 2n 1
基础知识回顾与梳理
练习：数列{an}中，若a1 1且满足 an1 2an 2n，求an
答案：an n 2n1
基础知识回顾与梳理
结论： an1 pan q( p 1)
an1
q p 1
p(an
q) p 1
数列{an
q }为等比数列 p 1
基础知识回顾与梳理
4、(1)数列{an}中，若a1 1且满足 an1 an 2n，求an
通项与求和（1）
基础知识回顾与梳理
1、 20是不是等差数列 0, 7 , 7, 21,
2
2
中的项，如果是，是第几项？
答：不是
基础知识回顾与梳理
2、数列{an}的前n项和Sn，满足
Sn n 1，求an
1 (n 2) an 2 (n 1)
注意：对 n 1情况的讨论
基础知识回顾与梳理
3、已知数列{an}中，a1 1且 满足an1 2an 1，则an ______
尝试（2）的累乘，约分时有什么特点？
例2 求数列的通项公式：
（3）
例3 数列{an}满足递推式：
an 3an1 3n 1(n 2),又a1 5
(1)
若{
an 3n
}为等差数列，实数的值
(2) 求数列{an}的通项公式
<分析>
{
an 3n
}为等差
取特殊值法
实数的值 1n 1 同除3n
答案：an 2n 1
基础知识回顾与梳理
(2)已知数列{an}中, a1
1，an1 an
2n 1 , 2n 3
注意观察
求an
aa12aa1n
a3
a2
aa(234 n
a3n 1a)n(21n
1)
1 5
a73n
5 9
2n 37 2n 5 (2n2n1)3(2n2n1)1
2n 2n
3 1
基础知识回顾与梳理(备用）
变式 数列{an}中, a1 1, an 0, (n 1)an21 nan2 an an1 0, n N , 则an _____
答案：an
1 n
分式变整式 怎么处理？
求通项公式的方法
1、基本量法：适用于等差数列、等比数列；
2、公式法：an
SSn1
(n 1) Sn1(n 2)
;
3、构造新数列：转化为等差数列或等比数列；