9-研-搜索技术

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问题的解
问题的解就是初始状态到目标状态的路径 解的优劣由路径耗散函数量度(代价) 最优解就是路径耗散函数值最小的路径 上述解题过程把解决一个问题的过程描述出来，称之 为问题求解的过程性表示。 搜索过程解题的特点 — 没有直接的方法(公式)可以 求解，而是一步一步的探索。
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状态空间
数据基： 数据基 ： 代表了所要解决的问题/子问题，有初始状 态，可能有目标状态也可能没有。 状态空间：在解题过程中的每一时刻，数据基都处于 状态空间 一定的状态，数据基所有可能状态的集合称为状态空 间 状态图：若把每个状态看成一个节点，则整个状态空 状态图 间是一个有向图。该图不一定全连通，即从某些状态 不一定能到达另外一些状态。
示例： 0-1背包问题
n=3, C=30, w={16, 15, 15}, v={45, 25, 25}
A B w1=16，v1=45 Cr=14，V=45 Cr=C=30，V=0 =30 V=0 C Cr=30，V=0 w2=15，v2=25 F C =15，V=25 r
Cr<w2 Cr=14 D E V=45 不可行解
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x);// t是递归深度，n表边界条件，控制递归深度 else for (int i = f(n,t);i <= g(n,t); i++) { // f()和g()是一种抽象表示，表示在当前扩展结点处未搜索 过的子树的起始编号和终止编号。 x[t] = h(i); // 得到子结点 if (constraint(t)&&bound(t)) \\ 约束函数与限界函数 backtrack(t+1); } }
枚举算法之DFS
void backtrack (int i) {// 搜索第i层结点
if (i > n) // 到达叶结点 计算当前方案 [x1,x2,…,xn] 的装载量，记录最优值; x[i]=1; backtrack(i + 1); //搜索左子树 x[i]=0; backtrack(i + 1); // 搜索右子树 } 特点： 特点： 1）方案“先产生后计算”； ）方案“先产生后计算” 2）树型状态空间动态的。 ）树型状态空间动态的。
有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮 船，其中集装箱i的重量为wi，且∑wi≤C1+C2 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集 装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策 略可得到最优装载方案：
(1)首先将第一艘轮船尽可能装满； (2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
旅行商问题形式化 旅行商问题形式化
初始状态 初始状态—n个城市需要访问 后继函数 移动规则—选择下一个没有被访问过的城市访问 目标测试 旅行费用最低 路径耗散函数 当前旅行费用
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求解过程— 求解过程—状态搜索
求解问题的过程使用搜索树 搜索树形式 搜索树 每个状态对应搜索树中一个节点 搜索树中一个节点 根节点对应于初始状态 每次从搜索树的上层节点出发，根据约束条件进 入下一个可能的状态，即展开新的一层树节点— 节点扩展（后续函数） 当展开的节点为目标状态时，就找到了问题的一 个解
算法设计与分析
北京交通大学计算机学院 李清勇 E-mail: qingyongli@ Tel: 51688603 主校区: 9号楼 北314
问题与问题的解 问题与问题的解
问题可以形式化地定义为4个组成部分
初始状态(即搜索的开始) 初始状态 后继函数 — 采取的可能行动的描述，通常为<行动，后 继状态> 。初始状态和后继函数隐含地定义了问题的状 态空间。状态空间中的一条路径是通过行动序列连接起 来的一个状态序列 目标测试 — 检查给定的状态是不是目标 目标测试 路径耗散函数 — 每条路径都有一个数值化的耗散值， 路径耗散函数 反映了性能度量或者求解问题的代价
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回溯法基本思想
回溯法所面对的问题，通常是要求使解向量(x1,x2,…,xn)满足 某些条件，或者使问题的判定函数P(x1,x2,…,xn)极大化（或 极小化）。怎么求解？ 常规枚举：形成一切n元组并用判定函数一个一个测试， 常规枚举 看哪些n元组能得到问题的解。 回溯基本思想 回溯基本思想：构造长度为 i 的部分向量 (x1,x2,…,xi) 基本思想 0<i<n+1时进行试算 一旦发现部分向量不可能导出所需 进行试算。一旦发现部分向量不可能导出所需 进行试算 要的解，就不必再考虑对(xi+1 i+2 要的解 ， 就不必再考虑对 (xi+1,xi+2,…,xn) 的各种可能的 ,x 选择了。 选择了。
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子集树与排列树
当所给问题是从n个元素的集合S 中找出S满足某种性质的子集时， 相应解空间树称之为子集树 子集树 当所给问题是确定n个元素满足某种 性质的排列时，相应解空间树称之 为排列树 排列树
无序多元组，组合问题； 算法复杂度是指数级O(cn)
有序多元组，排列问题； 算法复杂度是 O(n!)
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非递归的深度优先搜索 非递归的深度优先搜索算法 深度优先搜索算法
function DFS(problem,fringe) \\ return solution/failure (initial fringe=empty, mode = LIFO) fringe ← Insert(Make-Node(Initial-State[problem]),fringe) do while(1) if fringe=Empty then return failure node←Remove-First(fringe) if State[node]=Goal then return Solution(node) fringe ← Insert-All(Expend(node, problem), fringe)
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例2- 0-1背包问题
ห้องสมุดไป่ตู้
0-1背包问题形式化 背包问题形式化
初始状态 初始状态—n个候选物品装包容量为p 后继函数 移动规则—装入第i个物品，或者舍弃第i个物品 目标测试 是否装入物品价值最大 路径耗散函数 当前装入物品的价值
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例3- 旅行商问题
1 6 5 3 30 4 2 10 4
20 A 1 B 2 4 3 D E C 2 4 2 3 3 4 F G H I J K 4 3 4 2 3 2 L M N O P Q
3 8
End
4 6
1 5 7
2 3 8
*
1 4 6
3 7
5 2 8 *
1 4 6
5 3
2 8 7
1 4 6
2 7
3 5 8
4 5 6
1 7
2 3 8
4 6
1 5 7
2 3 8
1 4 6
3 7
5 2 8
八数码问题形式化
初始状态 初始状态—数格各位置上的初始数字 后继函数 移动规则—按照某条规则移动数字，将得到的新 数格 目标测试 新数格是否是目标状态(也是向量形式) 路径耗散函数 每次移动代价为1
子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
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深度优先搜索
深度优先搜索过程： 总是扩展搜索树的当前扩展分支(边缘)中最深的节点 搜索直接伸展到搜索树的最深层，直到那里的节点没 有后继节点 那些没有后继节点的节点扩展完毕就从边缘中去掉 然后搜索算法回退下一个还有未扩展后继节点的上层 节点继续扩展 深度优先搜索通过栈（后进先出 LIFO ）来实现，或者 栈 使用递归函数实现，依次对当前节点的子节点调用该函 数
H
25<50 不是 C =14 w3=15，v3=25 最优 Cr<w3 K r L J V=45 Cr=0，V=50 不可行解 解 x=(1,0,0) 50>45 I x=(0,1,1) M
生成问题状态的基本方法
深度优先的状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了 深度优先的状态生成法 它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C （以C为根的子树）的穷尽搜索 穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点， 穷尽搜索 继续生成R的下一个儿子（如果存在）； 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要 回溯法 不断地利用剪枝函数(bounding function)来剪除那些实际上 不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有剪枝 函数的深度优先生成法称为回溯法
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广度优先搜索算法
function BFS(problem,fringe) \\ return solution /failure (initial fringe=empty, mode=FIFO) fringe←Insert(Make-Node(Initial-State[problem]),fringe) do while(1) if fringe = Empty then return failure node ← Remove-First(fringe) if State[node]=Goal then return Solution(node) fringe ← Insert-All(Expend(node,problem), fringe) //插入所有的 子状态
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例1- 八数码游戏
Begin
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