北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(一) 课件
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.1
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函 数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增 加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0) 个单位的成本.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练】 假设某国家在20年间通货膨胀率为5%,物价p(单
高中数学 第三章 导数应用 3.2导数在实际问题中的应用 3.2.2.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为次品率
3������
p=4������+32,
所以当每天生产 x 件时,有 x·4������3+������32件次品,
有x
1-
3������ 4������+32
件正品.
所以
T=200x· 1-
3������ 4������+32
-100x·4������3+������32=25·64���������+���-8������2(x∈N+).
用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
������ 3������ +
5
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
第2课时 导数在实际问题中的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值.
2.解决优化问题的基本思路.
反思解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立 利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格 p(单位:元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少万元?
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用课件北师大版选修220831262
时,W 取得最大值 38.
综合①②知,当x=9时,W取得最大值为38.6万元.
答:当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润
最大,最大值为38.6万元.
第十六页，共30页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)
辨析
变式训练3有甲,乙两个工厂,甲厂位于一笔直河岸的岸边A处,乙厂与
f(x)
↗
极大值
↘
因此,f(0)必为最大值,
∴f(0)=5,得b=5.
第十二页，共30页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)辨
析
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,
∴f(1)>f(-2),
∴f(x)min=f(-2)=-16a+5=-11.
∴a=1.∴f(x)=x3-2x2+5.
的端点取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然
后将所有极大值点与区间端点的函数值进行(jìnxíng)比较,其中最大的
值即为函数的最大值.函数的最小值点也有类似的意义和求法.函数的
最大值和最小值统称为最值.
第三页，共30页。
名师(mínɡ shī)点拨正确理解函数的极值与最值
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个
∵f(0)=4,f(3)=1,
∴f(x)在[0,3]上的最大值为f(0)=4.
答案:B
第五页，共30页。
)
60-
【做一做2】 某箱子(xiāng zi)的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2
高中数学 第三章 导数应用教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案§1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例4、求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.2导数在实际问题中的应用 教案(北师大版选修2-2)
§2 导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义2．2最大值、最小值问题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生从导数的定义出发，发现实际问题中导数的意义，探索导数在研究实际问题中的方法；引导学生发现闭区间上连续函数存在最值，探求导数求最值的方法和步骤；(2)简单运用导数求解实际问题，求函数的最值问题．2．过程与方法通过导数实际意义的探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和挖掘问题本质特征的能力；通过函数最值的研究和求解，掌握导数法研究函数的策略，培养学生独立解决问题的能力，体会数形结合和分类讨论的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对导数实际意义的探究学习，体会数学与生活的关系及数学的应用价值，培养探索精神和创新意识；(2)通过函数最值的探究和应用，体会导数在研究函数中的作用，学习用数学的思维方式解决问题，领会数学的价值．●重点难点重点：通过具体问题的研究，会求导数在实际问题中的意义；掌握导数法求最值的步骤．难点：导数在实际问题中的意义的判断，极值与最值的关系．教学时，从具体实际问题出发，引导学生从数学角度和实际意义出发，将函数值、自变量同实际问题结合，并从导数的定义出发阐述导数的实际意义，从而突破难点．从具体问题中研究函数的极值与最值，并通过运算求解发现极值与最值的关系，掌握导数法求最值的步骤，并通过练习强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的概念，用导数研究函数的单调性、极值之后，是对前面所学知识的应用，也是对导数本质特征的深化．所以本节内容可以在学生熟悉的方面入手，以问题为导引，揭示导数在具体问题中的实际意义，并研究函数的最值．本节课宜采取问题导引式课堂教学模式，即在教师精心准备的问题的指引下，通过学生独立思考及合作交流，使学生充分质疑、探究下，认识导数，运用导数.●教学流程创设情境，提出问题，闭区间上的连续函数必存在最值吗？最值在何处取得？⇒引导学生画图分析，探求最值点的存在，及研究方法.⇒师生交流，揭示规律.最值点可在极值点或端点处取得.⇒通过例1及变式训练，更深入理解导数与实际生活的密切联系.⇒通过例2及变式训练，掌握求函数最值的方法和步骤.⇒通过例3及变式训练，培养逆向思维能力，更熟练掌握最值求法.⇒探究导数在最优化问题中的应用，完成例4及变式训练.⇒归纳小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正. 课标解读1.了解实际问题中导数的意义及最大值，最小值的概念．(难点)2.理解函数的最值与导数的关系．(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题．(难点)导数的实际意义 问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J )是时间t (单位：s )的函数，设这个函数可以表示为W ＝w (t )＝t 3－4t 2＋10t . (1)t 从1 s 到4 s 时W 关于t 的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)W ′(1)的实际意义是什么？【提示】 (1)W (4)－W (1)4－1＝40－73＝11(J/s)． (2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W′(t )＝3t 2－8t ＋10.W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．函数的最值与导数 1.函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最小值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f (x 0)． 2．最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为最值.导数在日常生活中的意义 也不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义．。
高中数学北师大版选修2-2第3章2《第1课时实际问题中导数的意义》ppt课件
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时
电荷量关于时间t的平均变化率为
Q2－Q1 2－1
＝
3×22－ln2－3×12－ln1 1
≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时
间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间
＝4Δx＋ΔΔxx2－7Δx＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ lim
Δx→0
Δy Δx
＝lim (Δx－3)＝－3.
Δx→0
• 同理可得f′(6)＝5.
• 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分 别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以
内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－1t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是：在t＝
2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时
刻内电路的电流为11.5A．
•导数在生活中的应用
•
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋
Δt→0
s1＋Δ含义是t＝1时的瞬时速度．
• 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.
则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．
• [答案] 10
[解析]
由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－
1 2
gt2，
∴h′(t)＝100－gt.
(1)求c′(x)； (2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示 分别表示t=1s和t=2s时， 分别表示 和 时 这个人每秒做的功为7j和 这个人每秒做的功为 和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内 在物理学中，通常称力在单位时间内 做的功叫做功率，它的单位是瓦特 做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率 、 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位： ）是时间t（单位： 他所做的功 （单位：J）是时间 （单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 ）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到 时，功W关于时间 的 变到3s时 关于时间t的 从 变到 关于时间 平均变化率， 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时， 因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 远低于当前的单位成本． 角度看应继续提高产量． 角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为： 例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润 ） 表示总利润， 设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量， 销售量 ， 则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 边际利润的经济意义是： 再增加一个单位的销量， 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个 单位． 单位．
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案1北师大版选修2
导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题（五）、课后作业：第69页A组中1、3 B组题。
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1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求 最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点 0 使 f ( x) 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
1 1 2 解：收入R q p q 25 q 25q q 8 8 1 2 利润L R C 25q q (100 4q ) 8 1 ' 1 2 q 21q 100 (0 q 200) L 4 q 21 8
2、实际应用问题的表现形式，常常不是以 纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际， 确定最值或最值点。
V 此时，h 2 R V V 3 2
2
h
4V
V 2 2
即h 2 R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
1 价格p与产量q的函数关系式为 p 25 q.求产量q为何值 8
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 0 x 100的范围内有 ,在
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ x 60 x h 解:设箱底边长为x cm， 则箱高 箱子容积为V=x2
60
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
60 x x (0 x 60) h 2
2 3
2
当x (0,40)时，V ( x） 0; 当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 建立 数学 模型
用函数表示的数学问题
解决数学 模型
作答
优化问题的答 案 用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再通 过研究相应函数的性质，提出优化方案，使 问题得到解决．在这个过程中，导数往往是 一个有利的工具。 3、导数在实际生活中的应用主要是解决有 关函数最大值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关 的最值问题；（2）、与物理学有关的最值 问题；（3）、与利润及其成本有关的最值 问题；（4）、效率最值问题。
2 3 2 3 , x2 2 . S ( x ) 6 x 24 x 16. 令 S ( x ) 0 ,得 x1 2 3 3 2 3 32 3 x1 (0,2), 所以当 x 2 . 时, S ( x )max 3 9
2
2 3 32 3 ,0) . 因此当点B为 ( 2 时,矩形的最大面积是 3 9
1 令L 0，即 q 21 0 求得唯一的极值点 4
'
q 84
因为L只有一个极值点,所以它是最大值. 答:产量为84时,利润L最大.
练习1: 如图,在二次函数 y 2的图象与x轴所 f(x)=4x-x 围成的图形中有一个内接矩 形ABCD,求这 个矩形的最 大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
金太阳新课标资源网 Nhomakorabea北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在 实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最 值。2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由 实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度 与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一 般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身 又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与 端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积 为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高 与底面半径比为多少？ V 解:设桶底面半径为R, 则桶高为h R2 V 2 桶的用料为 S ( R ) 2 R 2 R R2 2V 2V ' 2 S ( R) 4 R 2 , 2 R , R R 2V ' 令S ( R) 4 R 2 0, 解得R V R R 2
C 3、如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处? 解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米 的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的 总运费为 y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x ) ( 0 x 100).
作业布置：练习册P74页中4、5、8
五、教后反思：