【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第八章_平面解析几何8-9
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2016届高考数学理科一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-7
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
直线与抛物线的位置关系(师生共研)
例 2 (2014 年高考大纲全国卷)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|＝54|PQ|.
(1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 解析 (1)设 Q(x0,4)，代入 y2＝2px 得 x0＝8p. 所以|PQ|＝p8，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p. 由题设得p2＋8p＝54×8p，解得 p＝－2(舍去)或 p＝2. 所以 C 的方程为 y2＝4x.
答案：B
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
二、抛物线的标准方程与几何性质 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(课本习题改编)若抛物线 y＝ax2 的焦点坐标为(0,1)，则 a＝14，准 线方程为 y＝－1.( ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 叫作抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
4．若抛物线 y2＝2px 的焦点与双曲线x62－y32＝1 的右焦点重合，则 p 的值为________．
解析：双曲线x62－y32＝1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y2＝2px 的焦点， 所以2p＝3，p＝6.
答案：6
第十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
直线与抛物线的位置关系(师生共研)
例 2 (2014 年高考大纲全国卷)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|＝54|PQ|.
(1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 解析 (1)设 Q(x0,4)，代入 y2＝2px 得 x0＝8p. 所以|PQ|＝p8，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p. 由题设得p2＋8p＝54×8p，解得 p＝－2(舍去)或 p＝2. 所以 C 的方程为 y2＝4x.
答案：B
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
二、抛物线的标准方程与几何性质 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(课本习题改编)若抛物线 y＝ax2 的焦点坐标为(0,1)，则 a＝14，准 线方程为 y＝－1.( ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 叫作抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
4．若抛物线 y2＝2px 的焦点与双曲线x62－y32＝1 的右焦点重合，则 p 的值为________．
解析：双曲线x62－y32＝1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y2＝2px 的焦点， 所以2p＝3，p＝6.
答案：6
第十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第8章 解析几何-7
第15页
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第八章 第七节 第十五页，编辑于星期五：二十一点 三十分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
5．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂 直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 __________．
解析：线段OA的中垂线方程为4x＋2y－5＝0，令y＝0得x＝ 54，∴焦点F54，0，准线方程为x＝－54.
点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 3，则p＝( )
A．1
3 B.2
C．2
D．3
(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线
x2 3
－
y2 3
＝1
相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
第24页
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第八章 第七节 第二十四页，编辑于星期五：二十一点 三十分。
第18页
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第八章 第七节 第十八页，编辑于星期五：二十一点 三十分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
解析：(1)由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l
交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M
作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝
答案：2
第23页
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第八章 第七节 第二十三页，编辑于星期五：二十一点 三十分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
考点二
抛物线的标准方程及几何性质
【例2】
(1)已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第8章 解析几何-1
3．过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
□ (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为 13 ____；
□ (2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为 14 ____；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为
□15
____________；
第5页
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第八章 第一节 第五页，编辑于星期五：二十一点 二十九分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的 □5 __________叫做这条直线 的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ □6 ________，倾斜角
是90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k
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第八章 第一节 第十九页，编辑于星期五：二十一点 二十九分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
考点一
直线的倾斜角与斜率
【例 1】 (1)直线 xsinα＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π)
B.0，π4∪34π，π
C.0，π4
D.0，π4∪π2，π
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有
分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
方法二：由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)，即 x＋y－5 ＝0 或 2x－3y＝0.
2016届高考数学理科一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-2
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
(2)解法一 由题意可得 l 的斜率为－32，所以 l：y－2＝－23(x＋1)， 即 3x＋2y－1＝0，故选 A.
解法二 设直线 l 的方程为 3x＋2y＋C＝0，将点(－1,2)代入，得 C ＝－1，所以 l 的方程是 3x＋2y－1＝0.
(3)找出直线的斜率和直线上一个点的坐标，利用点斜式写出直线方 程．
5 A.2 2
B．5 2
15 C. 2 2
D．15 2
第二十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
解析：设 P1P2 中点 P(x，y)，则 x＝x1＋2 x2， y＝y1＋2 y2. ∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0. ∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20 即 x－y＝10.∴y＝x－10.∴P(x，x－10) ∴P 到原点的距离 d＝ x2＋x－102 ＝ 2x－52＋50 ≥ 50＝5 2. 答案：B
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
角度二 点关于线对称 2．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解析：(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
二、两直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
两条直线的交点坐标就是方程
AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC组12＝ ＝的00，解，若方程组有唯
一解，则两条直线 ，此相解交就是
交；点若坐方标程组______，则两
(2)解法一 由题意可得 l 的斜率为－32，所以 l：y－2＝－23(x＋1)， 即 3x＋2y－1＝0，故选 A.
解法二 设直线 l 的方程为 3x＋2y＋C＝0，将点(－1,2)代入，得 C ＝－1，所以 l 的方程是 3x＋2y－1＝0.
(3)找出直线的斜率和直线上一个点的坐标，利用点斜式写出直线方 程．
5 A.2 2
B．5 2
15 C. 2 2
D．15 2
第二十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
解析：设 P1P2 中点 P(x，y)，则 x＝x1＋2 x2， y＝y1＋2 y2. ∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0. ∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20 即 x－y＝10.∴y＝x－10.∴P(x，x－10) ∴P 到原点的距离 d＝ x2＋x－102 ＝ 2x－52＋50 ≥ 50＝5 2. 答案：B
第二十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
角度二 点关于线对称 2．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解析：(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
二、两直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
两条直线的交点坐标就是方程
AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC组12＝ ＝的00，解，若方程组有唯
一解，则两条直线 ，此相解交就是
交；点若坐方标程组______，则两
2016届高考数学理科一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-4
tan
2 ∠ BAO ＝
1－2tatann∠2∠BABOAO＝21× －1214＝43.
答案
(1)C
(2)B
4 (3)3
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
规律方法 判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直 线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线 问题．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 得到．
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。
1.(2013年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l： y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范 围．
－4＝0
的距离，此时
2r＝
4 ，得 5
r＝
2 ，圆 5
C
的面积的最小值为
S＝πr2
＝45π. 答案：A
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一 分。
Hale Waihona Puke M22－1，1－22，所以切线方程为
y－1＋
22＝x－
22＋1，整理得
y＝x
＋2－ 2.
(2)由圆的方程 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 可得，圆心为(－1,1)，半径 r
＝ 2－a.圆心到直线 x＋y＋2＝0 的距离为 d＝|－1＋21＋2|＝ 2.由 r2＝d2
＋422 得 2－a＝2＋4，所以 a＝－4. 答案 (1)A (2)B
【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第八章_平面解析几何8-5
x2 y2 2 (3)(教材习题改编)椭圆16＋ 8 ＝1 的离心率为 2 .(
答案：(1)× (2)√ (3)√
)
x2 y2 1 5．若焦点在 x 轴上的椭圆 2 ＋m＝1 的离心率为2，则 m＝________.
解析：因为焦点在 x 轴上，所以 0<m<2，所以 a2＝2，b2＝m，c2＝ 1 1 c2 2－m 3 2 a －b ＝2－m.椭圆的离心率为 e＝2， 所以 e ＝4＝a2＝ 2 ， 解得 m＝2.
第五节
最新考纲展示
椭
圆
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、
对称性、顶点、离心率)． 2.了解椭圆的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程和几何性质
1．椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其轨迹为 线段 F1F2，当 2a<|F1F2|不存在轨迹． x2 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为a2 y2 ＋b2＝1(a>b>0)． x2 y2 3．注意椭圆的范围，在设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上点的坐标为 P(x， y)时，则|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因．
解析：∵a2＝25，∴2a＝10， ∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝7. 答案：D
3．(2015 年西城模拟)若曲线 ax2＋by2＝1 为焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 a，b 满足( A．a ＞b
2 2
) 1 1 B.a＜b D．0＜b＜a
C．0＜a＜b
2016届高考数学理科一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-8
y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．
第二页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
二、求动点的轨迹方程的基本步骤
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
三、曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则
C1，C2的交点坐标即为方程组
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
曲线的交点问题(师生共研) 例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点． (1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围． 解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
两曲线有
4
个不同的交点等价于
x2>0，且
y2>0，即sin cos
θ＋cos θ－sin
θ>0， θ>0.
又因为 0<θ<π2，
所以 θ 的取值范围是0，π4. (2)证明：由(1)的推理知 4 个交点的坐标(x，y)满足 x2＋y2＝2cos
θ0<θ<π4，即得 4 个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径 r＝ 2cos θ0<θ<π4. 因为 cos θ 在0，π4上是减函数，且 cos 0＝1，cos π4＝ 22，所以 r 的取值
那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．
第二页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
二、求动点的轨迹方程的基本步骤
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
三、曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则
C1，C2的交点坐标即为方程组
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
曲线的交点问题(师生共研) 例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点． (1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围． 解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
两曲线有
4
个不同的交点等价于
x2>0，且
y2>0，即sin cos
θ＋cos θ－sin
θ>0， θ>0.
又因为 0<θ<π2，
所以 θ 的取值范围是0，π4. (2)证明：由(1)的推理知 4 个交点的坐标(x，y)满足 x2＋y2＝2cos
θ0<θ<π4，即得 4 个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径 r＝ 2cos θ0<θ<π4. 因为 cos θ 在0，π4上是减函数，且 cos 0＝1，cos π4＝ 22，所以 r 的取值
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件
p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解 为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题 一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系 是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直 线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
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第九节
最新考纲展示
圆锥曲线的综合问题
2.了
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．
解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．
一、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋ By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也 可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐 近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的
位置关系是平行．
二、圆锥曲线的弦长
1．圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为 端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线， 切点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
解析：(1)设动圆圆心坐标为 C(x，y)，根据题意得 x2＋y－22＝ y2＋4，化简得 x2＝4y. (2)设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，
x2＝4y 由 消去 y 得，x2－4kx－4b＝0. y＝kx＋b
)
A ．1 条 C．3条
B．2条 D．4条
解析：结合图形(图略)知，过P(4,4)与双曲线只有一个公共点的直 线，有两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，共4条． 答案：D
二、圆锥曲线中的有关弦问题 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) x2 y2 (1)已知点(2,1)是直线 l 被椭圆 4 ＋ 2 ＝1 所截得线段的中点，则 l 的 方程为 x＋4y－6＝0.( )
x2 y2 (1)直线 y＝kx＋1 与椭圆 5 ＋ 9 ＝1 恒有两个公共点． ( )
(2) 经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共 点．( 点．( ) )
(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共
答案：(1)√ (2)× (3)√
x2 y2 2． 过点 P(4,4)且与双曲线16－ 9 ＝1 只有一个公共点的直线有(
2p ，θ 为 sinБайду номын сангаасθ
弦AB所在直线的倾斜角)．
三、圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在 x2 y2 b2x0 椭圆a2＋b2＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝－a2y ； 0 x2 y2 b2x0 在双曲线a2－b2＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝a2y ； 0 p 在抛物线 y2＝2px(p>0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝y .
圆锥曲线综合问题的重要途径和手段．常见的题型有：
(1)求弦长问题． (2)求中点弦所在直线方程．
(3)抛物线中的中点弦问题．
(4)利用中点弦解决对称问题．
角度一 求弦长问题
1．(2015年石家庄模拟 )已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得 弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
x ＝x1＋x2＝2k， A 2 ∵x1≠x2，解得 yA＝x1x2＝－b， 4
即 A(2k，－b)，
则 2k＋b－2＝0，即 b＝2－2k，代入 Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k ＝16(k－1)2＋16＞0， ∴|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|＝4 1＋k2 k2＋b， |2k2＋2b| 又 A(2k，－b)到直线 PQ 的距离为 d＝ ， k2＋1 1 3 3 ∴S△APQ＝2|PQ|· d＝4|k2＋b|· k2＋b＝4(k2＋b)2＝4(k2－2k＋2)2＝4[(k 3 －1)2＋1]2， ∴当 k＝1 时，S△APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为(2,0)．
段)，线段的长就是弦长．
2．圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ， B 两点， A(x1 ，
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝
1＋k2|x1－x2| ＝
1 1＋k2· |y1－y2| (抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
x1＋x2＝4k， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 且 Δ＝16k2＋16b. x1x2＝－4b，
1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为2x1， 其切线方程为 y－y1＝2x1(x－x1)， 1 1 2 即 y＝2x1x－4x1 ， 1 1 同理过点 Q 的切线的方程为 y＝2x2x－4x2 2. 设两条切线的交点 A(xA，yA)，
(2)(2014 年潍坊一模改编)直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A， 1 9 B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到直线 x＋2＝0 的距离等于4.( )
答案：(1)× (2)√
x2 y2 4．已知 F1，F2 为椭圆25＋ 9 ＝1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析： 由题意知 (|AF1| ＋ |AF2|) ＋ (|BF1| ＋ |BF2|) ＝ |AB| ＋ |AF2| ＋ |BF2| ＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案：8
圆锥曲线中的弦长问题(高频研析)
考情分析 圆锥曲线中的弦长问题是高考的重点问题，它是解决
0
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实 上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交 于一点． 2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线 与对称轴平行时也相交于一点．
一、直线与圆锥曲线的交点个数
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
Ax＋By＋C＝0， 即 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. Fx，y＝0，
1 ．当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ．
2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C
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圆锥曲线的综合问题
2.了
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．
解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．
一、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋ By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也 可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐 近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的
位置关系是平行．
二、圆锥曲线的弦长
1．圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为 端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线， 切点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
解析：(1)设动圆圆心坐标为 C(x，y)，根据题意得 x2＋y－22＝ y2＋4，化简得 x2＝4y. (2)设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，
x2＝4y 由 消去 y 得，x2－4kx－4b＝0. y＝kx＋b
)
A ．1 条 C．3条
B．2条 D．4条
解析：结合图形(图略)知，过P(4,4)与双曲线只有一个公共点的直 线，有两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，共4条． 答案：D
二、圆锥曲线中的有关弦问题 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) x2 y2 (1)已知点(2,1)是直线 l 被椭圆 4 ＋ 2 ＝1 所截得线段的中点，则 l 的 方程为 x＋4y－6＝0.( )
x2 y2 (1)直线 y＝kx＋1 与椭圆 5 ＋ 9 ＝1 恒有两个公共点． ( )
(2) 经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共 点．( 点．( ) )
(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共
答案：(1)√ (2)× (3)√
x2 y2 2． 过点 P(4,4)且与双曲线16－ 9 ＝1 只有一个公共点的直线有(
2p ，θ 为 sinБайду номын сангаасθ
弦AB所在直线的倾斜角)．
三、圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在 x2 y2 b2x0 椭圆a2＋b2＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝－a2y ； 0 x2 y2 b2x0 在双曲线a2－b2＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝a2y ； 0 p 在抛物线 y2＝2px(p>0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝y .
圆锥曲线综合问题的重要途径和手段．常见的题型有：
(1)求弦长问题． (2)求中点弦所在直线方程．
(3)抛物线中的中点弦问题．
(4)利用中点弦解决对称问题．
角度一 求弦长问题
1．(2015年石家庄模拟 )已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得 弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
x ＝x1＋x2＝2k， A 2 ∵x1≠x2，解得 yA＝x1x2＝－b， 4
即 A(2k，－b)，
则 2k＋b－2＝0，即 b＝2－2k，代入 Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k ＝16(k－1)2＋16＞0， ∴|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|＝4 1＋k2 k2＋b， |2k2＋2b| 又 A(2k，－b)到直线 PQ 的距离为 d＝ ， k2＋1 1 3 3 ∴S△APQ＝2|PQ|· d＝4|k2＋b|· k2＋b＝4(k2＋b)2＝4(k2－2k＋2)2＝4[(k 3 －1)2＋1]2， ∴当 k＝1 时，S△APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为(2,0)．
段)，线段的长就是弦长．
2．圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ， B 两点， A(x1 ，
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝
1＋k2|x1－x2| ＝
1 1＋k2· |y1－y2| (抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
x1＋x2＝4k， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 且 Δ＝16k2＋16b. x1x2＝－4b，
1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为2x1， 其切线方程为 y－y1＝2x1(x－x1)， 1 1 2 即 y＝2x1x－4x1 ， 1 1 同理过点 Q 的切线的方程为 y＝2x2x－4x2 2. 设两条切线的交点 A(xA，yA)，
(2)(2014 年潍坊一模改编)直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A， 1 9 B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到直线 x＋2＝0 的距离等于4.( )
答案：(1)× (2)√
x2 y2 4．已知 F1，F2 为椭圆25＋ 9 ＝1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析： 由题意知 (|AF1| ＋ |AF2|) ＋ (|BF1| ＋ |BF2|) ＝ |AB| ＋ |AF2| ＋ |BF2| ＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案：8
圆锥曲线中的弦长问题(高频研析)
考情分析 圆锥曲线中的弦长问题是高考的重点问题，它是解决
0
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实 上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交 于一点． 2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线 与对称轴平行时也相交于一点．
一、直线与圆锥曲线的交点个数
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
Ax＋By＋C＝0， 即 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. Fx，y＝0，
1 ．当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ．
2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C