微积分北京大学出版社课后详解
北大数学分析讲义
156
V = π
∫
a
0
2azdz + π ∫
3a
a
(3a 2 − z 2 ) dz =
π a3 ( 6 3 − 5) 。 3
x = a( t − sin t ) 例 ７ 求旋轮线 ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 之弧长。 y = a(1 − cos t ) 解 x ′(t ) = a (1 − cos t ) ， y ′(t ) = a sin t ， S = ∫ =
f = a(1 + cos θ ) S = 2 ⋅ 1 = a 2 = a 2 =
π
0
2a
2∫
π
0
a 2 (1 + cosθ ) 2 dθ
155
P = 2π
∫
β
α
r(θ ) sin θ r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 dθ 。
这是因为这时可看成参数方程
x = r (θ ) cos θ ， x ′(θ ) 2 + y ′(θ ) 2 = r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 。 y = r ( θ ) sin θ
f ( x ) ， g ( x ) 连续，且 f ( x ) ≥ g ( x ) 。我们考虑从 x 到 x + dx 这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取 f ( x ) − g ( x) ，其面积 = ( f ( x) − g ( x)) dx = dA( x) 。所以所围图形面 积为
∫ [ f ( x) − g ( x) ]dx 。
4
x
x=
1 (4 − y 2 ) 4
例 ２ 求双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ 所围成的图形面积。 解 作图如右上。 S = 4 ⋅ 1 ∫ 4 a 2 cos 2θ dθ = a 2 。 2 0 例３ 求心脏线 r = a(1 + cosθ ) ( a > 0) 围成的面积。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分课后习题六答案
微积分课后习题六答案微积分课后习题六答案微积分是一门重要的数学学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供微积分课后习题六的答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握微积分知识。
1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解：根据定积分的定义，我们可以将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (1-0)/n = 1/n。
然后，我们在每个小区间中选择一个代表点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，并将其乘以小区间的长度Δx。
最后，将所有小区间的函数值乘以对应的长度Δx后相加，即可得到定积分的近似值。
当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋向于定积分的真实值。
即：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx= lim(n→∞) ∑[i=1,n] (xi)^2 * (1/n)= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (xi)^2由于区间[0,1]上的任意小区间长度都是相等的，所以我们可以将其简化为：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (i/n)^2= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] i^2/n^2= lim(n→∞) (1/n^3) * ∑[i=1,n] i^2根据数学公式∑[i=1,n] i^2 = n(n+1)(2n+1)/6，代入上式，得到：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n^3) * [n(n+1)(2n+1)/6]= lim(n→∞) (2n^3 + 3n^2 + n)/(6n^3)= 1/3所以，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。
2. 求函数f(x) = e^x在区间[0,2]上的定积分。
解：与上题类似，我们可以将区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
高等数学上册教材答案北大
高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。
在数学中，我们需要明确了解极限的定义。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。
对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。
连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。
导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。
微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。
第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。
函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。
常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。
2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。
通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。
2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-2讲义：第四章 §2 微积分基本定理 Word版含答
姓名，年级：时间：§2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝错误!x2。
问题1:f（x）和F(x)有何关系？提示:F′(x)＝f（x)．问题2:利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!。
问题3：求F(2）－F（1)的值．提示：F(2)－F（1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4：你得出什么结论?提示：错误!f(x)d x＝F（2）－F（1)，且F′（x)＝f(x）．问题5：由错误!f(x）d x与F(2)－F（1)之间的关系,你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a），其中F′（x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F（x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时,常常用记号F(x）错误!来表示F（b)－F（a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作错误!f（x)d x＝F（x) 错误!＝F（b）－F（a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1］(1) 错误! (2x＋3）d x;(2) 错误!（cos x＋e x)d x；(3）错误!错误!d x。
[思路点拨］先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] （1）∵(x2＋3x）′＝2x＋3，∴错误! (2x＋3）d x＝（x2＋3x）错误!＝1＋3＝4。
（2）∵（sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误! (cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x）错误!＝1－e－π.(3）∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!d x＝错误!错误!＝7＋错误!＝错误!。
[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时,通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x）的导函数F′(x）＝f(x)为止（一般情况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果．1。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
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lim
∞ ln ( n + 1) 1 1 / = lim ln ( n + 1) = ∞ ，∵ ∑ 发散，∴ 级数发散 n →∞ n +1 n n→∞ n =1 n ∞
当 x = 0 时，级数为 ∑ ( −1)
n =1
n
ln ( n + 1) n +1
1 x − ln x ln ( n + 1) ln ( n + 2 ) ln x ⎞′ x 1 − ln x ⎛ = = ≤ 0, x = 2,3, 4, ≥ = un +1 ； （ y′ = ⎜ un = ⎟ 2 x x2 n +1 n+2 ⎝ x ⎠
∞
所以原级数发散. （6） ∑ (−1) n −1
n =1
1
n
.
解
由于 un =
∞ ∞ 1 1 ，而 ∑ 发散，即 ∑ u n 发散， n n n =1 n =1
1 1 1 ，且 lim > = 0， n →∞ n n +1 n ∞ ∞ 1 1 则由莱布尼茨判别法知， ∑ (−1) n −1 收敛，故 ∑ (−1) n −1 条件收敛. n n n =1 n =1
收敛
∞ ∞
（6）若级数 ∑ un 条件收敛，则级数 ∑ | un | 必定_____________；
n =1 n =1
解
发散
∞ ∞
（7）若级数 ∑ un 条件收敛，则级数 ∑ (| un | +un ) 必定_____________；
n =1 n =1
解
发散
∞ n →∞
n （8）若 lim un ≠ 0 ，则级数 ∑ （− 1 ） un (un > 0) 必定_____________； n =1
∞
∞
当 x = −2 时，级数为 ∑
n =1
( −1)
n2
n
，收敛，
故收敛区间为 ( −2, 2 ) ，收敛域为 [ −2, 2] . （2） ∑
解
2n + 1 n x ； n！ n =0
∞
收敛半径 R = lim
n →∞
an 2n + 1 ( n + 1)！ = lim ⋅ = ∞， n →∞ an +1 n ！ 2n + 3
又因为
5. 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：
xn （1） ∑ n 2 ； n=0 2 n
∞
a 1 2 解 收敛半径 R = lim n = lim n 2 ⋅ n →∞ a n →∞ 2 n n +1
n +1
( n + 1)
1
2
= 2，
当 x = 2 时，级数为 ∑
1 ，收敛； 2 n =1 n
n =1 n =1
)；
（A）一定收敛 （C）当 a > 0 收敛，当 a < 0 发散
解
（B）一定发散 （D）当 a < 1 收敛，当 a > 1 发散
1 ( n =1 un
∞
B
∞
（4）若级数 ∑ un 收敛 (un ≠ 0, n = 1, 2,...) ，则级数 ∑
n =1
)；
（A）收敛 （C）收敛且 ∑
. un +1 ( x) ( x − 5) n +1 n = lim ⋅ = x − 5 <1⇒ 4 < x < 6 n n →∞ un ( x ) n + 1 ( x − 5)
，收敛，
解
法 1 由比值法 lim
∞
n →∞
x = 4 时，级数为 ∑
n =1
∞
(−1) n n
x = 6 时，级数为 ∑
⎛ 1 1⎤ （B） ⎜ − , ⎥ ⎝ 2 2⎦
解 A 3. 判定下列正项级数的敛散性：
（1） ∑
n ； n =1 n + 1
2
2
∞
解
n ∞ 1 lim n + 1 = 1 ，其中 ∑ 发散，∴ 级数发散. n →∞ 1 n =1 n n
∞
（2） ∑ ln
n =1
n ； n +1
n = ln n − ln ( n + 1) ， n +1
n =1
∞
n 3
n −1
；
解
∞
由于 un =
n un +1 n + 1 3n −1 1 ，而 lim = lim ⋅ = <1 n →∞ u n →∞ 3n 3n −1 3 n n
故 ∑ u n 收敛，即原级数绝对收敛.
n =1
4
（5） ∑ (−1)
n =1
∞
n +1
2n ； n!
2
2
2
解
2n u n! 2( n +1) 2 2 n +1 由于 un = ，由比值法 lim n +1 = lim ⋅ n2 = lim = ∞ >1 n →∞ u n →∞ ( n + 1) ! n →∞ n + 1 n! 2 n
解
1 1 1 又因为 ln(1 + ) > ln(1 + ) ，且 lim ln(1 + ) = 0 ， n →∞ n n +1 n ∞ ∞ 1 1 则由莱布尼茨判别法知， ∑ (−1) n ln(1 + ) 收敛，故 ∑ (−1) n ln(1 + ) 条件收敛. n n n =1 n =1
（4） ∑ (−1) n −1
n =1
∞
)条件；
（A）充分，但非必要 （C）充分且必要 解 C
∞ n =1
（B）必要，但非充分 （D）既不充分，又非必要
)条件；
（2）级数 ∑ u n 的一般项 un 趋于零，是该级数收敛的( （A）充分，但非必要 （C）充分且必要 解 B
∞
（B）必要，但非充分 （D）既不充分，又非必要
∞
（3）若级数 ∑ u n 发散，常数 a ≠ 0 ，则级数 ∑ au n (
1 n+2
（6）下列级数中，收敛级数是( （A） ∑
解
n n =1 2n + 1
∞
（B） ∑
n =1
∞
（C） ∑
1 n =1 2n + 1
∞
（D） ∑
n =1
∞
1 n (n + 1)
D
)；
n −1
（7）下列级数中，条件收敛级数是( （A） ∑ (−1)
n =1 ∞ n −1
∞ ∞ ( −1) 1 ⎛3⎞ （B） （ C ） (−1) n −1 ⎜ ⎟ ∑ ∑ ln(n + 1) ⎝2⎠ n =1 ( n + 1)( n + 4) n =1
n =1
解
q <1, q ≥1
1 a ≠ 0 ) 在_____________收敛，在_____________发散； p ( n =1 n
∞
（4）p-级数 ∑ 解
p > 1 , p ≤1
∞ ∞
（5）若级数 ∑ un 绝对收敛，则级数 ∑ un 必定______________；
n =1 n =1
解
1 = n =1 un
∞
（B）发散
1
∑u
n =1
∞
（D）可能收敛也可能发散
n
解
B
∞
（5）若级数 ∑ un 收敛，则下列级数收敛的是(
n =1
)；
∞
（A） ∑ (un + 10)
n =1
∞
（B） ∑ un +10
n =1
∞
（C） ∑ (un − 10)
n =1
（D） ∑ | un |
n =1
∞
解
B
)；
π
n
n
4. 判定下列级数是否收敛？若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？
（1） ∑
解
sin n ； 2 n =1 ( n + 1)
∞ ∞ 1 sin n 1 ，而 收敛，故 u n 收敛，即原级数绝对收敛. ≤ ∑ ∑ 2 ( n + 1) 2 ( n + 1) 2 n =1 ( n + 1) n =1
∞
un =
（2） ∑
n =1
∞
sin
nπ 2 ； 3 n
nπ ∞ ∞ 1 2 ≤ 1 ，而 收敛，故 u n 收敛，即原级数绝对收敛. ∑ ∑ n =1 n =1 n3 n3 n3
解
un =
sin
∞ 1 （3） ∑ (−1) n ln(1 + ) ； n n =1
∞ ∞ 1 1 1 由于 un = ln(1 + ) ∼ ( n → ∞ ) ，而 ∑ 发散，故 ∑ u n 发散， n n n =1 n n =1
n =1
1 ，发散. n
故收敛域为 [4,6 ) .
法 2 令 x − 5 = t ，级数变为 ∑
n =1 ∞
tn n
， R = lim
an 1 n = lim =1 n →∞ a n →∞ 1 n +1 n +1
6
t = 1 时，级数为 ∑
n =1
∞
1 ，发散； n
(−1) n
t = −1 时，级数为 ∑
n=1 ∞
1 收敛， n 1 收敛， n
当 x = − 2 时，级数为 ∑ (−1) n
n=1
⎤ 所以收敛半径 R = 2 ，收敛区间为 − 2, 2 ，收敛域为 ⎡ ⎣ − 2, 2 ⎦ .