江苏科技大学附中2014年高考数学一轮课时检测 导数及其应用

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m ，要使它的容积最大，则容器底面的宽为( ) A ．0.5m B ．0.7m C ．1m D ．1.5m【答案】C2．20(sin cos )x x dx π-=⎰( )A ． 0B ． 1C ． 2D ．2π【答案】A3．已知曲线1()n f x x+=*()n N ∈与直线1x =交于点P ,若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ,则129lg lg lg x x x +++ 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A 4．设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12nx x x ⋅⋅⋅ 的值为( ) A ．1nB ．1n n + C ．11n + D ． 1【答案】C5．曲线23y x x =+在点(2,10)A 处的切线的斜率k 是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D6．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为( ) A ．2 B ．4C ． 6D ．8【答案】D7．曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．―9B ．―3C ．9D ．15【答案】C8．设()f x 是R 上的可导函数，且满足()()f x f x >'，对任意的正实数a ，下列不等式恒成立的是( )A ．()(0)af a e f < B ． ()(0)af a e f > C ．(0)()af f a e <D ．(0)()af f a e >【答案】B9．函数cos 2y x =在点(,0)4π处的切线方程是( )A ．024=++πy xB ．440x y π+-=C ．024=--πy xD ．024=-+πy x【答案】D10．已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则y x∆∆等于( ) A ．4B ．4x ∆C ．42x+∆D ．242x +∆【答案】C11．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln （x ＋2）－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 12．曲线y=2xe-+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( )A ．13 B ．12C ．23D ．1【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．等于 .【答案】14．若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为____________ 【答案】[1,5)15．已知为常数）a a x x x f (62)(23+-= 在[-2，2]上有最小值3，那么)(x f 在[-2，2]上的最大值是 【答案】4316．曲线2x y =与直线kx y =)0(>k 所围成的曲边图形的面积为34，则=k 【答案】2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数1()ln xf x x ax -=+(1）若函数()f x 在[1,+∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围；(2）当1a =时，求()f x 在[1,e e]上的最大值和最小值；(3）当1a =时，求证：对大于1的正整数n ，1ln1n n n-> 【答案】（1）由已知得'21()(0)ax x a ax -=ƒ> …1分 依题意得：210ax ax -≥对一切的x ≥1 都成立 即10[1,)ax -≥∈+对一切x ∞恒成立，也就是1[1,)a x≥∈+对一切x ∞ 恒成立,∴max 1()1a x≥=(2）当'2111(),[,]x a f x x e x e-==∈时， 若1[,1)x e∈则'()0,f x <若(1,]x e ∈则'()0f x >故1x =是()f x 在区间1[,]e e上的惟一极小值点，也是最小值点，故min ()(1)0f x f ==； 1111()2,()22f e f e e e =-= ><，∴ ()f x 在 1[,]e e上最大值为e-2 综上知函数()f x 区间 1[,]e e上最大值是e-2,最小值是0(3）当1a =时，由（1）知，函数1()ln xf x x x-=+∞在[1,+)上为增函数， 1(1),()(1)01nn x x f x f n =∴=-时，令>>>， 即111()()ln ln (1)01111nn n n n f x f f n n n n n n --==+=-+=---->，1ln1n n n ∴->18．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝()x f '＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m 、n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间 (a －1，a ＋1)内的极值．【答案】(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2，得()x f '＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝()x f '＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，解得 m ＝－3.代入①得n ＝0.于是()x f '＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由()x f '>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由()x f '<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得()x f '＝3x(x －2)，令()x f '＝0得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，()x f '，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f(x)无极值． 19．设函数()(,,)nn f x x bx c n N b c R +=++∈∈(1）设2n >，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；(2）设n 为偶数，(1)1n f -≤，(1)1n f ≤，求c b +3的最小值和最大值；(3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|9f x f x -≤，求b 的取值范围； 【答案】（1）由2n >，1,1b c ==-，得()1n n f x x x =+-()'110n n f x nx -=+>对3,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，从而()1n n f x x x =+-在3,15⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，又()110n f =>，233232055555n n f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. (2）因为 (1)111102n f b c b c -≤⇒-≤-+≤⇒≤-≤(1)120n f b c ≤⇒-≤+≤ 由线性规划max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-(或()()[]324,2b c b c b c +=-++∈-，max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-）(3）当2n =时，()22f x x bx c =++(Ⅰ）当2b ≥或2b ≤-时，即12b -≤-或12b-≥，此时 只需满足()()2299112922f f b b --=≤⇒-≤≤，从而99,22,22b ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(Ⅱ）当02b ≤<时，即102b-<-≤，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫--=++--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b +-≤ 解得：84b -≤≤， 从而[)0,2b ∈(Ⅲ）当20b -<<时，即012b<-<，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫---=-+--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b --≤ 解得：48b -≤≤ 从而()2,0b ∈-综上所述：99,22b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦20．已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈． (Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； (Ⅱ）求)(x f 的单调区间；(Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =． 经检验，13a =时，符合题意． (Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+． 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-． 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞． 当1=a时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． (Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意．当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1≥a时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意． 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞．21．已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. (1)如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围；(2)是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意． 当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-，由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >，所以0a >． 当0a <时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是0a ≥．(Ⅱ）把方程()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnxax a x =+-+，即为方程2(12)0ax a x lnx +--=.设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间(1,e e)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间(1,e e)内有且只有两个零点.1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-== 令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或12x a=-（舍）当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数.()H x 在(1,e e )内有且只有两个不相等的零点, 只需min 1()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,a a a e a e e e e H a a a ae a e e e a e ⎧--++++=>⎪⎪⎪=+-=-<⎨⎪+--=-+->⎪⎪⎩∴22,211,1,2e e a e a e a e e ⎧+<⎪-⎪⎪>⎨⎪-⎪>-⎪⎩解得2121e e a e +<<-, 所以a 的取值范围是(21,21e ee +-) ．22．已知函数e ().1ax f x x =-(I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.【答案】当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x xf x x -=- 又(0)1f =-，'(0)2f =-，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =--(II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当0a =时，21'()0(1)f x x -=<- 又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞当 0a≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+， 单调递增区间为1(,)a a++∞ 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞， 单调递减区间为1(,1)a a +，(1,)+∞。