03-2-非稳态导热
正常情况阶段
㏑θ=－mτ+K(Bi,x/δ)
•m = β12a /δ 2，称冷却率 冷却率或 加热率. 加热率. • m 值对平壁的任何地点都 相同. 相同.
2010年12月26日 年 月 日 8
§２ 对流边界条件下非稳态导热 四、非稳态导热求解方法
任务： 确定温度分布、加热或冷却时间、 任务： 确定温度分布、加热或冷却时间、 热量 1.先校核 是否满足集总参数法条件，若 先校核Bi是否满足集总参数法条件， 先校核 是否满足集总参数法条件 满足，则优先考虑集总参数法 集总参数法； 满足，则优先考虑集总参数法； 2.如不能用集总参数法，则尝试用诺谟 如不能用集总参数法， 如不能用集总参数法 则尝试用诺谟 Heisler）图或近似公式； （Heisler）图或近似公式； 3.若上述方法都不行则采用数值解。 若上述方法都不行则采用数值解 若上述方法都不行则采用数值解。
aτ Fo = 2 L
θ ( x, τ ) 2 sin β1 x 2 cos β1 exp − β1 Fo = θ0 β1 + sin β1 cos β1 δ
(
)
2010年12月26日 年 月 日
7
当Fo≧0.2时，物体在给定的边界条件下，物体中任何给 Fo≧0.2时 ２ 对流边界条件下非稳态导热 § 物体在给定的边界条件下， 定地点过余温度的对数值将随时间按线性规律变化。 定地点过余温度的对数值将随时间按线性规律变化。
对于某些多维形状规则物体的瞬态非稳态 导热温度分布，也可以利用诺模图求解。 导热温度分布，也可以利用诺模图求解。
2010年12月26日 年 月 日
15
例题
有一直径为0.3m、长度为0.6m的 、长度为 有一直径为 的 钢圆柱，初始温度为20℃ 钢圆柱，初始温度为 ℃，放入 炉温为1020℃的炉内加热，已知 炉温为 ℃的炉内加热， 钢的导热系数λ＝ 钢的导热系数 ＝30W/(mK)， 热 ， 扩散率a＝ 扩散率 ＝6.25×10-6m2/s，钢柱表 × ， 面与炉内介质之间的总换热系数 面与炉内介质之间的总换热系数 h=200w/(m2K)，试求加热 时后， 时后， ，试求加热1h时后 如图所示钢柱表面和中心点1、 、 如图所示钢柱表面和中心点 、2、 3和4的温度以及加热过程中吸收 和 的温度以及加热过程中吸收 的热量。 的热量。
2010年12月26日 年 月 日 1
本次课重点内容
第3章 稳态导热 导热-2 导热
掌握瞬态非稳态导热(第三类边界条件 第三类边界条件) ①掌握瞬态非稳态导热 第三类边界条件 的诺谟(Heisler)图分析计算方法； 图分析计算方法； 的诺谟 图分析计算方法 ②掌握傅立叶准则数的物理意义； 掌握傅立叶准则数的物理意义； ③了解常热流通量及周期性边界条件下 非稳态导热的换热特征。 非稳态导热的换热特征。
§3 常热流通量边界条件下非稳态导热
四、不同边界条件特征
2010年12月26日 年 月 日
21
作业 教材Ｐ 教材Ｐ82-83
复习题13、 、 复习题 、15、19 补充题： 补充题 ： 简述不同条件时对流换热边界 条件下瞬态非稳态导热的分析计算方法。 条件下瞬态非稳态导热的分析计算方法 。 注意： 题中 题中115 应为11. 注意：19题中115 ℃应为11.5 ℃
4
2010年12月26日 年 月 日
§２ 对流边界条件下非稳态导热 三、无限大平壁的加热与冷却
P57-60
3.温度分析解（利用分离变量法求解） 温度分析解 利用分离变量法求解） 2 sin β n θ ( x, τ ) ∞ x 2 aτ =∑ cos β n exp − β n 2 θ0 δ δ n =1 β n + sin β n cos β n
6
§２ 对流边界条件下非稳态导热 三、无限大平壁的加热与冷却
5.分析解的讨论 分析解的讨论
(1)傅立叶准则数Fo (1)傅立叶准则数 傅立叶准则数Fo 非稳态导热过程的无因次时间。 非稳态导热过程的无因次时间。 Fo≧0.2(或0.55时 当Fo≧0.2(或0.55时)，只取级数中的第一 项对于工程计算已足够准确： 项对于工程计算已足够准确：
2010年12月26日 年 月 日 18
§3 常热流通量边界条件下非稳态导热
二、数学模型及解 ∂θ ∂ 2θ (θ = t − t0 ) =a 2 ∂τ ∂x τ = 0,θ = 0 ∂t x = 0,−λ x = 0 = q w = const ∂x x → ∞, θ = 0 2qw x aτ × ierfc θ ( x,τ ) = λ 分析解: 分析解: 2 ατ
2010年12月26日 年 月 日 9
诺谟图法（一般为Bi＞0.1的情况 的情况） 诺谟图法（一般为Bi＞0.1的情况）
P61图3-5
P62图3-6
P62图3-7
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§２ 对流边界条件下非稳态导热
P62图3-6 P61图3-5
P62图3-7
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§２ 对流边界条件下非稳态导热
θm/θ0＝f(Bi，Fo) ，
2010年12月26日 年 月 日
12
§２ 对流边界条件下非稳态导热
θ/θ m ＝f2(Bi，Fo) ，
2010年12月26日 年 月 日 13
§２ 对流边界条件下非稳态导热
2010年12月26日 年 月 日
14
§２ 对流边界条件下非稳态导热 五、其他形状物体的加热或冷却
2010年12月26日 年 月 日
22
×
θ (x,τ ) = f Fo, Bi, x δ
过余温度
(
)
aτ Fo = 2 L
βn=f（Bi） 毕渥准则数 hL Bi = λ
5
傅立叶准则数
θ = t −tf
2010年12月26日 年 月 日
§２ 对流边界条件下非稳态导热 三、无限大平壁的加热与冷却
4.热流量 热流量
而经过τ小时后每平方米平壁在冷却（加热） 而经过τ小时后每平方米平壁在冷却（加热） 所放出（吸收）的热量为： 所放出（吸收）的热量为：
Φτ = ρc ∫ [θ 0 − θ (x, τ )]dx
−δ
δ
Hale Waihona Puke Φτ = f (Fo, Bi ) Φ0
2 ∞ 2 sin β n 2 = Φ 0 1 − ∑ 2 exp − β n Fo n =1 β n + β n sin β n cos β n
(
)
2010年12月26日 年 月 日
第3章 非稳态导热
(Transient temperature)
非稳态导热依据温度场随时间的变化规律分 为： 周期性、非周期性(瞬态非稳态导热) 周期性、非周期性(瞬态非稳态导热) 任何非稳态过程必伴随加热或冷却的过程。 任何非稳态过程必伴随加热或冷却的过程。 在垂直热量传递方向上， 在垂直热量传递方向上，每一截面上导热量 不相同。 不相同。
每课一题
如何确定加热炉从点火到正常运行所需时间? 如何确定加热炉从点火到正常运行所需时间? 加热炉炉底是用耐火材料砌成； 加热炉炉底是用耐火材料砌成；炉 子从室温开始点火,炉内很快形成稳 子从室温开始点火 炉内很快形成稳 态的1000℃以上的高温气体，气体 态的 ℃以上的高温气体， 与炉底表面间进行对流换热， 与炉底表面间进行对流换热，达到 正常运行要求炉底壁表面温度为 1000℃，需要确定从点火到正常运 ℃ 行要求所需时间。 行要求所需时间。
2010年12月26日 年 月 日 19
§3 常热流通量边界条件下非稳态导热
三、分析
热流渗透厚度
δ (τ ) = 12aτ
壁面温度与热流密度
aτ
θ w (τ ) =
2qw
λ
π
工程应用：地下建筑 工程应用： 物预热中， 物预热中，预热时间 与加热规律间的关系
20
2010年12月26日 年 月 日
简化：一维、第二、三类边界条件、无内热源 简化：一维、第二、三类边界条件、
2010年12月26日 年 月 日 3
§２ 对流边界条件下非稳态导热 三、无限大平壁的加热与冷却
2.数学描述 数学描述
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x τ = 0, t = t0
∂t x = 0, | x =0 = 0 ∂x ∂t x = δ ,−λ | x =δ = h(t | x =δ −t f ) ∂x
2010年12月26日 年 月 日 16
例题
Bi = h(V A)
λ
f 0 .1
无限长圆柱： 无限长圆柱：
Bi = hR λ = 1 Fo = aτ R = 1
2
θ m = 0.25 θ 0 c θ w = 0.64 θ m c
P71图13、14 图 、
无限大平壁： 无限大平壁：
2010年12月26日 年 月 日 2
§２ 对流边界条件下非稳态导热 三、无限大平壁的加热与冷却
1.问题描述 问题描述
一厚度为２ 的无限大平壁 的无限大平壁， 一厚度为２δ的无限大平壁， 物性为常数， 物性为常数，初始时平壁温 度恒为t 突然放入温度为t 度恒为 0，突然放入温度为 f 的介质中， 的介质中，平壁两侧表面与 周围介质的对流换热系数为h。 周围介质的对流换热系数为 。
Bi = hδ λ = 2 Fo = aτ δ = 0.25
2
θ m = 0.88 θ 0 p θ w = 0.47 θ m p
17
P61-62图5、6 图 、
2010年12月26日 年 月 日
§3 常热流通量边界条件下非稳态导热
一、半无限大物体的概念
合集下载
第三章 非稳态导热传热学
基本思想： 基本思想：当所研究的问题非常复杂， 当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来， 起来，使之能表征一类物理现象， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。 并且没有量纲。因此， 因此，这样的无量纲数又被称为特征数， 这样的无量纲数又被称为特征数，或 者准则数。 者准则数。
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
非稳态传热
正规状况阶段 (正常情况阶段)
物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制
物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等(即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
2
h(V
A)
(V
a
A)
2
令
V A
lc
则有：
h(V A) hL Bi
a
a
Fo
(V A)2 L2
L―定型尺寸
Bi―毕渥数
Fo ―傅立叶数
4）将毕渥数和傅立叶数代回温度计算式，则：
hA
e cV eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
hA
W m2K
m2
W1
5）方程中指数的量纲：
cV
kg m3
(
2 n
F0
)
0 [1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
-δ
t t(x,τ)
0
δx
x x+dx
0[1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
由上式可知:
0
f (Bi, Fo)
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
第九章 导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 . t f (x, y, z, )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：
物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制
物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等(即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
2
h(V
A)
(V
a
A)
2
令
V A
lc
则有：
h(V A) hL Bi
a
a
Fo
(V A)2 L2
L―定型尺寸
Bi―毕渥数
Fo ―傅立叶数
4）将毕渥数和傅立叶数代回温度计算式，则：
hA
e cV eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
hA
W m2K
m2
W1
5）方程中指数的量纲：
cV
kg m3
(
2 n
F0
)
0 [1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
-δ
t t(x,τ)
0
δx
x x+dx
0[1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
由上式可知:
0
f (Bi, Fo)
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
第九章 导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 . t f (x, y, z, )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：
非稳态传热
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
非稳态导热分析解法课件
复杂边界条件和几何形状
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER
传热学第三章
θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学非稳态导热
第三章非稳态导热Transient Conduction第五讲13.1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的导热过程。
稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的导热过程。
对于非稳态导热，物体内各点的热流密度随时间改变不？第五讲2二、应用背景•加热炉、连铸、连轧，加热时间和工件质量•改变材料的力学特性热处理（淬火、正火、回火）；•机加工，零件的热应力、热变形；•微电子器件，瞬态、交变工作状态下的寿命、热应力；•热力设备的启动与停机；•表面处理、光盘的读写；•航天器的升空与降落过程；•子弹出膛时的升温过程；•。
第五讲3第五讲4工程上典型温度变化率的数量级第五讲6第五讲7第五讲8第五讲9无限大平板的初始温度为t 0。
τ= 0时刻，其左边温度突然上升为t 1并保持不变，右侧与温度为t 0的空气接触。
平板内温度变化过程？三、非稳态导热过程的特点第五讲10该阶段的温度变化规律是讨论的主要内容11二、非稳态导热问题作集总参数处理的条件•物体的尺寸比较小；•材料的热导率比较大；•表面传热系数比较小。
上述三条均为相对概念，并不能严格说明何时可以采用集总参数法。
那么应该用什么参数来作为判断准则呢？第五讲13第五讲16•Bi →∞导热热阻起决定作用，对流热阻极小，t w →t ∞, 第一类边界条件的瞬态问题•Bi →0 导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi 有限大小，内外热阻都起作用不同Bi数平板内温度变化（初温t 0、环境温度t ∞）第五讲24ρcV /hA 具有时间的量纲，称为时间常数τc.0/0.368θθ=用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线当τ=τc 时，第五讲26M ：与物体的几何形状有关的常数平板：M=1圆柱：M=1/2球：M=1/3四、集中参数法的适用范围当Bi V <0.1M时，物体内各点间的过余温度的偏差将小于5%。
五、多集总系统由两个或两个以上子系统构成的系统（如两个接触良好的固体或盛在容器中的液体)，集总参数法可以应用于其子系统。
第三章非稳态导热_传热学
tm m tf 9 8= 17c C
m 2 0.9064 exp 1.1347 2 0.22 0.9 0 1.1347 0.9064 0.4224
平壁表面处 x 的过余温度为：
w 2sin 1 cos 1 exp 12 Fo 0 1 sin 1 cos 1
(2)在垂直于热量传递的方向上，每个截面上热流量不相等； (3)温度随时间变化，热流也随时间变化。
3.讨论非稳态导热问题的目的：
(1)在加热和冷却时，物体内部某一点温度达到预定温度 时所需要的时间，以及该时间内物体吸收和放出的热量；
(2)对物体加热或冷却之后，物体内部温度分布以及物体 温度随时间的变化率
1 0
1 d a d
c1 exp a
c1 exp a
2
1 d2 X 2 2 X dx
X c2 cos x c3 sin x
x, X x
第三章 非稳态导热
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 非稳态导热的基本概念 无限大平壁的瞬态导热 半无限大物体的瞬态导热 其他形状物体的瞬态导热 周期性非稳态导热(自学)
• • • •
1.加热冷却过程 2.动力机械中的开关车
应用背景
3.地球的气候变化
4.医疗中激光技术(控制温度范围)
x, 2sin 1 x cos 1 exp 12 Fo 0 1 sin 1 cos 1
查表3－1，当Bi＝2.5时， 1 1.1347
180 sin 1 sin 1.1347 0.9064
x A sin 0 B cos 0 exp a 2 0
非稳态导热
非稳态导热的基本概念例1：设一平壁，初始温度为t0，突然将其投入到温度为t∞的流体中对其进行对称加热。
例2：设一平壁，初始温度为t0，在τ=0时使其左边温度恒为t1，右侧与温度t0的流体进行换热。
非稳态导热的特点：物体内各点温度随时间变化在热量传递过程中，由于温度的变化物体要积蓄（或放出）热量，即使是一维无限大平板对每个于热流垂直的面上热流也不相等。
工程上研究非稳态导热往往要解决以下几个问题：物体中某一部分的温度从初始值上升或下降到某一给定值所需要的时间；物体在非稳态导热过程中的温度分布；从某一时刻起经过一定时间后表面所传递的热量。
求解办法：在给定单值性条件求解导热微分方程。
当一物体表面突然被加热或被冷却时，物体中各点的温度变化及其分布取决于：物体表面与周围环境的热交换条件；换热越强烈，单位时间进入物体的热量（或物体放出）就越多。
物体内温度变化就越剧烈。
物体内部导热条件；导热热阻越小，则为传递一定热量所需的温度梯度就越小。
集总参数法的特点：是一种理想化模型；物体内热阻忽略不计；物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相同的温度；通过表面传递的热量立即设整个物体的温度同时发生变化；把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
有可能用集总参数法的条件（定性）：物体的导热系数要相当大；几何尺寸要相当小；表面换热要弱；表面积要大。
求解示例：问题的提出：有一任意形状的物体，体积为V，表面积为A，具有均匀的初始温度t0,在初始时刻将其置于温度为t∞的流体中，设t0＞t∞，表面与流体的对流换热系数为h,物体的参数为ρ、c,导热系数非常大。
求：1.物体内的温度随时间的变化；物体中任意时刻的热流；到某一时刻的总传热量；到某一温度所需的时间。
解：建立物力数学模型讨论：时间常数当时，物体内的过余温度达到初始时的36.8%毕渥数傅立叶数：能用集总参数法处理的条件（定量），要使各点的过余温度偏差小于5%，则要求：1.如Bi 定义为，（L为特征尺度）则要求：Bi≤0.1例题：用电热偶测量管道内气流的温度。