北京工业大学(cui)

北京工业大学1999年研究生入学考试试题科目代码：308科目名称：数学分析一、（本题满分12分）设C 是圆弧AB ⌒的中点，x 是圆弧AB ⌒所对应的圆心角，以S 1（x ）和S 2（x ）分别表示△ABC 和弓形ABC 的面积，求0lim -→x 180180)()(21-⋅x x S x s .二、（本题共2小题，每小题7分，满分14分）1．设y=x 2·[cos(lnx)-sin(lnx)],化简式子x 2y″-3xy+5y. 2.求⎰+)1(22x x arctgx dx三、（本题满分12分） 求dv z y x ⎰⎰⎰Ω++)( ,其中Ω是曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面z=3所围的空间区域。

四、（本题满分12分）试求在圆锥面z=2·22y x +和平面z=6所圆锥体内所作出的底平面平行于xoy 平面的最大长方体体积之值。

五、（本题满分12分） 判别无穷积分dx x x ⎰∞++01sin 是发散条件收敛还是绝对收敛？为什么？六、（本题满分12分）问函数S （x ）=nxn en -∞=⋅∑12在（0，+∞）内是否连续？证明你的结论。

七、（本题共2小题，满分14分） 设F （x ）=⎰x 1t·sin t 1dt, 1. 求+∞→x limF′(x)2. 证明F （x ）在〔1，+∞〕内一致连续。

八、（本题满分1.2分）设f(x)在〔a,b 〕上连续，在（a ，b ）内可导，且f （a ）=a ，f （b ）=b 。

证明对任意自然数n ，在(a,b)内存在n 个互不相同的点，,,,21n ξξξ 使n f ni i ='∑=1)(1ξ.北京工业大学2000年研究生入学考试试题科目代码：331 科目名称：数学分析 适用专业：数学各专业一、（10分）设f ′(a)存在，f(a)>0,求lim∞→n nn n f n a f ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+)1(1(其中n 为自然数。

二、（10分）求dt arctgt xx x 22)(12lim⎰∞→。

三、（10分）设正项数列{an}单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散。

令u n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111a⎪⎪⎭⎫⎝⎛+211a …⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a n 11,试问级数∑∞=1n n u 是否收敛？并说明理由。

四、（10分）已知函数)(x f 在开区间（0，1）内取得最大值，在闭区间[0，1]上二阶可微，且在该区间1)(≤''x f 。

证明：≤'+')1()0(f f五、（12分）设函数)(x f 可导，且1)0(=f ，若[]dy x x f dx x yf L ⎰-+2)()(与积分路径无关，求)(x f 的表达式。

六、（12分）设函数),(y x z z =由方程)(2222z xyf z y x =++所确定，其中f 为可微函数；试计算并化成最简形式,yz yxz x∂∂+∂∂。

七、（12分）求由曲面22y x z +=和222y x z +=所围成的体积和表面积。

八、（12分）计算曲面积分,)1(12ds y x I ⎰⎰∑++=其中∑是四面体0,0,0,1≥≤≥≤++z y x z y x 的表面。

九、（12分）证明：设函数)(x f 在[+∞,a ]上连续，且c x f x =+∞→)(lim （有限数），那么)(x f 在),[+∞a 上一致连续；如果又已知c a f >)(，则)(x f 在[)+∞,a 上能取到最大值。

北京工业大学2001年研究生入学考试试题科目代码：364 科目名称：数学分析适用专业：基础数学、运等学与控制论、概率论与数理统计一、（10分）若n n y a x ≤≤,且0)(lim =-∞→n n n x y ，试证.lim lim a y x nn n n ==∞→∞→二、（10分）设对任意实数x 和y ，有⎪⎭⎫⎝⎛+≤+22)()(y x f y f x f且.)(,)0(,0)(C x f c f x f ≡=≥证明三（10分）若函数f （x ）在（a,b ）内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中a<x 1<x 2<x 3<b.证明：在（x 1,x 3）内至少有一点ζ，使得.0)(=''ζf四、（10分）设+∞<≤x 1时有21)(0xx f <'<,且)(x f '连续，证明当+∞→x 时)(x f 的极限存在。

五、（12分）设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，又dtt f dt t f x F x x⎰⎰+=00)(1)()(证明：],[0)(b a x F 在=内有唯一实根。

六、（12分）设数列{}n na 收敛，级数∑∞=--11)(n n n a a n 收敛，试证级数∑∞=1n n a 收敛。

七、（12分）设函数),(y x z φ=由方程0),(11=++--zx y zy x F 所确定，其中φ,F 均可微，证明：.xy z yz yxz x-=∂∂+∂∂八、（12分）证明52)](1[22-=++⎰⎰dxdy y x yf x D，其中D 是由1,1,3-===x y x y 围成的区域，f 是连续函数。

九、（12分）已知1)0(-=f ,试确定可微函数)(x f 使曲线积分dy x f dx xy x f tgx )(cos )]([2)1,1()0,0(+-⎰与路径无关，并求该积分值。

北京工业大学2002年硕士研究生入学考试试题科目代码：364 科目名称：数学分析 适用专业：数学各专业一、填空题（30分，每小题5分） 1．)2sin(12lim--∞→x x x x =（ ）。

2．欲使⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则=a ( ),b=( ). 3．已知.5)2(.3)2(,1)0(='==f f f 则⎰=''10)2(dx x f x ( ).4．lim→x )1ln(cos22x dxx x+⎰=( ).5.设),,,(1yyx x yx f u =则yu ∂∂=（ ）.6．=-∑∞=nn n 2121( ).二、（10分）。

设)(x f 在),(+∞-∞内有连续的导数，L 为从点)32,3(A 到点)2,1(B 的直线段，计算.]1)([)(1222dy xy f y yx dx yxy f y L-++⎰三、（10分）若S 为平面曲线)1,0,20(≠>≤≤=a a y a z y绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算dxdyz yzdzdx xzdydz S)1(242-+-⎰⎰。

四、（10分）设)(),(x g x f 均为[a,b]上的连续增函数),0,(>b a 证明：⎰⎰⎰-≤bad c ba dx x g x f ab dx x g dx x f )()()()()(施瓦茨不等式。

五、（10分）。

设{}{}n n v u ,均为正实数列，且对一切自然数n 有011≤-++n n n n v u v u ，如果∑∞=11n nv 发散，证明∑∞=1n n u 也发散。

六、（10分）设函数)(ln 22y x f u +=满足方程23222222)(y x yu xu +=∂∂+∂∂试求函数f 的表达式。

七、（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，且x x f f =)]([，证明在（+∞∞-,）内至少有一个0x 满足00)(x x f =。

八、（10分）设f 在[a,b]上不恒为零，且其导函新f '连续，并有,0)()(==b f a f 试证：存在点[]b a ,∈ξ使得：.)()(1|)(|2dx x f a b f ba⎰->'ξ北京工业大学2003年硕士研究生入学考试试题科目代码：363 科目名称：数学分析 适用专业：数学各专业一、（15分）试判断函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(xx x f 00=≠x x 在00=x 点的可导性，并说明理由。

二、（15分）设210≤≤x ，求证：xex 2_1≥-。

三、（15分）设],[)(b a x f 在上连续，试证：()b a dt t f x F xa,)()(在⎰=内可导且).()(x f x F ='四、（15分）设),[)(+∞a x f 在上非负且连续，若0)(lim r x f x =+∞→，试证明：存在0 A B ≥使B x f A ≤≤)(对所有a x ≥成立。

五、（15分）求幂级数∑∞=+02)1(n nx n 的收敛区间及和函数。

六、（15分）计算二重积分,2dxdy x y D⎰⎰-其中D 为矩形区域：11),,{(≤≤-x y x 且}10≤≤y 。

七、（15分）计算⎰⎰-++Sdxdy z z ydzdx xdydz )2(2，其中S 为22y x z +=被平面10==z z 和所截部分的外侧。

八、（15分）设,,0,0lim a a a a n n n =∞→若 则（i ）;21lima na a a nn =++∞→(ii).21lima a a a nn n =∞→九、（30分）在《数学分析》中，你认为哪个概念特别重要？为什么？请叙述并证明一个与此概念相关的定理。

（注：此题可有许多正确答案）。

北京工业大学2003年硕士研究生入学考试试题科目代码：465 科目名称：线性代数 适用专业：数学各专业1．（10分）设A 为n 阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且*11541,31A A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛=-求。

2．（15分）设n 阶行列式nn103010021321求第一行各元素的代数余子式和n A A A 11211+++ .3.(15分)λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-=-λλλλλλλλ41433221x x x x x x x x 有唯一解、无解或无穷多解？在有无穷多解的情况下求其通解.4．（15分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=150070000020024A 且BA=A+B ，求矩阵B. 5.(20分，每小题10分) （1）设A 为n 阶实矩阵，以)(A tr 表示A 的对角线上的所有元素之和（称为A 的迹）。

求证：对任意的n 阶实正交阵C 有).()(A tr AC C tr ='（2）设A 为n 阶实矩阵，以)(A σ表示A 的所有元素的平方和。

求证：对任意的n 阶实正交阵C 有).()(A tr AC C ='σ6.(25分，（1）题15分，（2）题10分)（1）设A 是n 维线性空间V 的线性变换，证明：维（AV ）+维（A -1（0））=n ，其中AV 表示A 的值域，A -1（0）表示A 的核。