高二数学上学期第8课时数学归纳法预习案沪教版

数学归纳法
【教学目标】1、理解数学归纳法的基本原理；
2、掌握数学归纳法的一般步骤，并会用数学归纳法证明与正整数有关的简单命题和整除性问题；
【教学重点】数学归纳法
【教学难点】通过“归纳-猜想-论证”，提升演绎推理能力和归纳、猜想、论证能力 【教学方法】讲练结合 【教学过程】
一、主要知识：
1．归纳法：由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。

完全归纳法：逐步考查某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论的推理方法叫做完全归纳法；
数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种有效推理方法.
2．数学归纳法是论证与整数有关的数学命题的方法，它的具体步骤： （1）验证当0n n =时命题为真；
（2）假设当()0n k k n =≥是真命题，推出当1n k =+时命题亦真； 根据（1）（2）可得，对于一切0n n ≥的整数n ，命题为真.
3.“归纳、猜想”是从若干已知事实中，探索和寻找出有关规律，从而猜测出一个未知的结论，猜测的结论不一定正确，需加以证明.
一般步骤：
（1）先根据题意求出1,2,3n =等值时的一些特殊值；
（2）通过观察找出几个特殊值中蕴含的内在规律，猜想对于正整数n 的一般结论； （3）用数学归纳法证明上述猜想的结论成立.
二、例题分析：
考点一、数学归纳法的步骤 例1、用数学归纳法证明：11111
1234212n n -+-+⋅⋅⋅+-=
-1112
n n ++⋅⋅⋅+++ ()1n N n n
*
∈+ （1）则从k 到1k +时，左边要添加的项为 . A.
121k + B.112224k k -++ C.122k -+ D.112122k k -++
（2）则从k 到1k +时，右边要添加的项为 . A.122k + B.112122k k +++ C.111
21221
k k k +-+++ D.121k +
巩固练习： （1）1111
()()1232f n n N n n n n
=
+++⋅⋅⋅+∈+++，那么()()1f k f k +=+—————————
.
（2）用数学归纳法证明不等式：
1112n n ++++1
31
n ⋅⋅⋅++*1()n Z >∈由n=k 递推到1n k =+时，为“凑”不等式左边，可在不等式的两边同加 .
考点二、用数学归纳法证明
例2、用数学归纳法证明：(31)
147(32)2
n n n -+++⋅⋅⋅+-=.
巩固练习：
1．在用数学归纳法证明命题成立的过程中，第（1）步中验证了1n =时命题成立，第（2）步中假设n k =时命题成立，这里k 取的最小值是多少？并说明理由。

2．在用数学归纳法证明等式11
1
1(1)21248(1)
2
3
n n
n n ---+--+-+⋅⋅⋅+-=
的第（2）步中，假设n=k 时原等式成立，证明n=k+1时原等式成立。

请写出n=k+1时需要证明的等式
3．用数学归纳法证明：以1a 为首项，以q 为公比的等比数列的通项公式是11n n a a q -=
例3、求证：()
35n n n N *
+∈能被6整除.
巩固练习：
用数学归纳法证明：3*21()n n N -∈能被7整除.
考点三、归纳与猜想
例4、已知数列
1111,,,,,1447710(32)(31)
n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯-+，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法加以证明.
巩固练习：
1．分别计算2、2+4、2+4+6、2+4+6+8的值，根据计算结果猜测2462n +++⋅⋅⋅+的表达式，并用数学归纳法加以证明。

2．在数列{}n a 中，()
()112
1,22,1n n n a a a n n N n n *-+==+
≥∈+，计算234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明。

提高练习：
设{}n a 是正整数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的正整数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.
三、课堂测试：
1．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n
-
+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++时，第（1）步应验证左式为_____________，右式是_____________
2．计算前n 项，猜想表达式：1
111
(1)(1)(1)(1)2341
n ---⋅⋅⋅-
=+ _____________ 3．用数学归纳法证明命题：
2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-
1
*(1)
(1)
()2n n n n N -+=-∈，
由n k =成立证明1n k =+也成立时，需在等式两边同时加上_____________ 4．求证：2
211112n n +++能被133整除()n N *∈
5．是否存在常数a ，b ，c 使得等式222
2(1)
1223(1)()12
n n n n an bn c +⋅+⋅⋅⋅⋅++=++对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

课后作业
1．设()f n =
111122n n n
++⋅⋅⋅+++*()n N ∈，则(1)()f n f n +-=_________ 2．已知A n =(n+1)(n+2)…(n+2n)，则k A 与1k A +的关系为_________
3．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n
×1×3×5…(2n-1) *()n N ∈时，假设n=k 时
成立，若证n=k+1时也成立，两边同乘___________ 4．用数学归纳法证明某题时，左式为1111
23421
n +++⋅⋅⋅+-，从n=k 到n=k+1时，左边应增加的代数式为_____________
5．在用数学归纳法证明凸n 边形的对角线()1
32
n n -条时，第1步验证n =_________ 6．三个连续奇数的和一定能被_____________整除
7．设()21
7
18,n m m n N -*+=∈，则21718_________n m ++=+
8．1131
,23
n n n a a a a +=
=+，猜想n a =_________ 9．猜想：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)= _________ 10．求证：2
2
2
2
*2
246(2)(1)(21)()3
n n n n n N +++⋅⋅⋅+=++∈
11．用数学归纳法证明()22
389n n n N +--∈能被64整除.
12．求实数a ，使下面等式对一切自然数n 都成立：
2111123234
(1)(2)4(1)(2)n an
n n n n n +++⋅⋅⋅+=
⋅⋅⋅⋅++++
第8课时数学归纳法
例1：（1）D ；（2）C 巩固练习：（1）11121221k k k +-+++；（2）1111
3233341
k k k k ++-++++ 例2：略 巩固练习：
1.min 1k =；
2. ()()
()()()
()11
1
1
1111
1
112124812
123
k k k k k k +-+-+-+--+--+-++-+-=
；
3. 略
例3： 略 巩固练习： 略 例4：12111234,,,471013S S S S =
===，猜测31
n n S n =+
巩固练习：1. 2，6，12，20，猜想()24621n n n ++++=+ ； 2.
()()22324222341111
32,32,32,323451
n n a a a a f n n N n ----*=⨯-=⨯-=⨯-==⨯-∈+猜想 提高练习：42n a n =- 课堂测试 1.111,211-
+； 2. 11
n +； 3. ()()2
11k k -+； 4. 略； 5. 存在3,11,10a b c === 课后作业 1.
112122n n -++； 2.()()133132k k A k k A +=++； 3.()()21221
k k k +++； 4.
1
11112212221
k k k k +++++++- ； 5. 3； 6. 3； 7. 21
487n -⨯； 8. 35n + ； 9.()2
1n n +； 10. 略； 11.略； 12. 3a =。