3.1数列
2024高考数学数列知识点总结与题型分析
2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。
在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。
一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。
对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。
（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。
与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。
（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。
数列概念及通项公式1
本例的关键是应用an= 本例的关键是应用
S1
(n=1)
题型三 利用递推公式求数列的通项 例3 根据下列条件 写出数列的通项公式： 根据下列条件,写出数列的通项公式 写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； ） ， ； （2）a1=1，an-1=2n-1an. ） ， ）将递推关系写成n-1个等式累 分析 （1）将递推关系写成 个等式累 累加法” 加，即“累加法”. 个等式相乘， （2）将递推关系写成 个等式相乘，即 ）将递推关系写成n-1个等式相乘 累积法”或用逐项迭代法. “累积法”或用逐项迭代法
点评
Sn-Sn-1 (n≥2)求 求 数列的通项， 特别要注意验证a 数列的通项 ， 特别要注意验证 1 的值是 否 满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ； 同 时 认 清 “ an+1-an=d（ 常数 ） (n≥2)”与 “ an-an-1=d （ 常数） 与 为常数， （d为常数，n≥2）”的细微差别 为常数 ） 的细微差别.
满足: 变式练习 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式 的通项公式.
3, n=1, an= n 2 , n≥2.
走进高考
湖北卷)古希腊人常用小石子 湖北卷 学例1 (2009·湖北卷 古希腊人常用小石子 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如： 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：
例4 求满足条件 a1 = 1, an +1 的数列{a 的通项公式 的数列 n}的通项公式
an = (n ∈ N *) 1 + nan
分析：两边取倒数， 分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式
3.1 等比数列的概念 一等奖创新教学设计
3.1 等比数列的概念一等奖创新教学设计4.3.1 等比数列的概念一、内容与内容解析1.内容：等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性2.内容解析：研究等比数列的必要性：数列是高中数学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承上启下的作用。
一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为大学内容学习数列的极限做好铺垫。
《等比数列》是两类特殊数列中的一种，对于等比数列的研究源于现实生产，生活的需要。
探索它的取值规律，建立它的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题。
例如：生物学上的细胞分裂个数问题、生物体死亡后碳14的衰退问题、日常生活中的银行存款、贷款问题等。
通过数学抽象将实际问题转化为等比数列的知识，并运用等比数列的相关知识进行数学运算、逻辑推理等，最终达到解决实际问题的目的，从中感受数学模型的现实意义与应用。
（2）等比数列的概念：《等比数列的概念》是《等比数列》在教学中的第一节。
通过类比等差数列的研究思路和方法，从运算学的角度出发引出我们要研究的内容。
通过分析教材中给出的生物、语文、生活、历史等方面的问题，提取出6组数列，让学生从“运算”上发现取值规律，之后类比等差数列的定义得出等比数列的定义。
通过对定义的巩固练习得出等比数列的注意事项。
类比等差数列通项公式的推导方法、等差中项的定义让学生独立推导出等比数列的通项和等比中项。
本节课的难点分析等比数列的通项公式与函数的关系。
为了突出重点突破难点，我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。
从等比数列角度，等比数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。
反之，已知指数函数，，…构成一个等比数列，其首项为,公比为，最终阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向。
3.1__数列的概念与简单表示法
2＋(－1)n n ＋ － . 所以 an＝ (－1) · － n 1 (n为正奇数 为正奇数) 为正奇数 －n 也可写为 an＝ 3 (n为正偶数 为正偶数) 为正偶数 n
.
(3)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋ 1， 偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子 － 偶数项为负 观察各项绝对值组成的数列， 项可见， 观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可见，分母 组成， 分别由奇数 7,9,11,13 组成 ， 而分子则是 32＋ 1,42＋ 1,52＋ 1,62 12＋ 1 22＋ 1 2 ＋ 1， ， 按照这样的规律第 1、 两项可改写为 、 ， － ， 2＋1 2×2＋1 ＋ × ＋ n2＋ 1 ＋ . 所以 an＝ (－1)n 1· － 2n＋1 ＋
2．数列的函数特征 ． 数 列 是 一 个 定 义 域 为 正 整 数 集 N*( 或 它 的 有 限 子 集 {1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应 ， 的特殊函数， 的特殊函数 的函数解析式， 的函数解析式，即 f(n)＝an (n∈N*)． ＝ ∈ ．
基础自测 1．已知数列{an}的前 项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通 ．已知数列 的前4项为 ，写出数列 的一个通 的前 项为
0 (5)an＝ 1
(n为奇数 为奇数) 为奇数 (n为偶数 为偶数) 为偶数 1＋(－1)n 1＋cos nπ ＋－ ＋ . 或 an＝ 或 an＝ 2 2
探究提高
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔 据所给数列的前几项求其通项公式时， 据所给数列的前几项求其通项公式时
细观察分析，抓住以下几方面的特征： 细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； 分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； 相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； 拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 各项符号特征等，并对此进行归纳、 联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“ 从特殊到一般”的思想， 纳法 ，它蕴含着“从特殊到一般 ”的思想 ，由不完全归纳 得出的结果是不可靠的，要注意代值检验 ， 得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号 变化，可用(－ 来调整． 变化， 可用 － 1)n 或 (－1)n＋1 来调整． －
§3.1等比数列+第2课时+等比数列的性质PPT-(原创)北师大版(2019)数学-选择性必修第二册
a1>0
q的范围
0<q<1
q＝1
{an}的
单调性
递减数列
____
常数列
______
a1<0
q>1
0<q<1
递增数列
递增数列
____
____
q＝1
q>1
常数列
______
递减数列
____
探究点2
等比数列的图象
观察数列
(1)
1，2，4，8，16，…
公比 q=2
公比 q=
(3) 4，4，4，4，4，4，4，…
(2)若{an}，{bn}是项数相同的等பைடு நூலகம்数列，公比分别是p和q，那么{anbn}
p
pq
与{ }也都是等比数列，公比分别为______和________．
q
1
(3)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，{ }，
{an
1
2}都是等比数列，且公比分别是________________．
2
8
比数列，则这 3 个数的积为________．
1
【解析】设插入的 3 个数依次为 a，b，c，即 ，
2
a，b，c，8 成等比数列．由等比数列的性质可得
1
1
2
b ＝ac＝ ×8＝4，因为 a ＝ b>0，所以 b=2,所
2
2
2
以公比 q=2，所以 a=1,c=4.所以这三个数的积为
8.
探究点3 等比数列项的运算性质
8
a1q·a1q4= 27
又数列各项均为负数，则
中职中专技校数学下册 第一章 数列概念等差数列 等比数列
31..22 等差数数列列
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例题解析
1.1 数列的基本知识
1.2 等差数列 例1 下列数列都是等差数列，试求出其1.中3 的等未比知数项列：
（1）3，a，5
（2）3，b，c，－9
解 （1）由题意得
（2）由题意得
解方程组，得 b＝－1，c＝－5
31..22 等差数数列列
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1.1 数列的基本知识
第1章 数 列
谢尔宾斯基三角形
数列的基本知识 等差数列 等比数列
3.1 数列的基本知识
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教学目标
1．理解数列的定义、表示、分类等基1本.1概念数．列的基本知识 2．理解数列的项、通项公式及前n项1和.的2 意义等．差数列 3．理解数列的通项公式，并会用通项1公.3式写等出比数列数的列任意一项．
1.2 等差数列
45．．能培在养具学体生情观境察中 、， 分发 析现 问数 题列 的的 能等 力差 ，关 由系 特， 殊1并 到.能 一3 用 般有 的等关 归比知 纳识能数解力列决．相应的问题．
教学重点
1．等差数列的概念． 2．等差数列的通项公式． 3．等差数列的前n项和公式．
教学难点 等差数列的通项公式与前n项和公式的综合应用．
例2 求下列数列的一个通项公式 （1） 2，5，8，11，… （2）
解（1）观察数列的规律
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1.1 数列的基本知识 1.2 等差数列 1.3 等比数列
由此可知其通项公式为 an＝3n－1
3.1 数列的基本知识
（2） 解 观察数列的规律
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1.1 数列的基本知识 1.2 等差数列 1.3 等比数列
an＝－5＋（n－1）（ －4） 设这个数列的第n项是－401，则
【精品含答案】高考一轮复习3.1数列的概念基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习3.1数列的概念基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设11n 10n a 2n ++-=，则数列{}n a 从首项到第几项的和最大（ ） （A ）10 （B ）11 （C ）10或11 （D ）122. 若数列{}n a 的前n 项和公式为)1n (log S 3n +=，则5a 等于（ ） （A ）6log 5（B ）56log 3（C ）35log 6（D ）5log 33.（2008·衡水模拟）已知数列{}n a 中，*)N n (2n 3n 1a a ,21a 2n 1n 1∈+++==+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）（A ）1n 1a n +=（B ）1n na n += （C ）2n n 1n 21a 2n ++-+= （D ）2n 1n a n ++=4. 下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列 ,65,54,43,32通项公式是1n na n +=；③数列的图象是一群孤立的点；④数列 ,1,1,1,1--与数列 ,1,1,1,1--是同一数列。
其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）45.（2007·广东高考）已知数列{}n a 的前n 项和n 9n S 2n -=，第k 项满足8a 5k <<，则k = （ ）（A ）9（B ）8（C ）7（D ）66. 数列{}n a 中，若1a ,1a 2a a 1n n1n =+=+，则6a 等于（ ）（A ）13 （B ）131（C ）11（D ）111第Ⅱ卷（非选择题部分共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
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数列练习4
例4 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个 通项公式.
(1)2,4,( 6 ),8,10, ( 12 ),14. (2)2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 ) (3)( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49. (4)( 5 ),4,3,2,1,( 0 ),-1,( -2 ). (5)1, 2 ,( 3 ),2, 5 ,( 6 ), 7 .
例如，数列1，2，3，4，5，6，… 简记为： n
例如，数列2，4，6，8，10，12，… 简记为： 2n
通项公式
例如，数列1，3，5，7，9，11，… 简记为： 2n 1
例如，数列1，10，100，1000，… n 1 简记为： 10
n 1
例如，数列1，-1，1，-1，1，-1，… 简记为： 1) (
数列练习5
练习5 根据数列
an
的通项公式，写出它的前5项。
1.a1 5, an 1 an 3. 2.a1 2, an 1 2 a n 3.a1 3, a 2 6, an 2 an 1 an 4.a1 1, an 1 1 an an
1. 5，8，11，14，17
数列中的每一个数都对应着一个序号，反 问题：上述5个数列中的项与序号的 过来，每个序号也都对应着一个数。如数 关系有没有规律？如何总结这些规律？ 列（1）
项
4 5 6 7 8
9 10
序号
1
2
3
4
5
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1 开始依次增加时，对应的函数值按次 序排出就是数列，这就是数列的实质。
例如，数列5，10，15，20，25，… 简记为： 5n
数列的例题1
例1 根据数列
an 的通项公式，写出它的前5项。
(2)an (1) n
n
n (1) an n 1
解：(1) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
an
1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6 解：(2) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 an 的前5项为
数列图象 是一些点
O
1 2 3 4 5 6 7
n
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
10 9 8 7 6 5 4
● ● ● ● ● ● ●
3 2
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1
an=1/n的图象
这些点是 孤立的！
½
¼
O
1 2 3 4 5 6 7
n
数列
10 9 8 7 6 5 4
数列的定义
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示，
第2项用 a2表示， 第n项用 an …， 表示， …， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …，
简记作：
an
1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的通项公式是： an n 3 (n≤7)
2. 数列 2，4，6，8，… 的通项公式是：
an 2n
3. 数列 1，4，7，10，… 的通项公式是：
an 3n 2
通项公式
例如，数列
1,
1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5
1 简记为： n
数列练习1
练习1 根据数列
an
的通项公式，写出它的前5项。 1，4，9，16，25.
(2)a 10n 10，20，30，40，50. (3)a 5 (1) 5，-5，5，-5，5.
(1)an n2
n
n1
n
2n 1 ( 4) a n 2 n 1
7 9 11 3 , , 1, 10 , , 17 26 2
( n 1) 2 1 n( n 2) 解(2): an n 1 n 1
0(n为奇数） an 1 （n为偶数）
数列的例题3 例3 已知数列 an 的第1项是1，以后的各项由公式 an
给出，写出这个数列的前5项。
1 1 an 1
解： a1
1
1 1 a2 1 1 2 a1 1 1 1 3 a3 1 1 a2 2 2 1 2 5 a4 1 1 a3 3 3 1 3 8 a5 1 1 a4 5 5
数列练习3
练习3 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1 1 1 1 (1) , , , ; 2 4 8 16
(1) n an n 2
1 1 1 1 1 1 1 (2)1 , , , ; 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 an n n 1 n(n 1)
●
8, 4, 2, 1,
1 , 2
,
的图象
●
3 2
1 1 2
● ●
●
●
3
4
5
6
7
8
9
10
数列的分类
1、按项数n的取值范围分: 有穷数列和无穷数列 2、按项与项之间的大小关系来分: 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 3、按任一项的绝对值是否都小于某一正 数来分: 有界数列、无界数列
通项公式
如果数列 an 的第n项 an 与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
根据数列的定义知数列是按一定次序排 列的一列数，因此若数列中被排列的数 相同，但次序不同，则不是同一数列。 如：数列（5）－1，1，－1，1，·改为 · · 数列（5’）1，－1，1，－1，·它们不是 · · 同一数列。
数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改 为数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。
y=f（x） 函数值 自变量
an ？ n
• 如果数列{ an }中的第n项an与n之间 的关系可以用一个公式来表示，则 称此公式为数列的通项公式。 • 并不是所有的数列都有通项公式， 如数列⑷。 • 有些数列的通项公式不唯一，如数 列⑸
数列的图象表示 an an=n+3的图象
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
数列练习2
练习2 根据数列
an
的通项公式，写出它的第7项与第10项。
1 (1) an 3 n
n 1
1 a7 343
1 a10 1000
(2)an n(n 2) a7 63
(1) (3)an n
n
a10 120
1 a10 10
1 a7 7
a (4)an 2 3 7 125 a10 1021
23
陛下国库 陛下赏小 你想得到 里的麦子 人几粒麦就 什么样的 不够小人 搞定。 赏赐？ 搬啊！
OK
?
⑴4，5，6，7，8，9，10 ⑵1，2， 22 ，23，24，…， 263 1 1 1 1 … ⑶1， , , , , 2 3 4 5 ⑷3，3.1，3.14，3.141，…
请你观察：
⑸-1，1，-1，1，…
数
列
问题：从下往上钢管的数目有什么 规律？钢管的总数是多少？如果增 加钢管的层数，有没有更快捷的方 法求出总数？
7---6---5---4---3---2---1----
10 9， 8， 7， 6， 5， 4，
24 25 26 27 … 263 1 2 1+2+22+…+263 =18446744073709551615 国王要给多少麦粒？ 22
1, 2, 3, 4, 5
数列的例题2
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（ ）3 5 7 11 ， ； ， ，
2 2 1 32 1 4 2 1 52 1 （ ） 2 ， ， ， ； 2 3 4 5 1 1 1 1 （3 ） ， ， ， ； 1 2 2 3 3 4 4 5
a
2. 2，4，8，16，32 3. 3，6，3，-3，-6
4. 1，2，5/2，29/10，941/290
数列小结
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 第2项用
a2表示，第n项用an 表示，
a1 表示，
如果数列 an 的第n项 n 与n之间的关系可以用一个公式 来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
(1) 2 1 ( 1) 3 1 (1) 4 1 ( 1) 5 1 （4 ） ， ， ， ； 2 2 2 2
an 2n 1 (1) n (1) n 1 1 解(3): a n 解(4): an n(n 1) 2
解(1): (4)的数列就是0，-1，0，-1也可以写为