最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》综合应用
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
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(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
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定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》整合提升
整合提升知识网络知识回顾这一章的内容主要包括曲线与方程,椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,以及它们在实际中的一些应用.1.曲线和方程的关系,反映了现实世界空间形式和数量关系之间的某种联系.我们把曲线看作适合某种条件p的点M的集合P={M|P(M)}.在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.求曲线方程一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.2.椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这种曲线的几何性质.3.椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线,它们的统一性如下:(1)从方程的形式看:在直角坐标系中,这几种曲线的方程都是二元二次的,所以它们属于二次曲线.(2)从点的轨迹的观点看:它们都是与定点和定直线的距离比是常数e 的点的轨迹,这个定点是它们的焦点(定直线叫做它们的准线).只是由于离心率e 取值的范围不同,而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线.(3)这三种曲线都是可以由平面截圆锥面而得到的截线(如右图).在宇宙间运动的天体,如行星、彗星、人造卫星等,由于运动速度的不同,它们的轨道有的是椭圆,有的是双曲线,有的是抛物线.4.直线与圆锥曲线有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解,直线与圆锥曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与曲线就没有公共点.5.本章研究几何图形时,大量采用了坐标法,利用曲线的方程讨论曲线的性质,解决几何问题.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,找到解决问题的有效办法,所以在解本章题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来. 典例精讲【例1】 已知直线l 的方程为：（2+m ）x+（1-2m ）y+（4-3m ）=0. （1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线l 1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l 1的方程.解析：（1）直线l 可变为：m （x-2y-3）+2x+y+4=0 由⎩⎨⎧==+=--,042,032y x y x 得m （-1，2）（2）设l 1：y-2=k （x+1）（k ＜0），S △=21|2+k||k 2+1| =21|3+k 4+k|≥21， k=-2，则l 1：y-2=-2（x+1）， 即2x+y=0. 温馨提示在轨迹方程的求解过程中要充分利用几何法和代数法. 【例2】 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e=32，过点C （-1，0）的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足=λ（λ≥2）.（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率k （k≠0）表示三角形OAB 的面积. （2）若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程.（3）若λ变化，且λ=k 2+1，试问：实数λ和直线l 的斜率k （k ∈R ）分别为何值时，椭圆E 的短半轴取得最大值？并求此时的椭圆方程.思路分析：该题以直线与椭圆为背景，向量为“纽带”把方程、不等式，函数联系起来，利用直线、椭圆方程，交点坐标与方程的关系，向量CA 、BC 坐标间的关系；不等式的性质，函数的单调性等知识来解决问题.解：设椭圆方程为：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）.由e=a c =32及a 2=b 2+c 2得a 2=3b 2. 故椭圆方程为：x 2+3y 2=3b 2.①（1）因为直线l ：y=k （x+1）交椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，并且CA=λBC(λ≥2), ∴(x 1+1,y 1)=λ(-1-x 2,-y 2); 即⎩⎨⎧=+=+,),1(12121y y x x λλ②把y=k （x+1）代入椭圆得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2-3b 2=0且 k 2（3b 2-1）+b 2＞0.∴x 1+x 2=13622+-k k ，③x 1·x 2=133322+-k b k .④ 因此：S △OAB =21|y 1-y 2|=21|λ+1|·|y 2|=2|1|+λ|k|·|x 2+1|,取立②③得x 2+1=)13)(1(22+-k λ, ∴S △OAB =11-+λλ·13||2+k k （k≠0）. （2）S=11-+λλ·||1||31k k +≤11-+λλ·321（λ≥2）.当且仅当3|k|=||1k 时，即k=±33时， S 取得最大值，此时x 1+x 2=-1.又x 1+1=-λ（x 2+1）, ∴x 1=11-x ，x 2=1--λλ， 将x 1，x 2代入④，得3b 2=22)1(1-+λλ, 故椭圆方程为x 2+3y 2=22)1(1-+λλ（λ≥2）.（3）由②③联立得x 1=)13)(1(22+--k λλ-1, x 2=)13)(1(22+-k λ-1，把x 1，x 2代入④得 3b 2=)23()1(42--λλλ+1=34［2)1(1-λ+)23()1(22--λλ］+1.易知：当λ≥2时，3b 2是λ的减函数，故当λ=2时，（3b 2）max =3，所以，当λ=2，k=±1时，椭圆短半轴取得最大值，此时椭圆方程为x 2+3y 2=3. 温馨提示在解决有关学科内的综合问题时要注意前后知识的联系，数与形的关系，问题解决过程中要灵活，提高综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力.【例3】 已知双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=332，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23. （1）求双曲线的方程；（2）直线y=kx+m （k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.解析：（1）由题设，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=,23,4312222ba ab a b e解得a 2=3，b 2=1,∴双曲线的方程为32x -y 2=1.（2）把直线方程y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得（1-3k 2）x 2-6kmx-3m 2-3=0. 因为直线与双曲线交于不同两点， ∴Δ=12m 2+12-36k 2＞0.① 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2） 则x 1+x 2=2316kkm-， y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=2312km-, 设CD 中点为P （x 0，y 0）， 其中x 0=221x x +，y 0=221y y +，则x 0=2313kkm -，y 0=231k m-. 依题意，AP ⊥CD ，∴k AP =k k km k m131313122-=-+-.整理得3k 2=4m+1,将②式代入①式得m 2-4m ＞0, ∴m ＞4或m ＜0.又3k 2=4m+1＞0，即m ＞41-, ∴m 的取值范围为m ＞4或41-＜m ＜0.温馨提示圆锥曲线与直线的关系的问题由于是几何问题，往往利用图形的一些平面几何性质，如本题，CD 是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可以较方便地用斜率互为负倒数而表示出来.解析几何不等的关系通常由判别式大于、等于零而得到. 【例4】 已知点F （0，415），上半平面内的点P 到点F 和x 轴的距离之和为417. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设动点P 的轨迹是C ，曲线C 交y 轴于点M ，在曲线C 上是否存在两点A 、B ，使∠AMB=2π？ （3）如右图，若A 、B 是曲线上满足∠AMB=2π的两点，证明：直线AB 与y 轴交于一定点.思路分析：（1）按题目已知条件直接写动点轨迹方程；（2）属开放性问题，只要能找到满足题意的点A 、B 即可；（3）依已知写直线AB 方程，再由直线方程的特点说明直线过定点. 解析：（1）设P 点坐标为（x ，y ），其中y ＞0，依题意22)415(-+y x +|y|=417，化简得动点P 轨迹方程为x 2=（y-4）（0＜y≤4）.（2）点（-1，3）与点（1，3）是曲线C 上的点，点（-1，3）与点M （0，4）连线斜率为1，取（-1，3）点为A 点，（1，3）点为B 点，由两直线垂直的条件可知，则∠AMB=2π. （3）解法一：设直线AM 的方程为y=kx+4，直线BM 的方程为y=-k1x+4，由方程组⎩⎨⎧--=+=),4(,42y x kx y 得A 点坐标（-k ，4-k 2）. 同理可得B 点坐标（k 1，4-21k），则直线AB 的斜率为k-1[]k ，从而得直线AB 的方程. y-（4-k 2）=（k-k1）（x+k ） 令x=0，得y=3，故直线AB 与y 轴交于定点（0，3）. 解法二：设A 、B 两点坐标为（x 1，4-x 12）、（x 2，4-x 22），直线AM 斜率为11244x x --=-x 1，直线BM 斜率为22244x x --=-x 2.∵∠AMB=2π， ∴（-x 1）（-x 2）=-1， 得x 1·x 2=-1.直线AB 的斜率为212212)4()4(x x x x ----=-（x 1+x 2），则直线AB 的方程为 y-（4-x 12）=-（x 1+x 2）（x-x 1）， 该方程中若令x=0， 则y=4-x 12-（x 1+x 2）（-x 1） =4+x 1·x 2=3,∴直线AB 与y 轴交于定点（0，3）. 温馨提示该题主要问题在（2）中，只要找出一对这样的点A 、B ，使得∠AMB=2π，问题便解决.解答中找出与M 点连线斜率分别为1，-1.这样的抛物线上特殊的关于y 轴对称的两点. 【例5】 已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P （1，2）.（1）求过P （1，2）点的直线l 的斜率k 的取值范围，使l 与C 分别有一个交点、两个交点、没有交点.（2）是否存在过P 点的弦AB ，使A 、B 中点为P ？ （3）若Q （1，1），试判断以Q 点为中点的弦是否存在. 思路分析：（1）如下图设直线l 方程为y-2=k （x-1），代入C 的方程，并整理得（2-k 2）x 2+2（k 2-2k ）x-k 2+4k-6=0（*） 令Δ=0，解之得k=23. 由于两渐近线斜率分别为2、-2. ∴当k=±2或k=23或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23或k ＜-2或-2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞3[]2时，l 与C 没有交点.（2）假设以P 为中点的弦AB 存在，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则x 1、x 2是方程（*）的两根，由韦达定理有)2()2(222--k k k =1，解得k=1， ∴这样的弦存在，方程为：y=x+1. （3）假设弦AB 以Q 为中点， 且A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），所以2x 12-y 12=2，2x 22-y 22=2，两式相对减得： 2（x 1-x 2）（x 1+x 2）=（y 1-y 2）（y 1+y 2）， ∴2（x 1-x 2）=y 1-y 2.∴AB 斜率为2.但渐近线斜率为±2，结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在. 温馨提示题（1）处理过程中，考虑了渐近线斜率.进一步地2＜k ＜23时，两交点在左支；k ＜-2，两交点在右支；-2＜k ＜2时，两交点分布在左、右支.对题（2），k=1∈（-2，2），所以l 存在.如果题（3）也采用韦达定理，k 也为1，但使过Q 的直线与C 有两个交点的k 必须重新计算.因此题（3）改用“点差法”.实际上，与弦中点有关的问题，基本上可采用这种策略.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章综述
第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。
数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程12圆锥曲线的综合应用 (共43张PPT)
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第12课时
圆锥曲线的综合应用
• 预学4:求最值或范围常见的解法 • (1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何 特征及意义，可考虑利用图形性质来解决;(2) 代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的 函数关系，则可先建立目标函数，再求最值;(3) 求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、 基本不等式法及函数的单调性、有界性法等.
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• 预学2:圆锥曲线的定点、定值问题 • 定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景， 常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了 过定点、定值等问题的证明.解决问题的关键 是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒 成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可 以先研究一下特殊情况，找出定点或定值， 再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙 利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如 将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的 弦来研究等.
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最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章概览
第二章 圆锥曲线与方程本章概览 内容提要本章主要学习三种圆锥曲线及方程，它们分别是椭圆、双曲线和抛物线，需掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质具体内容如下： 一、椭圆 1.椭圆定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的方程（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）.（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：2222bx a y +=1（a ＞b ＞0）.（3）一般表示：Ax 2+By 2=1（A ＞0，B ＞0且A≠B ）.椭圆的简单几何性质（a 222）1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程若焦点F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），则双曲线的标准方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0，c 2=a 2+b 2）若焦点F 1（0，-c ）、F 2（0，c ），则双曲线方程为2222bx a y -=1（a ＞0，b ＞0），c 2=a 2+b 2）222）1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上.四、圆锥曲线的统一性1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线.2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，此值的取值范围不同形成了不同的曲线.3.它们的方程都是关于x，y的二次方程.学法指导圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,所以学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.高中阶段对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.同时,在本模块中,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.圆锥曲线本身有一些很深奥的性质(如光学性质、行星运行轨道的性质等),其中有一些是圆锥曲线最基本的性质.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章曲线与方程整合2
易知 2a=4,c=1,则 b2=a2-c2=3. 故点
������2 ������2 P 的轨迹方程为 4 + 3 =1.
答案:C
0
-4-
1.1 DNA重组技术的基本工具
一 二 三
首 页
随堂练习 S专题归纳 知识网络 J 基础知识 Z 重点难点
������2 ������2 ������2 ������2 ������ ������2 ������
2 2
= 1(a > ������ > 0) = 1(a > ������ > 0)
+
顶点:( ± ������,0),(0, ± ������)或(0, ± ������),( ± ������,0) 对称轴:������轴,������轴;长轴长 2������,短轴长 2������ 焦点:(-������,0),(������,0)或(0,-������),(0,������) 焦距:|������1 ������2 | = 2c,c =
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
四
五
专题一
圆锥曲线的定义及应用
对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归 定义”是一种重要的解题策略,如: 1.在求轨迹时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线 的方程,写出所求的轨迹方程. 2.涉及椭圆、 双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义 结合解三角形的知识来解决. 3.在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为 到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.总之,圆锥曲线的定义、 性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用.
高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线学案 新人教版选修2-1
第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。
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数学人教B选修2-1第二章圆锥曲线与方程知识建构综合应用专题一轨迹问题求轨迹方程是解析几何中的重点内容，也是难点之一．在高考试题中，往往处在综合题目的第一步，是解答其他步骤的基础，对整个题目的正确解决往往起到举足轻重的作用．由于求轨迹方程时所给的条件多种多样，所以求轨迹方程的方法是灵活的，常用的方法如下：1．直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、定比分点坐标公式、面积公式等)变换成表示动点坐标x，y间的关系式(等式)的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．2．定义法若动点的轨迹的条件符合某种已知曲线的定义，如椭圆、双曲线、抛物线的定义等，则可设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法叫定义法．利用定义法求轨迹方程时要善于分析元素的几何特征，并与常见曲线的定义相联系．3．代入法(转移法)如果轨迹上的点P(x，y)依赖于另一动点Q(x′，y′)，而点Q(x′，y′)又在某已知曲线上，则可列出关于x，y，x′，y′的方程组，利用x，y表示出x′，y′，把x′，y′代入已知曲线的方程便得到动点P的轨迹方程，此法称为代入法，也叫转移法或相关点法．4．代换法求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求”的技巧，通过中点坐标及斜率的代换，达到求出轨迹方程的目的，这种求轨迹方程的方法叫代换法，也有人称之为“点差法”或“设而不求法”．应用1已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．提示：根据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可．应用2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．提示：先利用两圆内切和外切求得圆心距，再利用椭圆几何定义求解．应用3 过双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．提示：先找到P 点和Q 点坐标之间的关系，再利用Q 点坐标满足双曲线方程，间接求得P 点的轨迹．专题二 圆锥曲线的应用问题椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线，灵活地运用圆锥曲线的定义和性质，可提高解题效率．应用 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 专题三 与圆锥曲线有关的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题，大都是些综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下．(1)平面几何法．平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法．(4)圆锥曲线定义的应用．①运用圆锥曲线的定义解题常使用于：a ．求轨迹问题；b ．求曲线上某些特殊的点的坐标；c ．求过焦点的弦长、焦半径．②要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验，以提高灵活运用定义解题的能力．应用1 已知F 1，F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．提示：△ABF 2的面积是由直线AB 的斜率k 确定的，因此可构建以k 为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值．应用2 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－22)C ．(2，－2)D ．⎝⎛⎭⎫12，－2应用3 设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ＝6DF，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．提示：将四边形AEBF 的面积视为△BEF 与△AEF 面积的和，求得目标函数，应用基本不等式可求最值．真题放送 1．(2011·陕西高考，理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．(2011·湖南高考，理5)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2011·山东高考，理8)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 23－y 26＝1D ．x 26－y 23＝14．(2011·课标全国高考，理7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．35．(2011·上海高考，理3)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝______.6．(2011·辽宁高考，理13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．答案： 综合应用 专题一应用1：解：|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，故点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．应用2：解：设动圆圆心为P (x ，y )，半径为r ，连PC 1，PC 2(如图)．则|PC 1|＝13－r ，|PC 2|＝3＋r ，所以|PC 1|＋|PC 2|＝16.由椭圆的定义知：点P 的轨迹是以点C 1，C 2为焦点的椭圆，其中2c ＝8,2a ＝16， 所以b 2＝a 2－c 2＝48，所以动圆圆心的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.应用3：解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．因为点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又因为PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，所以y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0.②联立①②解得⎩⎨⎧x 1＝32x ＋12y －1， ③y 1＝12x ＋32y －1， ④又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，所以x 21－y 21＝1，⑤ 将③④代入⑤，得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. 专题二应用：A 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示，则△APF 1是等腰三角形， ∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点，∴|OQ |＝12|AF 2|＝a .∴点Q 的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．专题三应用1：解：由题意，|F 1F 2|＝2. 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆的方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2， ∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2.2ABF S ∆＝12|F 1F 2|·|x A －x B | ＝12×2×22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，△ABF 2的面积最大，为 2. 应用2：D 如图，过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |.当点M 在抛物线上移动时，|ME |＋|MA |的值在变化，显然当M 移到M ′时，A ，M ′，E 三点共线，|M ′E |＋|M ′A |最小，此时AM ′∥Ox .把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，所以M ′⎝⎛⎭⎫12，－2，故选D.应用3：解：(1)依题设得，椭圆的方程为x24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED ＝6DF知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在直线AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2).又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2≤22，当2k ＝1，即k ＝12时，上式取等号．所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2.解法二：由题设，|BO |＝1，|AO |＝2.设y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，由①得x 2＞0，y 2＝－y 1＞0， 故四边形AEBF 的面积为 S ＝S △BEF ＋S △AEF ＝x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)2＝x 22＋4y 22＋4x 2y 2≤2(x 22＋4y 22)＝22，当x 2＝2y 2时，上式取等号，所以S 的最大值为2 2. 真题放送1．B ∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为x ＝－p 2，∴－p2＝－2，解得p ＝4.∴抛物线的标准方程为y 2＝8x . 2．C ∵双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又由已知，双曲线渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2.3．A 由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b 2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1.4．B 设双曲线的两焦点分别为F 1，F 2，由题意可知|F 1F 2|＝2c ，|AB |＝2|AF 1|＝4a ，在Rt △AF 1F 2中，∵|AF 1|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，|AF 2|＝4(a 2＋c 2)，∴|AF 2|－|AF 1|＝4(a 2＋c 2)－2a ＝2a ，即3a 2＝c 2，∴e ＝ca＝ 3.5．16 由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以，m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.6．24a 2－9b2＝1与a 2＋b 2＝4联立，求得a ＝1， 所以e ＝ca ＝2.。